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素數的倒數和是發散的（一）

05-07

介紹三個證明，三個證明從三種不同的角度出發，各有特色。

A：

第一個證來自於華羅庚先生的《數論導引》1956年版，p90主要思想如下：

lemma1：（歐拉恆等式）任何一個積性函數f(n),級數 $sum_{n=1}^{infty }{f(n)}$ 絕對收斂的條件下（或連乘積絕對收斂的條件下），成立等式： $sum_{n=1}^{infty }{f(n)} =prod_{p}^{}(1-f(p) )^{-1}$

歐拉恆等式的一個比較有名的推論是當 $f(n)=frac{1}{n^{s} }$ ,此時歐拉恆等式的左邊就是

$sum_{n=1}^{infty }{frac{1}{n^{s}} }=varsigma (s)$

也就是Riemann的zeta函數

下面是兩個關於級數斂散性的結論：

lemma2:如果 $b_{n} >0$ ,那麼 $prod_{n=1}^{infty } b_{n}$ 與 $sum_{n=1}^{infty }{log(b_{n})}$ 具有相同斂散性
lemma3:如果正項數列 $a_{n}$ 與 $b_{n}$ 是同階無窮( $a_{n}sim b_{n}$ , $n ightarrow infty$ )則，正項級數 $sum_{n=1}^{infty }{a_{n} }$ 與 $sum_{n=1}^{infty }{b(n)}$ 具有相同的斂散性

Proof:

定義等價關係 $approx$ 為兩個極限具有相同的斂散性

由lemma1,lemma2,lemma3:

（1）： $sum_{n=1}^{infty }{frac{1}{n} } approx$ $prod_{p}^{}(1-frac{1}{p} )^{-1} approx -sum_{p}^{}{log(1-frac{1}{p} )}$ $approx sum_{p}^{}{frac{1}{p} }$

式子(1)首先是由於取 $f(n)=frac{1}{n}$ 帶入到lemma1中的恆等式裡面，然後利用lemma2,最後因為

$log(1-frac{1}{p} )sim frac{1}{p}$ 利用lemma3得到。

因為 $sum_{n=1}^{infty }{frac{1}{n} }$ 發散，因此由(1)可知 $sum_{p}^{}{frac{1}{p} }$ 發散

Q.E.D
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※從調和級數到 Riemann Zeta 函數

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