基礎群論(三): Sylow理論上

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這篇筆記的內容是Cauchy定理與Sylow定理及幾種常見證明.

符號說明: $mathbb{Z}_n:=mathbb{Z}/nmathbb{Z}$ . 下文中 $p$ 都表示素數, $G$ 表示群(不一定有限).

Cauchy定理

定理 (Cauchy) 若 $|G|$ 被 $p$ 整除, 則 $G$ 有 $p$ 階子群.

我們給出三個證明. 注意 $G$ 有 $p$ 階子群等價於 $G$ 有 $p$ 階元素.

第一個證明來自J. H. McKay, 基於對群作用的巧妙應用.

證明 (McKay) 令 $X:={(x_1,x_2,ldots,x_p)in G^p:x_1x_2cdots x_p=1}$ . $mathbb{Z}_p$ 如下地作用在 $X$ 上: $(x_1,x_2,ldots,x_p)cdot k:=(x_{1+k},x_{2+k},ldots,x_{p+k})$ , 其中 $kinmathbb{Z}_p$ , 下標模 $p$ 計算. 對任意 $x=(x_1,x_2,ldots,x_p)in X$ , $|mathcal{O}(x)|$ 必為 $1$ 或 $p$ , 且 $|mathcal{O}(x)|=1$ 當且僅當 $x_1=x_2=cdots=x_p$ , 即 $x_1^p=1$ . 記 $X$ 中僅含一個元素的軌道數為 $n$ , 這些軌道中的元素除去單位元 $1$ 後恰為 $G$ 中所有 $p$ 階元素. 而 $|G|^pequiv n ext{ (mod }p)$ , 故 $pmid n$ , 即 $G$ 中 $p$ 階元素數模 $p$ 余 $-1$ . 特別地, $G$ 必有 $p$ 階元素.

事實上我們得到了更強的結論, 即 $G$ 中 $p$ 階子群的個數模 $p$ 余 $1$ . 下節將給出這個結論對高次冪的推廣, 即Frobenius的一個結果. 有意思的是, $p mid|G|$ 時, McKay的證明實際上證明了Fermat小定理.

第二個證明基於歸納法和類方程. 我們需要一個引理:

引理設 $G$ 是有限Abel群, $|G|$ 被 $p$ 整除, 則 $G$ 有 $p$ 階子群.

證明對 $|G|$ 歸納. 任取 $1 eq xin G$ , 並設 $|x|=m$ . 若 $mmid p$ , 則 $|x^{m/p}|=p$ , 已獲證. 若 $m mid p$ , 則對 $G/langle x angle$ 用歸納假設知存在 $ylangle x anglein G/langle x angle$ , $|ylangle x angle|=p$ , 則 $|y|$ 是 $p$ 的倍數, 這就回到了第一種情況.

現在去除可交換的條件.

證明同樣對 $|G|$ 歸納. 考察類方程 $|G|=|mathbf{Z}(G)|+sum[G:mathbf{C}_G(x_i)]$ . 若 $|mathbf{Z}(G)|$ 被 $p$ 整除, 則由引理已得證. 否則必有 $xin Gackslashmathbf{Z}(G)$ 使得 $p mid[G:mathbf{C}_G(x)]$ , 此時對 $mathbf{C}_G(x)$ 用歸納假設即得所要證的.

第三個證明用到了Sylow第一定理. Sylow定理的敘述見下.

證明設 $Pinmathrm{Syl}_p(G)$ , 取 $1 eq xin P$ . 由Lagrange定理, 設 $|x|=p^k$ , 其中 $kinmathbb{N}_+$ . 則 $|x^{p^{k-1}}|=p$ , 證畢.

我們將用Cauchy定理給出Sylow定理的幾種證明, 但注意這裡並沒有循環論證.

Sylow定理

為了方便敘述, 先引入一個定義: $G$ 稱為 $p$ -群(p-group), 若 $G$ 中每個元素的階均為 $p$ 的冪. 用Cauchy定理可以給出有限 $p$ -群階數的刻畫:

命題有限群 $G$ 是 $p$ -群當且僅當 $|G|$ 是 $p$ 的冪.

有限 $p$ -群的一些性質將在下節討論.

設 $G$ 是有限群, $|G|=p^{alpha}m$ , 其中 $alphainmathbb{N}$ , $p mid m$ , 則 $G$ 的一個 $p^alpha$ 階子群稱為 $G$ 的一個Sylow $p$ -子群(Sylow $p$ -subgroup). $G$ 的所有Sylow $p$ -子群的集合記為 $mathrm{Syl}_p(G)$ , 並記 $n_p(G)=|mathrm{Syl}_p(G)|$ . Sylow定理的敘述如下:

定理 (Sylow) 設 $G$ 是有限群. 則
(i) $mathrm{Syl}_p(G) eqvarnothing$ .
(ii) $mathrm{Syl}_p(G)$ 中任意兩個Sylow $p$ -子群共軛.
(iii) 設 $Pinmathrm{Syl}_p(G)$ , 則 $n_p(G)=[G:mathbf{N}_G(P)]$ 是 $G$ 的約數, 且 $n_p(G)equiv1 ext{ (mod }p)$ .

首先我們給出H. Wielandt對Sylow第一定理的優美證明. 我們需要一個簡單的數論事實:

引理設 $alphainmathbb{N}$ , $minmathbb{N}_+$ , 則 $inom{p^alpha m}{p^alpha}equiv m ext{ (mod }p)$ .
證明考慮 $(1+x)^{p^alpha m}=(1+x^{p^alpha})^minmathbb{F}_p[x]$ 等式兩邊 $x^{p^alpha}$ 的係數.

