簡明複數基本運算

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下面提供了一個掌握複數基本運算的簡明大綱。

將本文的所有結論作為練習，可以很好的熟悉複數的基本運算。

複數的表示

四則運算，冪與開方

共軛複數

模，幅角

複數的幾何意義

【複數表示方法】

複數主要有三種表示方法：直角坐標系表示，極坐標系表示，三角函數表示

$A=a+ib=re^{ivarphi}=r(cosvarphi+isinvarphi)$

【四則運算】

加法/減法：滿足交換律、結合律

乘法：滿足交換律、結合律、分配律

【冪與開方】

通過極坐標形式或者三角形式，可以導出棣莫弗公式。

並且多值函數的概念也由此引出。冪函數的 $n$ 個根，是複平面上的以原點為圓心的單位圓內接正 $n$ 邊形。

【共軛複數】

四則運算滿足如下規律

$overline{{A}pm{B}}=overline{A}pmoverline{B} \ overline{AB}=overline{A};overline{B} \ overline{left( frac{A}{B} ight)}=frac{overline{A}}{overline{B}}$

由此推出，如果 $R(A,B,C,...)$ 表示四則運算的組合，則它滿足規律

$overline{R(A,B,C,...)}=R(ar{A},ar{B},ar{C},...)$

由此可以證明定理，實係數的多項式複數根是共軛的。在另一篇文章中有證明。

我的王：初等數學中幾個定理的複分析證明?

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【模】

定義複數的模為

$|A|=sqrt{a^2+b^2}=sqrt{Aar{A}}$

根據複數的模可以引出平行四邊形法則、三角不等式以及賦范空間。在另一篇文章中有證明。

我的王：初等數學中幾個定理的複分析證明?

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【幅角】

幅角的概念與多值函數有密切聯繫。複數的幾何表示也是通過幅角進行的。

經過一系列簡單的推理，得到常用的兩個規律

$A_1A_2=r_1r_2(cos(varphi_1+varphi_2)+isin(varphi_1+varphi_2)) \ frac{A_1}{A_2}=frac{r_1}{r_2}(cos(varphi_1-varphi_2)+isin(varphi_1-varphi_2))$

可以在極坐標中很好地顯示兩個複數相乘和兩個複數相除的幾何意義，代表向量的拉伸、壓縮以及旋轉。

【複數的幾何表示】

複數在極坐標和直角坐標中，都可以有很顯然的幾何意義。

黎曼引入的黎曼曲面對擴充複數平面上看不到的「無窮」有了新的解釋。黎曼球面在另一篇文章中有說明

我的王：黎曼球面?

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Abraham de Moivre（棣莫弗），法國人，數學家，1667.5.26 ~ 1754.11.27。導師 Jacques Ozanam。以複變函數論中的棣莫弗公式而著名。