傅立葉分析

05-06

對於任意一個周期為T函數的傅里葉級數為：

$f(x)=C+sum _{{n=1}}^{infty }left(a_{n}cos({frac{2pi n}{T}x})+b_{n}sin({frac{2pi n}{T}x}) ight),Cin mathbb {R}$

各項係數可以表達式為

$f(x)={frac{a_{0}}{2}}+sum _{{n=1}}^{infty }left(a_{n}cos ({ frac {2pi nx}{T}})+b_{n}sin ({ frac {2pi nx}{T}}) ight)$

$a_{n}={frac{2}{T}}int _{{x_{0}}}^{{x_{0}+T}}f(x)cdot cos ({ frac {2pi nx}{T}}) dx, nin { 0} cup mathbb {N}\$

$b_{n}={frac{2}{T}}int _{{x_{0}}}^{{x_{0}+T}}f(x)cdot sin ({ frac {2pi nx}{T}}) dx, nin mathbb {N}$

我們假設有一個周期t=10的方波，可分解成多組正弦波的疊加

T=10

方波可分解成兩個簡單函數

f1=0.5*x； (x,0,T/2)

f2=0.5*(T-x) ； (x,T/2,T)

帶入求解，併疊加波

3組疊加

5組疊加

20組疊加

30組疊加

60組疊加

100組疊加

顯然疊加的波數越多，形成的方形波越精確，但越是靠前面的波對整個框架的建立越重要。

再試試三角波

10組疊加

30組疊加

50組疊加

另外一個值得注意的是由於 $omega=kv$ ，所以寫入波動方程時每個 $a_n , b_n$ 相對應的 $omega_n$ 也要相應變化。

傅立葉變換在生活中的引用也很多，我們日常見到的光線、聽到的聲音、看不見的電磁波都是各種不同波長的光波和聲波的疊加。從聲音和圖像的各種降噪、到電力系統繼電保護領域、4G手機信號的生成傳播、天文觀測中各種脈衝信號分析、軟體的壓縮演算法，傅立葉變換的應用無處不在。