Wielandt的證明也基於群作用.

證明 (Wielandt) 符號與上面的定義相同. 記 $X:={Asubseteq G:|A|=p^{alpha}}$ , 則 $G$ 以左乘作用在 $X$ 上. 由引理 $p mid|X|$ , 故存在 $Bin X$ 使得 $p mid|mathcal{O}(B)|$ . 由軌道-穩定化子定理, $|mathcal{O}(B)|=[G:G_B]$ , 故 $|G_B|geq p^alpha$ . 任取 $bin B$ , 易得 $G_B o X, gmapsto bcdot g$ 是單射, 故 $|G_B|leq|B|=p^alpha$ . 因此 $|G_B|=p^alpha$ , $G_Binmathrm{Syl}_p(G)$ .

Sylow第一定理也可歸納證明. 我們將用到Abel群的Cauchy定理.

證明對 $|G|$ 歸納. 考察類方程 $|G|=|mathbf{Z}(G)|+sum[G:mathbf{C}_G(x_i)]$ . 若 $p$ 整除 $|mathbf{Z}(G)|$ , 則由Abel群的Cauchy定理, $mathbf{Z}(G)$ 有 $p$ 階子群 $N$ . 顯然 $Nlhd G$ , 對 $G/N$ 運用歸納假設, 再由對應定理即得證. 否則 $p mid|mathbf{Z}(G)|$ , 故存在 $xin G$ 使得 $p mid[G:mathbf{C}_G(x)]$ . 此時對 $mathbf{C}_G(x)$ 運用歸納假設即證畢.

下面證明Sylow第二、第三定理.

證明設 $P,Qinmathrm{Syl}_p(G)$ , 記 $X$ 為 $P$ 在 $G$ 中所有右陪集的集合, 則 $Q$ 以右乘作用在 $X$ 上. $p mid[G:P]=|X|$ , 故存在 $Pgin X$ 使 $|mathcal{O}(Pg)|=1$ , 即任意 $hin Q$ , $Pgh=Pg$ . 故 $Qleq P^g$ , 而 $|Q|=|P^g|$ , 故 $Q=P^g$ .
注意到 $G$ 以共軛傳遞地作用在 $mathrm{Syl}_p(G)$ 上, 故 $n_p(G)=[G:mathbf{N}_G(P)]$ . 再考慮 $P$ 以共軛作用在 $mathrm{Syl}_p(G)$ 上. 對 $Qinmathrm{Syl}_p(G)$ , $|mathcal{O}(Q)|=1$ 當且僅當 $Pleqmathbf{N}_G(Q)$ . 但這時 $P,Qinmathrm{Syl}_p(mathbf{N}_G(Q))$ , 故 $P=Q$ . 這說明 $mathrm{Syl}_p(G)$ 中除 ${P}$ 外的軌道均為 $p$ 的倍數, 故 $n_p(G)equiv1 ext{ (mod }p)$ .

在Sylow第二定理的證明中, 我們事實上證明了一個更強的結論, 即若 $Pinmathrm{Syl}_p(G)$ , $Qleq G$ 是 $p$ -群, 則存在 $gin G$ 使 $Qleq P^g$ .

下面我們給出另一種證明. 定義 $G$ 的Sylow $p$ -子群為 $G$ 的一個極大 $p$ -子群(maximal $p$ -subgroup), 這裡的極大是指 $G$ 的子群格中(在偏序關係 $subseteq$ 下)的極大, 即 $P$ 是極大 $p$ -子群當且僅當對任意 $p$ -群 $Q$ , 滿足 $Pleq Qleq G$ , 則必有 $P=Q$ . 此時Sylow $p$ -子群必存在, 無限群的情況可由Zorn引理保證. 我們將證明這個定義與之前的定義等價.

引理設 $Pinmathrm{Syl}_p(G)$ .
(i) $p mid[mathbf{N}_G(P):P]$ .
(ii) 若 $ainmathbf{N}_G(P)$ 的階為 $p$ 的冪, 則 $ain P$ .
證明反證, 若 $pmid[mathbf{N}_G(P):P]$ 則由Cauchy定理, $mathbf{N}_G(P)/P$ 有 $p$ 階元素. 由對應定理, 這與 $P$ 的極大性矛盾. (ii)由(i)易證.

下面對Sylow定理的證明中對群作用的應用與上文類似.

證明設 $Pinmathrm{Syl}_p(G)$ , 記 $X$ 為 $P$ 在 $G$ 中所有共軛的集合. 易證 $Xsubseteqmathrm{Syl}_p(G)$ . 任意 $Qinmathrm{Syl}_p(G)$ 以共軛作用在 $X$ 上, 且由引理(ii), $|mathcal{O}(P^g)|=1$ 當且僅當 $P^g=Q$ . 當 $Q=P$ 時得 $|X|equiv1 ext{ (mod }p)$ . 若 $Q otin X$ , 則必有 $pmid |X|$ , 矛盾. 此即 $mathrm{Syl}_p(G)subseteq X$ , 故 $mathrm{Syl}_p(G)=X$ .
現在由Sylow第二定理和引理(i)得 $p mid[G:mathbf{N}_G(P)][mathbf{N}_G(P):P]=[G:P]$ , 所以這裡對Sylow $p$ -子群的定義實際上與上文中的等價.