G.Strang的微分方程和線性代數（1.2）

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§1.2所需微積分知識

以下簡單列出在學習微分方程過程中需要用到的微積分知識，其中應用較多的有乘法法則、自然對數和微積分基本定理。

1.特殊函數的導數

特殊函數包括 $x^{n}, sinx, cosx, e^{x} ,lnx$ 。

以上函數的導數都可以從定義進行推導。其中正弦和餘弦函數是從 $frac{sinDelta x}{Delta x}$ 的極限推導出來的，而 $e^{x}$ 最為重要，它是 $frac{dy}{dt}=y,y(0)=1$ 的解。

2.導數運演算法則

導數四則運演算法則和鏈式法則：當對原函數進行加減乘除等運算時，這些導數運演算法則給出所得函數的導數。導數求和運算的法則保證了微分方程的線性：

$frac{dy}{dt}=ay+f(t), frac{dz}{dt}=az+g(t)$ ，則有 $frac{d}{dt}(y+z)=a(y+z)+(f(t)+g(t))$ 。

鏈式法則也是很常用的求導方法，例如 $y=e^{sint}$ 包含兩個函數 $y=e^{x},x=sint$ 。利用鏈式法則可以得到其導數為 $frac{dy}{dt}= frac{dy}{dx}frac{dx}{dt}=e^{x}cost=ycost$ 。

3.微積分基本原理

函數f(x)的積分的導數就是f(x)。

從差商的角度看待這件事， $[frac{y_{1}-y_{0} }{Delta x} +frac{y_{2}-y_{1} }{Delta x}+cdots+frac{y_{n}-y_{n-1} }{Delta x} ]Delta x=y_{n}-y_{0}$ ，其中 $Delta x=x_{k}- x_{k-1}=frac{b-a}{n}$ （計算區域從 $x_{0} =a$ 到 $x_{n} =b$ ）。

對差商公式取極限變為積分 $int_{a}^{b} frac{dy}{dx}dx=y(b)-y(a)$ 。

4.代數運算和符號的含義

數學是一種語言，學習數學語言的方式就是使用它。因此通常課本中會堆積大量的練習，練習讀寫數學符號。例如：y的導數就是 $frac{d}{dt}y(t)=lim_{Delta t ightarrow 0}{frac{y(t+Delta t)-y(t)}{Delta t} }$ 。

與在微積分中不同，在微分方程的課程中，原函數y(t)的解析式是未知量，微分方程的關鍵點就是將導函數和原函數聯繫起來，例如在之前所舉的例子中，我們從 $y=y$ 出發得到原函數是指數型增長的函數，其表達式為 $y=Ce^{t}$ ，它也是微分方程中最重要的函數形式。、

5. $dy/dxapprox Delta y/Delta x$ 的三種應用

對於y(x)的函數圖像而言，dy/dx是其斜率而, $Delta y/Delta x$ 是近似斜率，若知道 $dy/dx,Delta y,Delta x$ 三個量中的兩個，可以給出第三個量的近似解。

1）已知 $dy/dx,Delta x$ ，則有 $Delta yapprox (Delta x)(dy/dx)$ 。這就是線性近似公式。

從 $x_{0}$ 點出發移動 $Delta x$ 會造成函數值變化 $Delta y$ ，通過 $x_{0}$ 點的斜率dy/dx進行線性近似可以得到 $Delta y$ 的近似值，但是給不出任何函數曲線彎曲變化的信息。

2）已知 $dy/dx,Delta y$ ，則有 $Delta xapprox (Delta y)/(dy/dx)$ 。這就是牛頓迭代法。

牛頓迭代法是求解方程y(x)=0的方法。從 $x_{0}$ 點出發，希望函數值y在下一個點 $x_{1}$ 降至0，然而並不知道 $x_{1}$ 的數值，即不知道 $Delta x$ 。所以應用公式 $Delta xapprox (Delta y)/(dy/dx)$ ，得到 $x_{1}$ 為 $x_{1} =x_{0} +frac{-y(x_{0} )}{dy/dx(x_{0} )}$ 。重複這一過程就可以逼近y(x)=0的解。

