無窮大的數學（三）：奇數和整數一樣多？——基數和序數

1.超實數包含了實數，並且他擁有嚴格的排序，這看起來就像是一條直線

2.實數已經涵蓋了數軸上的所有點，不留任何縫隙

這兩個結論放在一起會讓我們感到非常的困惑，除了直線之外，還有什麼東西可以表達順序呢？曲線嗎？可是曲線只是直線的扭曲，曲線上的點同樣被實數擠滿了呀。

有人可能會聯想到複數，不錯，複平面不就是在實軸之外找到了新的點，用來表示新的數嗎？可是複平面上的點是沒有順序的，所以複數之間並不能比較大小

——可是，等等，複數之間真的「不能」比較大小嗎，還是說，只是我們沒有找到一個對複數實用的小於號的含義呢？

我建議讀者停留在此稍作思考，再閱讀下文。因此，我先來扯點閑話。

實際上，數學雖然最早就是科學中衍生出來的，是標準的自然科學（尤其是古典幾何）。可是現代數學和科學已經徹底分了家，其主要分歧在於，科學是以實驗為準的，而數學是以定義為準的。從本系列前兩章我們已經看出，我們採取不同的定義，可以推出完全不同的結論——在第一章中我們說0.9循環=1，第二章中我們卻又說他小於1，儘管如此，他們卻是相容的，因為第一章中的等於，到了第二章中，變成了約等於。這和現代數學很相似，我們可以做出很多選擇，比如是否相信平行公理，是否相信選擇公理，是否相信連續統假設，等等，他們都能推出完全不同的，但同樣有用的數學。

好了，讓我們回到正題，顯然，對於a+bi ，我們完全可以定義，先判斷a的大小，再判斷b的大小，由此來定義兩個複數的大小關係——這沒有任何錯誤，唯一的問題是，這種定義在複分析中毫無用處。

可是，在超實數中，就不是這樣了，對於a + bd（a,b是實數，d是之前提到的ε），顯然，這正是正確的大小定義方式。

所以說，當我們沿著實軸垂直的拉出一條線，我們可以找到所有的形如a+bd的超實數。我們顯然可以意識到，實軸上的每個點，其實都對應著無窮多的超實數，實際上實軸就是壓縮過的超實數，當我們擴展一個維度之後，我們可以把這種壓縮程度解開一點，使得每個點都表達一個超實數——等等，真是是一個嗎？超實數就是一個平面嗎？

稍微細想一下，會發現，並非如此，平面上的每個點a+bd，其實仍然表達了無窮多個超實數，比如a+bd+cd^2，對於任意的c，他們在平面上都對應同一個點（只要ab相同），所以我們不得不再拉出一個新的維度（立體）來表達所有d^2的點，很快我們就會發現這是一個無止境的過程，因為我們不僅有d^3,d^4，乃至我們有d^w,d^(w+1),d^(2w)

無窮維！如果我們想要把超實數在圖形上表達出來，我們需要無窮多個維度！

可是，無窮維是多少維？我們不是已經定義了無窮大嗎？我們為什麼不能說他是w維？顯然，首先我們發現他就有w+1維！這就形成了一個怪圈，我們明明已經定義了無窮大，可是我們仍然無法表達一個無窮大。

為了解決這個問題，我們必須從柯西大神的時代向後跳躍，等到一個新的大師出現——這個人就是康托，集合論的奠基人，而集合論，正是現代數學的基石。

通常來講，新理論的發現，都是基於一些重要的，但我們過於習以為常的，以至於我們通常沒有意識到的細節。

在過去，我們一直在講潛無窮，即沒有真正意義上存在的無窮大，我們一直提到的w，不過是一個數列1,2,3,4....這裡沒有任何我們不認識的東西，可是隨著我們對w用的越來越多，我們發現w也好，d也好，他們和實數並沒有任何區別，我們可以乾脆的承認，這個東西就是真實存在的。就好像無理數，他也不過是一個無窮有理數列的極限罷了（即使用最現代的戴德金分割定義，也是兩組無窮多的有理數），我們不也承認他就是真實存在的了嗎？

