基礎群論(二): 群作用

05-07

這篇筆記的內容是群作用的定義、簡單性質以及一些例子. 群作用非常重要也非常有用, 這裡的總結旨在熟悉它並學習更好地使用它.

群作用與置換表示

設 $X$ 是集合, $G$ 是群, 則 $G$ 在 $X$ 上的右群作用(right group action)是一個函數 $alpha:X imes G o X, (x,g)mapsto xcdot g$ , 滿足: (i) 對任意 $xin X$ , $xcdot 1=x$ ; (ii) 對任意 $g,hin G$ , $xin X$ , 有 $(xcdot g)cdot h=xcdot(gh)$ . 此時稱 $X$ 為 $G$ -集合( $G$ -set), 並說 $G$ 作用(act)於 $X$ . $|X|$ 稱為 $G$ -集合 $X$ 的度(degree). 在不引起混淆的情況下, 我們有時會將 $xcdot g$ 簡記為 $xg$ .

可以類似定義左群作用, 但與右群作用並無本質區別. 我們將函數寫在右邊, 考慮右群作用則與群同態、共軛等記號相符, 所以下面群作用都指右群作用. 值得一提的是, 若 $alpha$ 是右群作用, 那麼直接定義出的 $gcdot x:=xcdot g$ 不是群作用! 正確的做法是令 $gcdot x:=xcdot g^{-1}$ .

同態 $varphi:G o S_X$ 稱為 $G$ 在 $X$ 上的置換表示(permutation representation). 群作用與置換表示本質上相同:

命題設 $X$ 是集合, $G$ 是群.

(i) 若 $alpha$ 是 $G$ 在 $X$ 上的作用, 則 $ildealpha:G o S_X,gmapsto(xmapsto xcdot g)$ 是置換表示.
(ii) 若 $varphi:G o S_X$ 是置換表示, 則 $ildevarphi:X imes G o X, (x,g)mapsto x^{g^varphi}$ 是 $G$ 在 $X$ 上的作用.
這定義了 $G$ 在 $X$ 上的作用集與置換表示集間的一一對應.

今後將不再區分群作用與置換表示.

設 $X$ 是集合, 則 $Gleq S_X$ 稱為 $X$ 上的置換群(permutation group). 任意置換群都作用在 $X$ 上. 反過來, 任意忠實的群作用也可以看作置換群. 事實上, 對任意置換表示 $alpha:G o S_X$ , 存在嵌入 $G/keralphahookrightarrow S_X$ , 此時 $X$ 是忠實的 $G/keralpha$ -集合 . 不嚴格地說, 群作用與置換群的區別就在於群作用中不同的群元素可能誘導相同的置換, 而這在置換群中不可能發生. 因此, 下面對群作用的定義、性質等都可以照搬到置換群上.

下面定義一些常用概念:

稱 $X$ 為有限 $G$ -集合(finite $G$ -set), 若 $X,G$ 都是有限集.

設 $alpha:G o S_X$ . 若 $keralpha=1$ , 則稱 $alpha$ 是忠實的(faithful).

定義 $X$ 上的等價關係 $sim$ 如下: $xsim y$ 當且僅當存在 $gin G$ 使得 $y=xg$ , 則任意 $xin X$ 的等價類稱為 $x$ 的 $G$ -軌道( $G$ -orbit), 記作 $mathcal{O}(x)$ 或 $xG$ , 即 $xG:={xg:gin G}$ . 若 $X$ 只有一個 $G$ -軌道, 則稱 $alpha$ 是傳遞的(transitive). 顯然 $G$ -集合 $X$ 可劃分為 $G$ -軌道, 其中每個 $G$ -軌道都是傳遞的 $G$ -集合. 這說明我們只需考慮傳遞的群作用.

集合 ${gin G:xg=x}$ 稱為 $x$ 的穩定化子(stabilizer), 記作 $G_x$ . 顯然 $G_xleq G$ , 且 $keralpha=igcap_{xin X} G_x$ . 若 $y=xg$ , 則 $G_y=G_x^g$ . 若對任意 $xin X$ , $G_x=1$ , 則稱 $alpha$ 是自由的(free)或半正則的(semiregular). 半正則且傳遞的作用稱為正則的(regular). 易證

命題設 $X$ 為傳遞的 $G$ -集合, $G$ 是Abel群, 則這個作用是正則的.

