【拓撲】閉集、極限點、Hausdorff公理

此次簡述一些概念與基礎性的東西和某些（我認為）比較有意思、重要的證明，章節習題留下一次寫。

我們先看看什麼是閉集，閉集指對於拓撲空間 的某子集 ，若 為開集，則 為閉集。完全按照開集的對立面給出的定義。當然，在淑芬里我們知道的閉集的定義是用限制點來定義的，但是學到這裡這本書還未給出限制點定義；事實上接下來我們就會講到。

有以下幾個例子。

e.g. 的子集 既不是開集也不是閉集。

對於集合 的有限補拓撲， 自身及 所有有限集構成其閉集族。

的離散拓撲中每一個集合既是開集也是閉集。

因此，一個集合可以是開的，可以是閉的，可以是既開又閉的，也可以是非開非閉的。

作為開集的對立面，我們自然可以用閉集來定義拓撲空間——然並卵。

Thm 是 的一個子空間。集合 是子空間上的閉集 上的一個閉集 .

證明略，以書上畫圖的方式可以很快的證出來。

Thm 前置同上。若 是 的一個閉集且 是 的一個閉集，則 是 的一個閉集。

這樣的傳遞性我們在子空間拓撲證明其開集的時候也是類似的。這使我想到了離散里合取與析取的對偶性，不是一個概念，但有思維上相同的地方。

說完閉集再來說閉包，此處先是如此定義的：包含著某個子集的所有閉集的交。所謂的閉包，都含有「極小」的含義在裡面，而這裡則是指使開集成為最小的閉集。

要尋找一個集合在子集里的閉包，我們的方法是讓其在整個空間的閉包與該子集取交。

書上陸續給出了鄰域，限制點聚點的概念，想必十分熟悉了，直接跳過吧。

有一個例子感覺不是很顯然，有理數集的閉包是實數集。怎麼去想這個問題呢...？

在這裡，原先在Rudin中給出的關於閉集的定義這裡直接成了定理的推論了，而這個定理又是在Rudin里專門定義閉包時給出的......小小的吐槽一下。

在提出Hausdorff空間之前，我們需明確一些慣性結論並非隨時可以成立：

1、單點集不一定是閉集。2、一個拓撲空間中，一個序列可以收斂到多個點。

接下來提出的空間，就是為了消除上述出現的例子中的拓撲空間的情況，從而助於研究和學習。

Def 對於拓撲空間的任意兩個不同的點 ，分別存在它們的某個鄰域使得其無交，則該拓撲空間被稱為Hausdorff空間.

Thm Hausdorff空間的任何有限集都是閉的。

需注意實直線 的有限補拓撲並非是一個Hausdorff空間，儘管此空間的有限點集是閉集。（此處沒反應過來）而關乎有限點集是閉集的條件需用到 公理，以後會學這裡我先跳過了，這個條件是比Hausdorff的要弱一些。

有了Hausdorff條件，先前提出的兩個問題又可以重新劃歸到平常的討論中了。

下面舉出一些Hausdorff空間的例子，證明將在下一次給出：

具有序拓撲的全序集；兩個Hausdorff空間的積；Haudorff空間的子空間。

Hausdorff條件與 公理屬於分離性定理的一部分，第三者還包括可數性公理、緊緻性與連通性，後續我們還會學到它。

那麼今天就到這裡。