那麼，當我們跨過這個坎，承認了實無窮之後，我們顯然可以寫出這樣的序列：

1,2,3,4,5.....w

1,2,3,4,5.....w,w+1

那麼，康托提出了一個問題，上面兩個序列中，分別有多少個超實數？

有人可能會說，這還不簡單嗎，上面的w個，下面的w+1個呀。可是這個時候，顯然我就要追問一句，為什麼？用數學的語言來說，「多少個」的定義是什麼？我們剛剛已經提到了，數學中的一切，都是建立在定義上的，對嗎？

可能大家一時半會兒就回答不了了，不過沒關係，康托幫你回答了，你剛剛的答案，是數出來的，一個個往後數，數到多少個，就說明序列里有多少個數。

對呀，這有什麼問題呢，我們一直以來，都是這麼做的呀

那麼麻煩你重新數數看：

w+1,1,2,3,4......w

請注意，數的時候，咱都要從第一個開始數對吧，你不能說從第二個元素開始數，然後回頭告訴我，後面的有w個，加上前面的1個是w+1個，因為我們在數東西的時候

不能因為這個東西本身的特性而針對性的指定數數的策略啊！

那麼你不得不承認，這個序列，他也是w個。

換言之，我們的定義推出了矛盾，我們必須修改定義。

======================================

這就是康托的重要發現之一

我們定義序數為 1,2,3,4....，用於表示我們沿著一個序列一個個往後數

而我們定義基數為1,2,3,4....，用於表示一個序列中數的個數

對於有限的序列來說，基數和序數是一回事，所以我們平時無法意識到這裡是有差異的。

但對於無限的序列來說，他倆就表現出了截然不同的特性，既然如此，在無窮時，我們就不再用w,w+1這些東西來表示序列的長度了，我們需要新的符號，甚至，我們應該意識到，由於這種新的「數"我們還沒有研究過，所以我們不能簡單的就用上加號這種未定義的東西

康托用的這個新符號就是??（阿列夫，希伯來字母，所以說數學家也是可憐，符號太稀缺了，連希臘字母都被用完了……，當然，本文中為了打字方便，以後全部用N代替）

而序數顯然我們仍然可以沿用超實數來表示，所以，現在我們有：

序數：1,2,3,4...w,w+1,w+2....2w....3w....w^2.....w^3....w^w....w^(w^w)...

基數：1,2,3,4...N0,N1,N2.....（其中N0 = N）

請注意我們只定義了N是1...w的個數，我們還不知道N1，N2是什麼，康托證明了他們的存在，不過本文是介紹性的，我就不詳述證明過程了。

很顯然,N1並不是1...w,w+1的個數，從我們之前的分析，已經顯然的看出，這個序列的個數仍然是N0。

實際上，在剛剛那個序列中，直到w^w出現前，基數都是N0

PS. 超窮序數的資料較少，因此我無法確定 1....w^w的基數是N1還是N0，我沒有找到嚴格的證明，因此我只能在這裡保守的說，w^w之後存在一個c（我甚至不知道c是不是在w^(w^w)之後），使序列1...c的基數是N1，這樣的c叫做不可數序數，並歡迎有對此研究較深的朋友提供資料。之所以懷疑w^w可能是N1，是因為表達N1的符號正是2^N

PS2.本文中相信連續統假設，此時N1 = 2^N，N2 = 2^N1...