設 $X,Y$ 為 $G$ -集合. 兩個置換表示 $alpha:G o S_X$ , $eta:G o S_Y$ 稱為等價的(equivalent), 若存在雙射 $varphi:X o Y$ , 使得對任意 $gin G$ , 有 $varphi g^eta=g^alphavarphi$ .

為了直觀地理解這個概念, 我們可以考慮等價的置換群. 當 $X=Y$ 時, 設 $G,Hleq S_X$ , 則 $G$ 與 $H$ 等價即 $G$ 與 $H$ 互為共軛. 等價是一個比同構更強的性質. 例如: $S_4$ 中 $left<(1 2)(3 4) ight>congleft<(1 2) ight>$ , 但它們不等價.

定理設 $alpha:G o S_X$ 是傳遞的置換表示, $xin X$ , 則 $alpha$ 與 $G$ 以右乘作用在 $G_x$ 的右陪集的集合上的作用等價.

特別地, 我們得到下面的重要定理:

定理 (軌道-穩定化子定理) 設 $X$ 為 $G$ -集合, $xin X$ , 則 $|mathcal{O}(x)|=[G:G_x]$ .

特別地, 當 $G$ 是有限群時, 由Lagrange定理知 $|mathcal{O}(x)|$ 整除 $|G|$ . 這個平凡的觀察在後面的討論中將十分有用. 例如, 當 $G$ 是有限 $p$ -群時, $X$ 中軌道的元素數必為 $p$ 的冪次; 如果我們知道 $|X|$ 不是 $p$ 的倍數, 則說明必有一個軌道 $mathcal{O}(x)={x}$ . 以後將多次用到類似的技巧.

最後給出一個用來計算軌道數的定理, 它在組合計數中有很多應用. 首先, 設 $X$ 是有限 $G$ -集合. 對任意 $gin G$ , 定義 $chi(g):=|{xin X:gx=x}|$ . 函數 $chi$ 稱為這個作用的置換特徵標(permutation character).

定理 (Burnside引理) 設 $X$ 是有限 $G$ -集合, 則軌道數為 $frac{1}{|G|}sum_{gin G}chi(g)$ .

以後將會更細緻地研究置換群與群作用, 這裡介紹的目的主要是用於Sylow理論.

下面考慮幾種典型的也是常用的群作用, 並得到一些簡單的群表示定理. 先引入一個定義: $G$ 到 $H$ 的嵌入(imbedding)是指單同態 $Ghookrightarrow H$ , 即 $G$ 同構於 $H$ 的某個子群.

右乘作用

設 $Kleq G$ , 則 $K$ 以右乘作用在 $G$ 上, 即 $(a,k)mapsto ak$ . 這是一個半正則的作用. 特別地, 當 $K=G$ 時, 這個作用是正則的. 有

定理 (Cayley) 存在嵌入 $R:Ghookrightarrow S_G, amapsto R_a$ , 其中 $R_a:G o G,gmapsto ga$ .

Cayley定理中 $R_a$ 稱為 $g$ 誘導的右平移(right translation), $R$ 稱為 $G$ 的右正則表示(right regular representation). 事實上, 右平移誘導的置換是正則置換.

左平移的定義為 $L_a:gmapsto a^{-1}g$ 而非 $gmapsto ag$ (後者不是群作用). 有 $R_aR_b=R_{ab}$ , $L_aL_b=L_{ab}$ . 左正則表示等類似定義.

下面的習題是Cayley定理的應用:

習題設 $G$ 是群.
(i) 設 $|G|=2m$ , $2 mid m$ . 證明: $G$ 有 $m$ 階正規子群.
(ii) 設 $|G|=2^mk$ , $2 mid k$ , 且 $G$ 有 $2^m$ 階元素. 證明: $G$ 中所有奇數階元的集合是 $G$ 的正規子群.

提示: (ii) 歸納.

