智能的奧秘（二）——通向妖巢的道路

前情回顧

上一篇文章《智能的奧秘（一）——藏在初代神經網路中的小妖》提到，最初的神經網路模型「感知機」由於無法處理線性不可分問題而受到詬病，而典型的線性不可分問題「異或運算」可以從非常簡單的起點出發，在棋盤上構造出紛繁的圖形——歇爾賓斯基三角，它是一個「分形」。而之所以如此，則是因為異或運算具備非線性的特徵，複雜的分形就像是藏在非線性特徵中的小妖，她隱秘、難纏，但它卻可能帶我們深入理解這個世界。為了捉住這隻小妖，我們要觀察它的蛛絲馬跡，所以就從歇爾賓斯基三角開始。

一、分形——藝術與真理的結合

如前文所述，謝爾賓斯基三角形是由波蘭數學家謝爾賓斯基在1915年最早提出的，它的形態如下：

我們可以看到它的局部與整體有自相似性，所以它是一個分形。

分形在數學裡是一個小眾領域，它是由美籍數學家本華·曼德博（法語：Benoit B. Mandelbrot）在1960年代首先提出的。分形的詭異之處在於，它的任何一個局部都充滿了孔隙、鋸齒，用數學語言講，它是「處處不可導」的，因此微積分對它束手無策。比如上面這個歇爾賓斯基三角，就處處都是孔洞，你找不到任何」一小片「是像瓦片那樣」完整「的，無論你把它放大多大，看起來也還是一塊「紗窗」。這就意味著，雖然看起來它佔據了一定的平面空間，但實際上它的面積是0。是不是有點詭異？

儘管擁有詭異的性質，分形的美感還是令人傾倒，在眾多分形中，最著名也最有美感的當屬Mandelbrot集的圖形：

他不但具有十足的藝術感，更是蘊含了自然界的奧秘，就連一些物理學家也說，「今後誰不熟悉分形，誰就不能被稱為科學上的文化人」。關於分形的文章有很多，本文不再贅述，我們回到歇爾賓斯基三角。

二、曲徑通幽

如果你不經意走進一處隱秘絢麗的風景，你一定會覺得幸運。而如果你發現幾條看似毫不相干的道路，最終都通向這片隱秘之處，你一定就會覺得這裡蘊藏著秘密。而歇爾賓斯基三角，就是我發現的這片隱秘之處。

第一條路

我們上一篇文章介紹了通向歇爾賓斯基三角的第一條路，我們簡單回顧一下。首先，我們把一排方格的某一個塗成黑色，也就是標記為「真」，其餘塗成白色，標記為「假」。

而後，我們從第二排開始，對將上一排相鄰的兩個方格進行「異或運算」（計算規則圖示如下），並將結果標記在這一行中。

最後我們不斷重複這一過程，將隨後的每一行都做滿標記，我們就將得到一個歇爾賓斯基三角。

第二條路

除了上面的方法以外，還有其他貌似毫不相干的方法也能得到歇爾賓斯基三角。首先，我們從一個完整的三角形開始，將它的三條邊的中點相連，形成一個新的小三角形。我們將這個小三角形從原來的三角形中挖掉，從而一個黑色大三角形變成了三個小三角形。

而後，我們對三個小三角形重複上面的操作，它又變成了九個更小的三角形。

再後，我們對新形成的三角形反覆進行相同的操作，並想像這種操作無限重複下去，最終我們就得到了這樣的圖形，它仍是一個歇爾賓斯基三角。

與上一個方法得到的圖形相比，你可能會覺得兩個圖形是不同的——上一個圖形中的每一個最小的「小塊」是正方形，而這個圖裡是三角形。其實這只不過是因為我們沒辦法真正無限操作下去，如果我們可以無限操作下去，方法一中的「鋸齒」將會非常非常小，以致於成為一條直線。

我們略微總結一下這種方法，它是從一個完整的二維圖形出發，不斷的挖空其中的一部分，最終得到分形。

第三條路

這一次，我們從一個一維圖形（也就是線段）出發，同樣得到了歇爾賓斯基三角。

首先，我們需要兩條線段，他們一段相連，另一端分開，形成一定的角度，也就是一個「V」字形。

隨後，我們取分開的兩端連線的中點（也就是上面三角形底邊的中點），分別和兩條線段的中點連線，這樣一個V字形就變成了三個V字形。

最後，我們對每個V字形不斷重複上述過程，我們會得到的圖形：

繼續不斷重複下去，想像我們能重複無窮多次（需要你的一些想像力），那麼最後的圖形仍然是歇爾賓斯基三角。

我們仍然要略微總結一下這種方法，它是從一個一維圖形出發，不斷增添一部分，最終得到分形。

第四條路

這一次我們從一個空白的三角形出發，將三角形的三個頂點記為A、B、C。

首先，我們在三角形內隨意找一個點s0，在A、B、C三個頂點中隨意找一個頂點，畫出這個頂點和s0連線的中點s1。

隨後，我們在A、B、C三個頂點中再隨意找一個頂點，畫出這個頂點和s1連線的中點s2。

最後，我們不斷重複上述過程，就會在三角形內部得到很多個點，這些點組成的形狀是什麼呢？

我們發現最後竟然仍是歇爾賓斯基三角！

更多條路

不僅如此，還有另外其他方式可以到達歇爾賓斯基三角：

我們不禁要問，在這些各不相同的路徑背後，到底有什麼共性？為什麼它們都到達了同一個目的地？坦率的說，筆者也沒有完全弄明白，只是發現了一些線索。下一篇文章，我將向大家呈現這一線索。
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