【拓撲】度量拓撲（一）

05-06

嚴格按照書上的結構將度量拓撲分為兩節來講，這一種拓撲是現代分析的核心之一，很重要吧，大概。

Def. 度量（metric）,是指函數 $d:X imes X ightarrow mathbb R$ ,滿足

1）函數值永遠非負，且為0時當且僅當x=y；

2）d（x，y）=d（y，x）；

3）滿足三角不等式。

對於 $varepsilon>0$ , $B_d(x,varepsilon)={y | d(x,y)<varepsilon}$ ,稱為以x為中心的 $varepsilon-$ 球.

Def. d是一個集合X的度量，則全體 $varepsilon-$ 球 $B(x,varepsilon)$ 的族，其中 $xin X,varepsilon>0,$ 是X的某一個拓撲的基，這個拓撲稱為由度量d誘導出來的度量拓撲。

e.g. 定義d(x，y)=1，若 $x e y$ ；d（x，y）=0，若x=y.這樣誘導出的拓撲是離散拓撲；

定義d(x，y)=| x - y |，這樣的d被稱為實直線 $mathbb R$ 上的標準度量，誘導出的拓撲是序拓撲。

Def. 設 $X$ 是一個拓撲空間，如果 $X$ 的拓撲是由集合 $X$ 的某一個度量d所誘導出來的，則稱 $X$ 是一個可度量化（metrizable）的空間。度量空間即指一個可度量化空間連同一個誘導出 $X$ 的拓撲的特定的度量d。

關於度量化的進一步學習在後續章節；我們這裡先討論 $mathbb{R}^n$ 與 $mathbb{R}^omega$ 的可度量化。

注意：一個空間是否可度量化，僅僅依賴於空間的拓撲。但是與具體度量相關的一些性質更多的屬於分析學的範疇。例如集合的有界性，在這裡表現為 $X$ 的某個子集 $A$ 的度量d被某個數 $M$ 所限制（即其距離不超過這個數），就不是一個拓撲性質。

● $mathbb{R}^n$ 的度量化

比較常見的能夠誘導出 $mathbb{R}^n$ 拓撲的兩種度量是歐式度量 $d$ 與平方度量 $ho$ ,其中 $d(old x,old y)=[(x_1-y_1)^2+...+(x_n-y_n)^2]^{frac{1}{2}}$ , $ho(old x,old y)=max { { |x_1-y_1|,...,|x_n-y_n| }}$

在一維的情況下兩者都是上面所提到的實直線的標準度量；二維時前者的基元素為圓域，後者為方域。

Thm. 由歐式度量及平方度量所誘導的 $mathbb{R}^n$ 拓撲與 $mathbb{R}^n$ 的積拓撲相同。

為減小證明長度，補充引理：

Lemma $d$ 和 $d$ 是集合 $X$ 上的兩個度量。 $Gamma$ 與 $Gamma$ 分別是它們誘導出的拓撲，則 $Gamma$ 細於 $GammaLeftrightarrow forall xin X,forall varepsilon>0,existsdelta>0,s.t. B_{d}(x,delta)subset B_{d}(x,varepsilon).$

下面證明該定理。

Pf 分為兩個主要步驟進行：

1.證明由歐式度量與平方度量所誘導的拓撲為同一拓撲。

設 $old x,old y$ 為 $mathbb{R^n}$ 兩點。由上述兩種度量定義易知， $ho(old x,old y)leq d(old x,old y)leqsqrt{n} ho(old x,old y)$ .由前一個不等式可以得到 $B_d(x,varepsilon)subset B_ ho(x,varepsilon)$ ,這是因為只要兩者距離小於 $varepsilon$ 的歐式度量的點在平方度量中距離會更小，自然上述球中。後一個不等式可同理得到 $B_ ho(x,frac{varepsilon}{sqrt{n}})subset B_ ho(x,varepsilon)$ .

那麼由引理我們得出這兩個度量誘導出的拓撲互相細於對方，故它們是同一個拓撲。

2.證明該度量誘導出的是積拓撲。

證明兩種度量其中之一即可，這裡選用平方度量證。證明等價關係的思路和上面證的思路是相仿的。

假設積拓撲的一個基元素 $U=(a_1,b_1) imes(a_2,b_2) imes... imes(a_n,b_n)$ ,現在要找平方度量誘導出的拓撲的一個基元素 $V=B(old x,varepsilon)，s.t.Vsubset U$ .

設 $old x=(x_1,x_2,...,x_n)$ ,則 $existsvarepsilon_is.t.(x_i-varepsilon_i,x_i+varepsilon_i)subset(a_i,b_i).$ 令 $varepsilon=min{{varepsilon_1,...,varepsilon_n}}$ ,那麼這樣得到的 $V=B(old x,varepsilon)subset U$ .

反過來設度量拓撲的一個基元素 $U$ ，很顯然這就是積拓撲的一個基元素 $V=(x_1-varepsilon,x_1+varepsilon) imes... imes(x_n-varepsilon,x_n+varepsilon)$ .得到 $Vsubset U.$

於是此處平方度量拓撲與積拓撲等價。

綜上，我們便證明了該定理。Q.E.D.