========================

現在我們可以回過來解答標題中的問題了

偶數和整數一樣多嗎？為什麼他這麼反直覺？

因為我們的直覺認為基數和序數是一樣的，因此

1,3,5,7...2,4,6,8.....（前面有w個，後面有w個，因此總共是2w個）

2,4,6,8....（總共是w個）

我們會認為他倆不相等，那麼現在我們很容易發現，w個這種說法是錯誤的，我們應該說前面是N個，後面是N個，而基數上不滿足加法 N+N = 2N，也沒有定義過2N這樣的東西

反過來，我們可以輕易的發現，根據剛剛的結論，直到2w的序列，基數仍然不過是N罷了

而且，你永遠無法定義一個自然數序列，能夠排出1....c那樣的模式

==========================

現在讓我們回到我們最初的問題，數軸上的一個點，在超實數上進行展開，他的維度是多少？

考慮維度這個概念，是用來描述維的多少的，所以他是一個基數，所以儘管我們可以有w+1維，我們仍然可以說他的維數至少是N

請注意我用了至少這個概念，主要是因為存在w^w維，而我不知道w^w是N1還是N0……

這樣的結構被我們叫做「超窮結構」，他可以無限的展開下去，永無盡頭。

我們嘗試著繼續展開看看：

w^w,w^(w^w),w^(w^(w^w))......N個w,N1個w,N2個w..... NN(2^N^N^N....N個N）個w，？（2^N^N.....N1個N）.....

我們會發現，永遠有新的可以擴展的地方，我們永遠找不到那個終極的盡頭，換言之，即使我們定義了實無窮，潛無窮依然在那裡困擾著我們

即使我們強行沿著這個定義一個新的SuperN，康托也證明了一定仍然存在一個2^SuperN，所以這個定義毫無意義

最終是哥德爾給出了一個致命的暴擊：我們不可能描述所有的東西，這裡一定存在數學不可達地方。

當然，他的原話是，一個足夠複雜的數學系統，要麼他是不完備的，要麼他是不相容的

相容性的意思就是說，在同一套體系中，不能存在矛盾（比如我們剛剛發現一個序列長度一會兒是w,一會兒是w+1，而這兩個又不想等，那就是矛盾，我們就要修改體系，最終消去了這個矛盾）

完備性的意思就是說，這個體系可以解決所有問題

而數學不允許矛盾，因此數學必然是不完備的

比如對於超實數來說：

w,w+1,w+2....這樣的數列，就不是一個超實數（超實數要求數列中都是實數）

我們可以沿著超實數定義的思路擴展出超超實數，但如果在數列中放入超超實數，又會出現新的東西，我們可以一直走下去，超超超實數，超超超超實數，乃至無窮多的「超」，當我們把超字用1,2,3來代替之後，我們又可以定義出w超，w+1超，這樣的超實數「超」，進而超超實數"超」等等，如此往複，無論如何，這都是一個無止境過程

==========================

題外話，當然這並不影響我們獲得一個具有完備性的體系

嗯，我們放棄相容性就行了唄……比如偉大的哲學家馬克思就說過一句經典的話：

矛盾是普遍存在的

我簡直要點32個贊，這意味著，馬克思哲學可以是完備的，即他可以解決所有問題，嗯，簡直贊爆了

實際上承認矛盾有很多好處，比如新學邏輯的人常常喜歡用這樣一個例子來吹牛逼：

上帝不是全能的，因為balabalabala，推出矛盾

遺憾的是，我覺得神學和數學的區別恰恰就在於，數學選擇相容性，神學選擇完備性，所以

上帝仍然是全能的，上帝是矛盾而全能的，話說全能之中不是本來就蘊含了「矛盾的能力」么

當然了，這個例子對我們這種無信仰的人似乎沒什麼用處，不過還有一個等價的體系，同樣是完備而矛盾的，他就顯得非常實用：

女朋友永遠是對的

這很容易推出矛盾，比如女朋友說，1=2，女朋友又說1=1，這就推出了矛盾。

不過，如果你覺得相容性比女朋友更重要，那麼我覺得，小夥子，你很有數學家的潛質！

==========================

回到正題，無窮維，我們一開始還想畫圖來著？這怎麼畫呢？別急，數軸我們不也畫出來了嗎，我們開始說道，數軸就是壓縮過的超實數，那麼換言之，我們是不是還可以存在別的壓縮方式，使得我們畫出我們想要的部分呢？

答案當然是YES，請關注下一章，射影幾何