振動與聲輻射數值方法概述【第二波】

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3 聲無限元法

與FE方法中近似的非反射邊界條件和吸收邊界層(例如PML方法)不同，無限元方法(Infinite Element簡稱IE)不需要對求解域進行截斷就能表述整個流體域內的解。IE的本質就是一種特殊的有限元，在結構有限元耦合流體無限元方法中（Finite Element-InfiniteElement簡稱FE-IE），相當於將FEM中人工邊界上施加的吸收邊界條件替換為了一層延伸到無限遠的單元。為了保證解的唯一性，聲壓在無窮遠處必須滿足Sommerfeld遠場輻射條件，隨著r趨於無窮

其中，研究對象為三維模型時α=1，研究對象為二維模型時α=1/2，p為聲壓幅值，k為波數，r為場點坐標。IE方法中一般假設r選取為一個很大的值R，那麼對於三維問題，Sommerfeld遠場輻射條件即可近似簡化為

這是一種阻抗為ρc的平面波邊界條件，這表示聲場點離聲源足夠遠的話，無限外域的解等效於向外傳播的平面波。

圖2 FE-IE演算法的流域和邊界

如圖2所示，在距離結構濕表面相對較遠的邊界面ГX上施加一個阻抗為ρc的平面波邊界條件，邊界面ГX將無限大的流域截斷為一個有限大的流體域Ωt。引入一個包圍結構的人工邊界面ГA，將截斷的流體域Ωt分隔為內域流體Ω1和有限大的外域流體Ω0。採用FE方法對振動結構和內域流體Ω1進行模擬，採用IE方法對外域流體Ω0進行求解[19]。

與FE方法不同，無限元提供了一種精確的吸聲末端，與吸收邊界層不一樣，無限元的解並不是消散的，而是向遠場傳播的。文獻[20]對比研究了IE方法[18]以及有限元加近似邊界條件法，研究表明：隨著激勵頻率的升高，有限元加近似邊界條件法的計算精度逐漸下降，在高頻時有限元加近似邊界條件法的誤差甚至是IE方法的幾百倍。與傳統的BE方法相比，IE方法的一個主要優勢就是其系統矩陣仍然保留了帶狀結構的特點，可以採用更為高效的迭代方法進行求解。

70年代末期，80年代中期，Bettess和Zienkiewicz首先提出了採用無限元求解波動問題，傳統的無限元主要是應用於靜態問題，90年代Burrnett和Astley的工作是無限元歷史上的一個里程碑。IE方法在聲學中的應用研究比較活躍，先後出現了多種無限元用於聲學計算，比如指數衰減無限元、映射無限元、波包絡法、「Astley-Leis」無限元(A-L)、Burnett無限元等。

衰減無限元就是保留FE方法中的形函數，然後乘上一個衰減函數，將聲壓幅值表述為指數衰減形式，即

其中，k為波數，γ是一個根據經驗選取的正係數，r是坐標。但是，從聲學理論上講，這個衰減函數本身就是錯誤的，因此，遠離人工邊界後，該方法的計算精度急速下降[18]。

映射無限元就是將無限方向映射為有限的新的形函數，通過數值積分公式求解，運用低階球坐標系的Hankel函數。因為採取了映射的策略，所以單元適合用於任何形狀或者方向的單元，不需要與球形表面相匹配，所以適用於有多個無限方向。但是，無法保證這種表述一定收斂，而且也無法合適選擇這些無限方向[18]。

1983年，Astley採用形狀函數的共軛作為Galerkin加權殘值法中的加權函數，採用波包絡法計算結構的雜訊輻射問題[21]。相比傳統FE方法，波包絡法可以在使用較稀疏的單元獲得較為穩定的遠場聲學預報[22]，1994年該法經發展成映射共軛無限元，2000年Astley在文獻[23]中將共軛無限元的擴展項中包含了1/r2項(由於另一作者Leis也提出了這種形式的無限元)稱之為A-L無限元。

