山田的金融日記(2)-兩種推導BS-equation的方式

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BS公式在金融基礎裡面應該算是最重要的公式了，無論是百科全書HULL或者去考CFA，FRM等考試，或是去讀FE專業多多少少都會提到BS公式。

$mathrm C(mathrm S,mathrm t)= mathrm N(mathrm d_1)mathrm Smathrm e^{-dt} - mathrm N(mathrm d_2) mathrm K mathrm e^{-rt} label{eq:2}$

$mathrm d_1= frac{1}{sigma sqrt{mathrm t}} left[ln{left(frac{S}{K} ight)} + tleft(r + frac{sigma^2}{2} ight) ight]$

$mathrm d_2= frac{1}{sigma sqrt{mathrm t}} left[ln{left(frac{S}{K} ight)} + tleft(r - frac{sigma^2}{2} ight) ight]$

上面這些公式是最耳熟能詳的部分，也就是直接可以拿來用的公式。而這個公式就是由BS-equation 得出的解析解。

推導BS equation的方法有兩種(我目前學到的):

通過另股票的鞅過程的drift 部分等於零
通過構建無風險portfolio

前提假設/已知/條件：

通過股票GBM $frac{dS_t}{S_t}=mu dt+sigma dW_t$ 以及伊藤引理

$dleft(fleft(S_t,t ight) ight)=frac{partial f}{partial t}left(S_t.t ight)dS+f(S_t,t)dS_t+frac {1}{2}f(S_t,t)dS_t^2$

代入得到

$dC=left(frac {partial C}{partial t}+mu S frac{partial C}{partial S}+frac{1}{2}sigma ^2 S^2frac{partial ^2C}{partial S^2} ight)dt+sigma Sfrac{partial C}{partial S}dW_t$ 【1】

其中過程中

$dt^2=0$

$dtdW_t=0$

$dW_t^2=dt$ ///根據Quadratic Variation

---------------------------分哥線-------------------------------------------------------------------

鞅過程獲得equation：

設無風險資產Bt： $B_t=B_0e^{rt}Rightarrow B_t=rB_0e^{rt}=rB_t$

那麼 $frac {C_t}{B_t}$ 就是一個鞅過程

故 $dleft(frac {C}{B_t} ight)=frac{1}{B_t}left(frac{partial C}{partial t} + frac{sigma^2 S_t^2}{2} frac{partial^2 C}{partial S_t^2} + r S_t frac{partial C}{partial S_t} - rC ight)dt+sigma frac{S_t}{B_t} frac{partial C}{partial S_t} dW_t$

根據鞅的性質，drift 項不存在，係數應為零，故

$frac{partial C}{partial t} + frac{sigma^2 S^2}{2} frac{partial^2 C}{partial S^2} + r S frac{partial C}{partial S} - rC = 0 label{eq:BS}$

得出Black Scholes Equation

2. 通過構建無風險portfolio

仍然從公式【1】入手，如果進行Delta Hedging那麼手中將持有一個資產組合由一個Option和α個股票組成。

那麼公式【1】將變為：

$dleft(C+alpha S ight)=left(frac{partial C}{partial t}+frac{1}{2}sigma ^2S^2frac{partial ^2C}{partial S^2} ight)dt$

成功除掉隨機項成為無風險投資組合。

無風險投資組合根據無套利原則drift部分應該等於無風險利率也就是說要有 $B_t=drift *dt=rB_t$ 的性質:

$frac {partial C}{partial t}+frac {1}{2}sigma^2S^2frac {partial^2 C}{partial S^2}=rleft(C-Sfrac {partial C}{partial S} ight)$

打開括弧移項後我們仍然可以獲得BlackScholes Equation：

$frac{partial C}{partial t} + frac{sigma^2 S^2}{2} frac{partial^2 C}{partial S^2} + r S frac{partial C}{partial S} =rC$

把這些敲下來之後發現兩種方法其實是一個意思。。第一種通過去除利率部分來消除drift項，第二種保留利率部分而消除風險(方差)部分而利用利率構建等式。

參考文獻：

The Concepts and Practice of Mathematical Finance -- Mark S. Joshi

Quant Job Interview Questions and Answers --Mark S.Joshi