這個習題的想法可以推廣:

命題設 $G$ 作用在有限集 $X$ 上. 若存在某元素誘導的置換是奇置換, 則 $G$ 有指數為 $2$ 的正規子群.

設 $K,Hleq G$ , 並記 $X$ 為 $H$ 在 $G$ 中所有右陪集的集合. 則 $K$ 以右乘作用在 $X$ 上, 即 $(Ha,k)mapsto Hak$ . 對任意 $Hgin X$ , $kin K_{Hg}$ 當且僅當 $kin H^g$ . 特別地, 當 $K=G$ 時, 這個作用是傳遞的. 於是得到 $G$ 在 $H$ 的右陪集上的表示:

定理設 $Hleq G$ , 記 $H$ 在 $G$ 中所有右陪集的集合為 $X$ , 則有置換表示 $ho:G o S_Omega$ , 其中 $ker ho=H_G$ . 特別地, 若 $[G:H]=n$ , 則存在嵌入 $G/H_Ghookrightarrow S_n$ .

上文已證明, 任意傳遞的群作用都與某個這類作用等價. 注意這裡取 $H=1$ 即得Cayley定理.

這種作用的應用很多. 下面舉幾個簡單的例子.

習題若單群 $G$ 有 $n$ 階子群, 則 $|G|$ 整除 $n!$ .

所以這個定理使得我們可以用單群的子群的指數獲得信息, 例如我們將經常使用它證明群不單. 一個具體例子是:

習題 $ngeq2$ 時, 不存在嵌入 $S_nhookrightarrow A_{n+1}$ .

我的證明用到了 $A_n (ngeq5)$ 的單性.

習題設 $Hleq G$ , $[G:H]=p$ 是整除 $|G|$ 的最小素數. 則 $Hlhd G$ .

特別地, 我們有任意指數為 $2$ 的子群必為正規子群. 這個命題非常有用.

我們可以估計 $igcup_{gin G} H^g$ 的元素數:

習題設 $G$ 是有限群, $H<G$ , 則 $G$ 中不屬於 $H$ 的任何一個共軛的元素數至少為 $|H|$ .

提示: Burnside引理.

進一步推廣, 記 $G$ 的所有非空子集的集合 $mathcal{P}(G)ackslash{varnothing}=:X$ , 則 $G$ 以右乘作用在 $X$ 上. 由於右乘保持元素數, $G$ 也可以以右乘作用在 $G$ 的某個固定元素數的所有子集的集合上. 事實上, H. Wielandt對Sylow第一定理的優美證明正是基於此想法的.

共軛作用

設 $Kleq G$ , 則 $K$ 以共軛作用在 $G$ 上, 即 $(a,k)mapsto a^k$ . 對任意 $gin G$ , $kin K_g$ 當且僅當 $k$ 與 $g$ 可交換. 特別地, 當 $K=G$ 時, 這個作用的核稱為 $G$ 的中心, 記作 $mathbf{Z}(G)$ . 易知 $mathbf{Z}(G)$ 即為與 $G$ 中所有元素都可交換的元素. 在這個作用下, $ain G$ 的 $G$ -軌道稱為 $a$ 的共軛類(conjugacy class), 記作 $a^G$ . 其穩定化子 $G_a$ 稱為 $a$ 的中心化子(centralizer), 記作 $mathbf{C}_G(a)$ . 應用軌道-穩定化子定理知 $|a^G|=[G:mathbf{C}_G(a)]$ .

一般地, 對任意 $Ssubseteq G$ , 可以定義 $S$ 的中心化子 $mathbf{C}_G(S):=igcap_{sin S}mathbf{C}_G(s)$ , 即 $G$ 中與 $S$ 的所有元素都可交換的元素的子集.

顯然共軛類組成 $G$ 的劃分. $G$ 的共軛類的數量稱為 $G$ 的類數(class number). 注意到 $mathbf{Z}(G)$ 中的元素恰為軌道只有它自身的元素, 算兩次得到類方程(class equation) $|G|=|mathbf{Z}(G)|+sum[G:mathbf{C}_G(x_i)]$ , 其中 $x_i$ 取遍每個元素數大於 $1$ 的共軛類.

