【數分】期末復慣用·多元函數微分學&隱函數定理及其應用

05-06

滾回基礎......大概僅對我校有用的期末複習。藍本是華師大版，我不知道什麼Rudin，也不知道Zorich.（。

題目雖是多元，大概只涉及到二元與三元；微分學主要涉及可微性、複合函數微分法、方嚮導數與梯度、泰勒公式、（條件）極值的內容。隱函數主要寫隱函數、隱函數組以及相關的幾何應用。

·可微性

類似於一元函數的做法，我們對二元函數的可微性進行討論。

仿照一元的 $Delta y=ADelta x+mathcal o(x)$ ,我們討論 $Delta z=ADelta x+BDelta y+mathcal o( ho)$ ,其中 $ho=sqrt{x^2+y^2}$ .只要函數在某點的全增量 $Delta z$ 可以這樣表示，我們稱它可微。而其全微分 $mathcal dz$ 指的是它的線性主部 $ADelta x+BDelta y$ ，後續我們都一般用 $mathcal dx，mathcal dy$ 來表示。

由於一元到二元的轉變，我們在需要單獨分析其中一個變數時，便引入了偏導數的概念。簡單來說，偏導數是將二元退化到一元來分析，相應的另一個變數將被看作是常數。偏導的計算便和一元的導數計算大同小異，許多運演算法則對於二元體系依然使用，下面馬上會講到。因此，其幾何意義也是十分明了的：在二元函數（某曲面）上某點的偏 $x$ 導是令 $y=y_0$ 後得到的曲線的切線與x軸正向夾角的正切值；偏 $y$ 導同理。

$color{red} {考點一}$ ：計算各類函數的偏導數，全微分。

例：課後習題第一題，第二題，第三題，第八題，第九題。分為直接用求導法則計算（1，2，8，9）與按微分定義求極限計算（3）。使用定義時常常與證明連續性（4，6，7）掛鉤。

下面著重討論可微性的條件。

必要條件：可微即意味著偏導都存在。

充分條件：偏導存在且連續，函數可微。

半期的時候即考察過可微並不意味著偏導一定連續。書上有個中值公式，不過我想留到後面說，雖然也沒什麼好說的。

上面討論的是偏導與可微的聯繫；而函數自身的可微與連續的聯繫類比於一元，不同在於偏導均存在也不能斷言函數連續（可微性更不能保證）；偏導的存在是一個相對較弱的條件，要證明連續我們還需添加條件去限制它。

$color{red}{考點二}$ :證明某函數在某點可微。大致思路是將 $Delta z$ 表示成上述形式，關鍵證明除開線性主部的部分是 $ho$ 的高階無窮小；即證明 $lim_{ ho ightarrow 0}{frac{Delta z-(ADelta x+BDelta y)}{ ho}}=0$ .

例：課後習題第五題，第六題，第七題。

依然類比一元與二元，一元的可微對應曲線的切線，二元的可微對應曲面的切平面。讓我們跳過大段的證明，直接說要考啥吧233333.全微分的幾何意義可以了解下，不過感覺出題可能性不大（單指書上那張圖

$color{red}{考點三}$ ：根據所給曲面寫出過某點的切平面與法線方程。很程序化的算出各個偏導；最後代入模板公式中即可。

例：課後習題第十題、第十一題、第十二題。

·複合函數微分法

這一章更加沒什麼可說的；全是鏈式法則的計算，有時可以直接將二元轉換成一元或是利用微分形式不變性（記得到更高階好像不成立了）求解；更多的時候是建立一個「樹」的概念，找准中間變數作中轉即可。熟能生巧的一章。

$color{red}{考點四}$ ：計算複合函數的偏導及全微分。這個考點可歸為考點六的基礎。

例：橫線以上所有題目。

·方嚮導數與梯度

簡單來講，這章也是單調的計算......會算梯度（還有什麼是比直接計算各個變數的偏導更簡單的），方嚮導數，理解兩者聯繫（無非方向餘弦的有無)以及梯度何時最大及其意義。

$color{red}{考點五}$ ：計算梯度與方嚮導數。

例：橫線以上所有題目。

·泰勒公式

由於泰勒公式需要用到更高階的導數以及混合導，所以簡單的寫下高階的導數相關的內容。書上有一個定理，若 $f_{xy}$ 與 $f_{yx}$ 均在某點連續，則在該點兩個函數值相等。 $f_{xy}=f_{yx}$ 也是判定微分方程是否為恰當方程的依據。上述定理也能夠推廣到n元中。

$color{red}{考點六}$ ：混合偏導的計算。可能考察個填空題或者證明題。主要是注意細節，對於我來說很多時候容易把中間變數所弄出來的那一塊直接默認成常量......

例：1，2，3，4.

中值定理是泰勒公式當n=2時的特殊情形，這裡與之前所述的中值定理略微有點區別，區別在於前面那個 $heta$ 是可取兩個不同的值，這裡是確定的。通過這個定理還能得到一個比較實用的推論，當偏x偏y導都恆為0時，原函數是常值函數。

從特殊到一般，我們得到了二元函數的泰勒公式，後面每一項「係數」都類似於二項式展開的形式；鑒於期末要求較低，就不貼考點，做做課後習題就是了......

