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偏微分方程

如何處理包含奇點的積分（三）

05-07

3.關於熱方程的解和初值相關的收斂問題

第三個例子主要是討論奇點是無窮遠點時候的處理辦法。按照之前的思路應該是把奇點孤立起來，然後看看包含奇點部分的積分整個積分的影響。當奇點是無窮遠點的時候，就是把積分區域分為一個緊集以及緊集外部，緊集的外部就是包含無窮遠點的區域。事實上定義廣義黎曼積分的時候就是這樣一個思路。

Def 3:(一維的熱方程初值問題)

$frac{partial{u}}{partial{t}}= frac{partial _{}^{2}u }{partial x_{}^{2} }$ , $u(x,0)=f(x)$

Def 4:(Schwartz class )

對於任意的 $k,l$ $sup_{xin R}|x|^{k}|f^{(l)} (x)| <infty$

滿足這個條件的函數就是屬於Schwartz class $extbf{S}(R)$ 的函數

Def 5:(Heat kernel )

$H_{t}(x)=frac{1}{(4pi t)^{1/2} } e^{-x^{2}/4t }$ 其傅里葉變換 $hat{H}_{t}(xi ) =e^{-4pi^{2}txi ^{2} }$

Lemma 4:(Plancherel )

$fin L^{2}(R^{d} )$

$int_{R^{d}} |hat{f}(xi )|^{2}dxi =int_{R^{d}} |f(x)|^{2}dx$

eg 3:

假設 $fin extbf{S}(R)$

令 $u(x,t)=(f*H_{t} )(x)$ , $t>0$ ，則

$int_{-infty}^{infty} |u(x,t)-f(x)|^2dx ightarrow 0$ 當 $t ightarrow 0$

proof:

先根據Lemma 4 把被積函數傅里葉變換一下,再根據卷積的性質把 $f$ 分離開

$int_{-infty}^{infty} |u(x,t)-f(x)|^2dx=int_{-infty}^{infty} |hat{u}(xi ,t)-hat{f}(xi)|^2dxi=$ $int_{-infty}^{infty}|hat{f}(xi )|^2 |e^{-4pi^{2}txi ^{2} } -1|dxi$

然後把積分分為不包含奇點的緊集部分和包含奇點的緊集外部

先估計包含奇點部分

$int_{|xi |geq N}^{}|hat{f}(xi )|^2 |e^{-4pi^{2}txi ^{2} } -1|dxi<varepsilon$

這是因為 $fin extbf{S}(R)$ 並且在積分區域裡面 $|e^{-4pi^{2}txi ^{2} } -1|$ 是有界的

然後考慮不包含奇點的緊集上的積分

$int_{|xi | leq N}{}|hat{f}(xi )|^2 |e^{-4pi^{2}txi ^{2} } -1|dxi<varepsilon$

這是因為函數 $hat{f}$ 是有有界的，那麼對於足夠小的t, $sup_{|xi|leq N}|hat{f}(xi)|^{2} |e^{-4pi^{2}txi ^{2} } -1|<1$

Q.E.D

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