引理 (Landau) 設 $ninmathbb{N}_+$ , $qinmathbb{Q}$ , 則僅有有限個數組 $(x_1,ldots,x_n)inmathbb{N}_+^n$ 使得 $q=sum_{i=1}^n1/x_i$ .

歸納即可. 立得

命題對任意 $ninmathbb{N}_+$ , 僅有有限個類數為 $n$ 的有限群.

作為一個變形, 當 $Hlhd G$ 時, 任意 $Kleq G$ 都可以以共軛作用在 $H$ 上. 當我們知道 $x,yin H$ 在 $G$ 上共軛時, 自然想問它們在 $H$ 上是否共軛. 顯然 $mathbf{C}_H(x)=mathbf{C}_G(x)cap H$ . 具體地說, 我們可以得到如下結果:

習題我們知道 $S_n$ 中兩個置換共軛當且僅當它們有相同的輪換結構. 這個習題討論的是 $A_n$ 上置換的共軛. 設 $alphain A_n$ . 證明:
(i) 或者 $alpha^{S_n}=alpha^{A_n}$ , 或者 $alpha^{S_n}=alpha^{A_n}capeta^{A_n}$ , 其中 $etain A_nackslashalpha^{A_n}$ .

(ii) $alpha^{S_n}=alpha^{A_n}$ 當且僅當存在奇置換 $gammain S_n$ 使得 $alpha^gamma=alpha$ .
(iii) 不存在奇置換 $gammain S_n$ 使得 $alpha^gamma=alpha$ 當且僅當 $alpha$ 的輪換結構由兩兩互異的奇數組成.

這個結果的一個應用是在證明 $A_5$ 的單性時減少計算量.

設 $Kleq G$ , 則 $K$ 以共軛作用在 $G$ 的子群集 $X$ 上, 即 $(H,k)mapsto H^k$ . 特別地, 當 $K=G$ 時, 我們將 $Hleq G$ 在這個作用下的 $G$ -軌道暫記為 $(H)$ . 其穩定化子 $G_H$ 稱為 $H$ 的正規化子(normalizer), 記作 $mathbf{N}_G(H)$ . 由軌道-穩定化子定理知 $|(H)|=[G:mathbf{N}_G(H)]$ . 我們得到 $G$ 在 $H$ 的共軛上的表示:

定理設 $Hleq G$ , 則有置換表示 $psi:G o S_{(H)}$ , 其中 $kerpsi=(mathbf{N}_G(H))_G$ .

我們簡單地討論一下正規化子的性質.

設 $Hleq G$ . $mathbf{N}_G(H)$ 是「使 $H$ 是正規的」最大子群, 即若 $Hlhd Nleq G$ , 則 $Nleqmathbf{N}_G(H)$ . 顯然 $Hlhd G$ 等價於 $mathbf{N}_G(H)=G$ .

當 $G$ 有限時, 有 $mathbf{N}_G(H)={gin G:H^gleq H}$ , 但當 $G$ 不有限時這不一定成立. 反例: 記 $H=Bigg{egin{pmatrix}1&a\0&1end{pmatrix}:ainmathbb{Z}Bigg}leqmathrm{GL}_2(mathbb{Q})$ , 並記 $A=egin{pmatrix}1/2&0\0&1end{pmatrix}$ , 則 $H^A<H$ . (注意此時必有 $H^{A^{-1}} otleq H$ .)

此外, 我們有 $mathbf{C}_G(H)lhdmathbf{N}_G(H)$ , 且有嵌入 $mathbf{N}_G(H)/mathbf{C}_G(H)hookrightarrowoperatorname{Aut}H$ , 詳見自同構群部分.

同樣地, 記 $G$ 的所有非空子集的集合 $mathcal{P}(G)ackslash{varnothing}=:X$ , 則 $G$ 以共軛作用在 $X$ 上. 於是便可定義任意 $Ssubseteq G$ 的正規化子.

備註

群作用是非常重要的工具，也很神奇，由此推出的結論都不太能看出直觀。列了這麼多理論，實際應用還是得靠習題。我不太會用群作用，稍微難一點的題目就做不出來，希望這樣總結以後能對使用有幫助。