但是，Burnett[18]認為指數數衰減無限元、映射無限元以及A-L無限元有一個共同的缺點，即三種無限元的擴展項中均包含了1/r項，為了保證無限元的收斂，這三種無限元必須位於外接球面上。對於縱橫比較大的結構，人工邊界以內的流體單元數量將會十分龐大，降低了無限元的計算效率。此外，映射無限元的矩陣生成需要轉置所有的病態矩陣，當研究高頻問題時，這將不利於積分。

為了能夠高效地求解縱橫比較大的結構振動與輻射雜訊問題，1994年Burnett提出以長橢球作為有限元和無限元的分界面，1998年Burnett進一步提出了使用短橢球坐標系和橢球坐標系代替長橢球坐標系[18]，並且作者在文獻中從理論上解釋了Burnett無限元比邊界元方法計算效率高的原因。

無限元種類繁多，每種無限元都有一定的適用範圍。非共軛的Burnett無限元主要適用於近場計算，A-L無限元適用於計算遠場[23]。低階Burnett無限元計算近場時收斂性較好，但是隨著徑向單元階數的升高，計算結果會變得十分不穩定[23]。文獻[24]研究了不同坐標系下的無限元合理選擇的問題。作者認為，長橢球坐標系與球坐標系下各具有一定的適用範圍。

不管是哪種無限元，其核心都是在給定足夠小的人工邊界上找出原問題解滿足的準確邊界條件或者近似人工邊界條件[25]。一般來說，為了節約FE-IE演算法的計算成本，人工邊界應盡量靠近結構濕表面(結構物與流體接觸的外表面)，甚至是直接將人工邊界構造在結構濕表面上，但是這必然帶來計算精度的降低。另一方面，為了保證計算精度，FE-IE演算法的人工邊界應該盡量遠離結構的濕表面，但是，對於大型結構而言，這將導致數值演算法的求解規模呈級數式地增加[25]。因此，對於FE-IE演算法，人工邊界的選取和計算工作量之間有個權衡的問題。

文獻[25]認為，FE-IE演算法的人工邊界半徑大小與主尺度及波長成正比關係，但很難給定一個合適的比例係數。

文獻[22]研究了波包絡法中人工邊界大小的選取原則，作者認為對於傳統的幾何結構，人工邊界的大小r一般選取為結構幾何直徑的3倍到3.5倍，對於高頻或者大型結構的聲學問題，所需要的r會更大。

文獻[26]指出，無限元基面距離結構濕表面的距離對計算結果影響較大，當基面位置遠離結構濕表面時，結構表面計算結果將會得到較大的改善。

文獻[20]中，作者將無限元的人工邊界與結構濕表面之間的距離選取為一個聲波波長，無限元的徑向和橫向滿足一個聲波波長16個節點。計算結果表明，採用低階無限元時，非共軛無限元計算近場具有較高的精度，但是當無限元的徑向階數升高時，會出現病態。而且分析遠場時，計算結果不收斂，共軛無限元計算近場時，其計算精度不是很高，但是分析遠場時，計算結果能收斂於正確解。

但以上文獻主要是針對特定的算例，研究了人工邊界的位置對FE-IE演算法計算結果的影響規律，目前還沒有文獻從理論上和物理上解釋IE演算法人工邊界位置的選取原則。

總的來說，無限元作為一種極具潛力的聲學計算方法，近幾年研究比較多，但是該方法仍有一些不足之處：

(1) IE方法的理論體系至今不完整，不同類型、不同方向的無限元差別較大[19]；

(2) 為了保證計算結果收斂，無限元法試函數的多級展開必須表述為球坐標系、類似球坐標系或者橢球坐標系，理論上來說，無限元的人工邊界必須是球面或者橢球面[18]；

(3) 目前還沒有文獻從理論上和物理上解釋IE演算法人工邊界位置的選取原則。

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