● $mathbb{R^omega}$ 的度量化

在初始討論這個問題時，我們會很自然的想要把歐式度量與平方度量推廣到無限維的情況，但事實是，由於級數 $sum_{i=1}^{infty}{(x_i-y_i)^2}$ 的收斂性未知和平方度量中的最大值的不確定，我們必須做出一些新的規定。具體如下：

Thm. 設 $X$ 是一個具有度量 $d$ 的拓撲空間，則用 $ar{d}=min{{d(x,y),1}}$ 所定義的 $ar{d}:X imes X ightarrowmathbb{R}$ 是一個度量，且與 $d$ 誘導出的拓撲是同一拓撲。

其中 $ar{d}$ 稱為相對於 $d$ 的標準有界度量。

現在，對於任意指標集 $J$ ，用上述的標準有界度量定義 $mathbb{R}^J$ 的一致度量：

Def. 給定指標集 $J$ 以及 $mathbb{R}^J$ 中的點 $old x=(x_alpha)_{alphain J},old y=(y_alpha)_{alphain J}$ ,定義 $mathbb{R}^J$ 的一個度量 $ar ho$ 為 $ar ho(old x,old y)=sup{{ar d(x_alpha,y_alpha)|alphain J}}$ ,其中 $ar d$ 是 $mathbb{R}$ 的標準有界度量， $ar ho$ 即是 $mathbb{R}^J$ 上的一致度量，這樣誘導出的拓撲稱為一致拓撲。

實際上，這樣在 $mathbb{R}^omega$ 上的度量仍有限制條件，只有當 $omega$ 是可數集且取積拓撲的情況下， $mathbb{R}^omega$ 才是可度量化的。

Thm. $mathbb{R}^J$ 上的一致拓撲細於積拓撲，粗於箱拓撲。當 $J$ 為無限集時，這三個拓撲兩兩不同。

Pf 只證粗細程度。為構造證明法。

一、證一致拓撲細於積拓撲。構造一個 $varepsilon-$ 球包含於一個積拓撲的基元素內即可。

二、證一致拓撲粗於箱拓撲。思路與前者相仿，構造一個包含於 $varepsilon-$ 球的箱拓撲的基元素。

Q.E.D.

寫了這麼多，也還沒有提到無限笛卡兒積的情況，前面都在鋪墊。實際上，這樣在 $mathbb{R}^omega$ 上的度量仍有限制條件，只有當 $omega$ 是可數集且取積拓撲的情況下， $mathbb{R}^omega$ 才是可度量化的。

Thm. 設 $ar d(a,b)=min{|a-b|,1}$ 是 $mathbb{R}$ 上的標準有界度量，對於 $mathbb{R^omega}$ 的兩個點 $old x,old y$ ,定義 $D(old x,old y)=sup{frac{ar d(x_i,y_i)}{i}}$ .那麼D是誘導 $mathbb{R^omega}$ 的積拓撲的一個度量。

Pf 證明D的確是用一種度量是很容易的。現證D誘導積拓撲。證明的方法和之前證明拓撲等價的方法是一樣的，證明相互細於對方。

先證：令積拓撲基元素 $V=(x_1-varepsilon,x_1+varepsilon) imes... imes(x_N-varepsilon,x_N+varepsilon) imesmathbb R imesmathbb R imes...$ , $N$ 足夠大 $s.t.N<frac{1}{varepsilon}$ ,則有 $Vsubset B_D(old x,varepsilon)$ .

注意到對於 $mathbb{R^omega}$ 上任意一點 $old y$ 以及 $igeq N$ ,有 $frac{ar{d}(x_i,y_i)}{i}leqfrac{1}{N}<varepsilon$ ，那麼 $D(old x,old y)leq max{frac{ar d(x_1,y_1)}{1},...,frac{ar d(x_N,y_N)}{N},frac{1}{N}}$ .

則當 $old yin V$ 時，以D度量 $old x,old y$ 距離不超過 $varepsilon$ ,從而 $Vsubset B_D(x,varepsilon)$ .

再證：令積拓撲基元素 $U=prod_{iin mathbb{Z_+}}U_i$ ,且當 $i=a_1,...,a_n$ 時， $U_i$ 是 $mathbb R$ 中的開集，其餘指標則為全集。則有 $old xin B_D(old x,varepsilon)subset U$ .

依舊是構造性證明，先構造被 $U_i$ 包含的區間 $(x_i-varepsilon_i,x_i+varepsilon_i)$ , $i=a_1,...,a_n$ ，且規定 $varepsilonleq1$ .定義 $varepsilon=min{frac{varepsilon_i}{i}|i=a_1,...,a_n}$ .

現在對於 $old y$ $in B_D(old x,varepsilon)$ ,易知對於所有的 $i$ 都有 $frac{ar{d}(x_i,y_i)}{i}leq D(x,y)<varepsilon$ .當 $i=a_1,...,a_n$ 時， $ar d(x_i,y_i)leq ivarepsilonleqvarepsilon_ileq1.$ 故按照標準有界度量定義，得到 $|x_i-y_i|<varepsilon_i$ ,按之前所構造區間得出 $old yin U$ .

從而 $B_D(old x,varepsilon)subset U$ .

Q.E.D.

本節小結：這一節主要介紹了度量空間基本概念以及兩種不同的笛卡兒積的度量化問題。從這裡已經可以看出積拓撲確實比箱拓撲有更多較好的性質。在講述拓撲度量化時，我們總是將其與前面的拓撲聯繫起來，通過構造性的證明方式（幾乎這一節所有的證明都用到了它）來更加深入的了解度量拓撲。下一次我們將繼續深入探討其相關性質。

T.B.C.