·極值

這裡把下一章的第四節條件極值一起拉過來講。也就是說，極值的考察方式有兩種，非條件極值與條件極值。

非條件極值要求對於可能的極值點的判斷（穩定點以及偏導數不存在的點、若有邊界考慮邊界點），書上給出的定理有關Hesse矩陣，我們直接用更trivial的形式記憶它，走套路式地計算出所需的偏導=0從而算出可疑點，再判斷混合偏導的相關式子的正負得出最終結果。

$color{red}{考點七}$ ：求非條件極值。

例：p151 8，9，11，12（注意10題其實用條件極值可能更好）

條件極值用到了拉格朗日數乘法，建議將書上的證明讀一遍，這對你對這個方法的理解和記憶還是有幫助的。在計算時，對於拉格朗日函數的構造有時用一些小技巧使得計算會更簡便（比如兩個增長趨勢相同的函數的替換）。

利用求出的極值我們還能進行一些不等式的證明。

$color{red}{考點八}$ ：求條件極值。

例：p151 10；p181 1，3

·隱函數

求解隱函數是一個「求解「的過程，但很多時候並沒有有效的方法進行求解，或者說，寫出相應的 $y=f(x)$ 表達式是困難的。那麼從原式中看出隱函數所有的性質是一件很值得探討的事情。這裡提出的一系列定理都是圍繞隱函數的一些性質展開的。照慣例書上的證明不寫了，直接上結論吧。

隱函數定理包括：隱函數存在惟一性定理，隱函數可微定理。前者是充分條件，連續性，初值條件， $F$ 關於 $y$ 的嚴格單調缺一不可；後者主要是為計算隱函數的微分服務的。由於定理限制條件稍多，理解是關鍵。

$color{red}{考點九}$ ：判斷某方程的隱函數是否存在/能確定怎樣的隱函數。期末是否會用判斷/選擇/填空的方式來考察持保留意見。有一個不算陷阱的陷阱：書上給的定理的第三、四個條件是加強過的，考試時或許會在這上面考一個邊緣理解（？）。

例：p162 1，2

$color{red}{考點十}$ ：求隱函數導數。可以將定理中的表達式記下來直接用；不過我一般是先確定問題中所隱含的誰是誰的導數（敲重點），再用鏈式法則的方法將其求解出來。這在隱函數這裡兩個方法差別不大，不過到了隱函數組則很容易把因變數和自變數搞混，Jacob行列式記起來也十分繁瑣。還是推薦直接用後一種方式吧。

例：3，4，5

第六題本質還是計算。

關於隱函數的反函數，毋庸多言，因變數與自變數的位置互換，與原函數的導數的關係也是十分自然、顯然的。

·隱函數組

無非是改方程為方程組，這時確定哪些是因變數哪些是自變數就顯得很重要了，一不留神就會少帶出來一塊（計算能力戰五渣的血淚史）（捂臉）。動筆算之前可以先寫出其確定的是怎樣的函數來提醒自己。考點依舊是上面的，不重複寫了。

而這一章也是後面算重積分時坐標變換的基礎。

基本技巧：有幾個方程就能解幾個未知數，剩下的就都是自變數了。即自變數個數=未知量個數-方程數。

·幾何應用

依舊是計算，並不會涉及太多的幾何直觀。主要分為三類：平面曲線的切線與法線；空間曲線的切線與法平面；空間曲面的切平面與法線。

1）平面曲線的切線與法線

按照原本所學知識就能解決，只是載入了隱函數定理。

2）空間曲線的切線與法平面

分為參數方程與非參數方程；參數方程分別算出各未知量偏導（方向數）即可；非參數方程的方向數計算我推薦用書上行列式記憶： $au=n_1 imes n_2=left|egin{array}{cccc} i& j & k \ F_x(P_0) & F_y(P_0) & F_z(P_0)\ G_x(P_0) & G_y(P_0) & G_z(P_0) end{array} ight|$ .

原理是空間曲線可看成兩個空間曲面的交線，而曲線的切線與兩個曲面在該點的法線都垂直。

3）空間曲面的切平面與法線

在上次寫到的全微分的幾何意義基礎上載入了隱函數定理。

考查方式就是各種計算，就看計算時的條理清晰度了。

$color{red}{考點十一}$ :有關計算。

考點總結：考點一、四、五、六、十會綜合起來考察計算，寫的時候由於是按順序以及解構知識點的原則將其分散了。建議用鏈式法則算起來會比較輕鬆；考點三、十一應該也會出一道計算，而對於幾何意義的計算建議直接將未知量看成地位平等的量分別求導要更快一些，考點五計算梯度與方嚮導數也是如此。證明題則看起來弱小，可憐，又無助（。

那麼，今天就到此為止了。複習的筆記還是很輕鬆的......這次是真·廢話了。

T.B.C.