【拓撲】拓撲空間、拓撲的基

05-07

素質n連：皮卡唯一性定理會證了嗎？歐拉折線會應用了嗎？含參量積分的計算熟練了嗎？隱函數定理複習了嗎？條件極值用法還記得嗎？複合函數的偏微分能一口氣算對嗎？

「一切似乎都很好。」

正式進入拓撲的章節學習了......先來看看拓撲空間的基本定義吧。

其產生於對實直線、歐式空間以及這些空間上的連續函數的研究。

Definition 集合 $X$ 上的一個拓撲乃是 $X$ 的子集的一個族 $Gamma$ ，它滿足：

（1） $varnothing$ 和 $X$ 在 $Gamma$ 中.

（2） $Gamma$ 的任意子族的元素的並在 $Gamma$ 中.

（3） $Gamma$ 的任意有限子族的交在 $Gamma$ 中.

一個指定了拓撲 $Gamma$ 的集合 $X$ 叫做一個拓撲空間。

所以拓撲空間的概念還是異常簡潔明了的......不過會產生很多有趣的性質和值得研究的東西。還有一些不是太過於重要的概念，由冪集形成的離散拓撲與僅由空集與集合自身形成的密著拓撲/平庸拓撲。

Definition 設 $X$ 為一集合， $Gamma_f$ 是使得 $X-U$ 或為有限集或為 $X$ 的那些 $X$ 的子集 $U$ 的全體，那麼 $Gamma_f$ 是 $X$ 上的一個有限補拓撲.

(加粗和空格是為了斷句準確).相應的，我們把「有限」換為「可數」，可以定義出可數補拓撲，證明簡單，略。

為了不至於混淆，筆者選擇性地忽略了大於、小於、強於、弱於的概念，finer與coarser聽起來更加地易於接受，就是簡單對於同一拓撲空間兩個不同的拓撲的劃分「細度」即包含關係的比較，當然前提是他們能有這樣的包含關係，我們說他們是可比較的。

對於一個空間我們繞不開對於它的基的討論，拓撲的基和線性空間的基有較大的區別：拓撲中的元素的基表示方法並非是唯一的。但是對照代數學中的基的構造有助於我們對於拓撲的基的理解：

Definition 設集合 $X$ ，拓撲的一個基指 $X$ 的一個子集族 $mathcal B$ ，滿足條件：

（1）對於 $forall xin X$ ,至少存在一個包含 $x$ 的基元素 $B$ .

（2）若 $xin B_1igcap B_2$ , $exists B_3(xin B_3)$ , $s.t.B_3=B_1igcap B_2$

則我們稱這是由 $mathcal B$ 生成的拓撲。而我們稱一個拓撲中的元素為開集，顯然其滿足：

$forall xin U,exists Binmathcal B,s.t.xin B,Bsubset U$ , $X$ 的子集 $U$ 即為上述開集。可以就把它當作一個集合的固有名稱；當然從幾何直觀上來將這樣定義是有一定道理的。

e.g. 平面上所有的圓形域和邊平行於坐標軸的矩形域的族均為一個拓撲的基，並且在後續的學習我們知道他們生成的拓撲應為一樣的，這個例子有利於初學者（比如我）在看了百度百科的介紹對其有一個更好的理解（。

e.g. 集合 $X$ 的所有單點子集的族是 $X$ 上離散拓撲的一個基。

證明也是比較簡單的，我就紙上寫寫啦。

下面給出基生成拓撲的另一種方法。

Definition 設集合 $X$ ， $mathcal B$ 為其上的拓撲 $Gamma$ 一個基，則該拓撲等於 $mathcal B$ 中元素所有並的族，即： $Gamma$ = ${$ $igcup_{Binmathcal B}B|mathcal Bsubsetmathcal B$ $}$

有時我們還需從一個拓撲中找出它的基，下面這個引理可以幫助我們：

引理 $X$ 是一個拓撲空間。 $mathcal C$ 是 $X$ 開集的一個族，滿足 $forall 開集U,xin U,exists Cin mathcal C,s.t.xin Csubset U$

則 $mathcal C$ 即為一個基.

這個對於定義開集的說法是相似的，進一步我們可以對兩個不同的基進行比較，從而判斷出拓撲的粗細。與裝滿石子的卡車相類比其實很好懂啦 $surd$

e.g 標準拓撲：實直線上所有開區間的族構成的基生成的拓撲。

下限拓撲：實直線上所有左開右閉區間的族構成的基生成的拓撲。

K-拓撲：實直線上開區間以及刨去 ${frac{1}{n}},ninmathbb Z_+$ 的開區間構成的基生成的拓撲。

比較明顯的是下限拓撲與K-拓撲都是嚴格細於標準拓撲的，但前兩者是不可比較的。

Definition 子基 $mathcal S$ 生成的拓撲： $Gamma$ $={igcup_{Bin mathcal B}B|mathcal Bsubset mathcal B}$ ，其中 $mathcal B={S_1igcap...igcap S_2|S_iinmathcal S,i=1,...,n,ninmathbb Z_+}$ 且 $mathcal S$ 的元素的並應等於原集合.

課後習題：

1、由於 $X$ 是拓撲空間，把 $U$ 作為某個拓撲的基元素就可以直接得出結論啦。

2、3、略。

剩下的明天起床後再說吧 $-（：mathcal 3 angle )-$ (用LaTeX來打顏表情太刺激了）/