正確描述輔助線作法，證明圓的切線

有關切線的定義和判斷，有以下2種：

1、到圓心的距離等於半徑的直線；

2、經過半徑（直徑）的一端，且與半徑垂直的直線；

具體到題目中，該使用哪一種方法，則取決於題目所給的條件，例如下：

如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，圓O分別與邊AB、AD、DC相切，切點分別為E、G、F，其中E為邊AB的中點.

(1)求證：BC與圓O相切；

(2)如圖2，若AD=3，BC=6，求EF的長.

解析：(1)根據題目的描述，我們需要利用定義來判斷BC是否與圓O相切，判斷的依據是點O到BC的距離、圓的半徑，只有這兩個量相等，才能判斷BC是圓O切線。

輔助線作法研究

按上述分析，應該過點O作BC的垂線，然後再證明它等於圓的半徑，由此我們極容易有幾種常規思路：

第一，作OH⊥BC，連接OE，這樣作的目的是構造出一個矩形OEBH，若能證明它是正方形，那麼問題解決，可是，矩形好證，正方形不好證，尤其在觀察圖形時，最容易看錯的就是OH，其實在剛才的作法中，它只是垂線，並不是半徑，因為點H是垂足，並不一定就在圓O上；因此，企圖通過OE=OH來證明它是正方形的思路是錯誤的。

第二，解決圓中的切線類問題，切點和圓心一般需要連接，從這個思路出發，我們嘗試連接OG和OE，這樣作輔助線的好處是解決了第一種作法的難處，構造出一個正方形AEOG，但垂線OH怎麼辦呢？將GO延長，因為OG⊥AD易證，同時AD∥BC，因此GH一定是BC的垂線，但一定要注意，GH是BC的垂線，並不是直徑。

在這種輔助線下，構造矩形ABHG非常容易，於是我們可以得到GH=AB，同時由於點E為AB中點，OE=OG，可得正方形AEGO和正方形BEOH，從而解決前一種輔助線未能解決的問題，得到OH=OE，即點O到BC的距離等於半徑。

(2)由題目條件中梯形上下底的長度，聯想到常見梯形輔助線作法，過點D作一條高線DK，這樣可得到BK=CK=AD=3，在前一問基礎上，利用切線長定理，可得AG=AE，DG=DF，BE=BH，CH=CF，於是上下底之和等於兩腰之和，即AB+CD=9，將AB轉換到DK來，在Rt△DCK中，利用勾股定理列方程：CD2=DK2+CK2，將CD看作未知量，CD2=(9-CD)2+9，可解出CD=5，於是相關線段長全部可求，DK=AB=4，半徑為2，再利用△DFM∽△DCK，進一步求得FM和DM，最後得到FN和NE的長，在Rt△NEF中用勾股定理即可求出EF的長。