【扯淡中……

稍微解釋一下這個牛頓迭代法，牛頓迭代法是從一個猜測值 $x_{0}$ 出發，在( $x_{0}$ ， $f(x_{0} )$ )做函數的切線，並和X軸相交於一點 $x_{1}$ ，而 $x_{1}$ 就是下一個猜測值，重複前面的過程，則猜測值一直在逼近方程的解，即曲線與X軸的交點。

牛頓迭代法的誤差衰減速度非常好。但是，牛頓迭代法要求一階導數不能太小，二階導數不能太大，初值 $x_{0}$ 不能太遠。】

3）已知 $Delta x,Delta y$ ，給出斜率的近似 $dy/dxapprox Delta y/Delta x$ 。

計算過程中取 $y(x+Delta x)-y(x),y(x)-y(x-Delta x),y(x+frac{1}{2} Delta x)-y(x-frac{1}{2} Delta x)$ 這三種不同公式來計算函數值變化量 $Delta y$ 分別稱為向前差分、向後差分和中間差分，中間差分要優於前兩者，從函數 $y=x^{2}$ 的計算可以看出中間差分具有二階精確度。 $frac{Delta y}{Delta x} =frac{(x+frac{1}{2}Delta x )^{2}- (x-frac{1}{2}Delta x )^{2}}{Delta x} =2x=frac{dy}{dx}$

向前向後差分只有一階精度。就積分而言，這就是從矩形法到梯形法的變化。

6.泰勒級數

二階近似會給出比線性近似更好的精確度：

$y(x_{0}+Delta x )approx y_{0} +(Delta x)y_{0} +frac{1}{2} (Delta x)^{2} y_{0}$

泰勒級數則給出了之後的無限項：

$y(x_{0}+Delta x )approx y_{0} +(Delta x)y_{0} +frac{1}{2} (Delta x)^{2} y_{0}+cdots+frac{1}{n!} (Delta x)^{n}y_{0}^{(n)} +cdots$

兩個最重要的應用泰勒公式的例子，在 $x_{0} =0$ 處有：

指數級數： $y=e^{x} =1+x+frac{1}{2!}x^{2} +frac{1}{3!} x^{3}+cdots$

幾何級數： $y=frac{1}{1-x} =1+x+x^{2} +x^{3}+cdots$

7.應用：一個重要的微分方程

線性微分方程 $y=ay+q(t)$ 是一個重要的方程，導數中包含增長率a和外源q(t)。給出在化簡情況下（a=1），且y(0)=0時的解：

$frac{dy}{dt}=y+q(t)Rightarrow y(t)=int_{0}^{t} e^{t-s}q(s)ds$

在0至t之間的任意時間s，輸入強度為q(s)的源，該"輸入"在剩餘的時間t-s之內增長或者衰減，在t時刻將給出「輸出」 $q(s)e^{t-s}$ 。將所有的輸出 $q(s)e^{t-s}$ 累加起來即為該積分。

對解函數做求導運算可以驗證其符合微分方程。

【又開始扯淡了……

有一陣，我一直將微分、積分作為一種算符，或者說作為一個黑箱子，輸入一個函數，算符給你輸出一個函數，僅此而已。但是後來我覺得只有你對細節有相當的了解之後，這種模塊化或者符號化的方法才有意義，否則只是將沒弄明白的東西遮蔽起來而已。積分的離散態就是「累積和」，因此我們可以從累積和的角度去理解積分。

對於函數 $y(t)=int_{0}^{t} e^{t-s}q(s)ds$ ，舉一個例子來進行說明。這是MIT單變數微積分課上的一個例題。

借款問題，時間變數t單位為「年」，借款率q(t)是隨時間變化的函數，單位為「美元/年」。每天都借款，則 $Delta t=frac{1}{365}$ ，例如第45天的借款額為 $q(t)Delta t=q(frac{45}{365} )frac{1}{365}$ ，將每一天的借款額累積起來就是全年的借款額 $sum_{i=1}^{365}{q(frac{i}{365} )Delta t} approx int_{0}^{1} q(t)dt$ 。

但是，借款是有利息的，當借款本金為C，利率為r，借款時間為T時，欠銀行的錢就是 $Ce^{rT}$ （這是上一節課學的連續增長模型）。例如第45天借的錢，在當天之後的365-45天之內都會計利息，因此這筆借款到年底就會變為一筆 $q(frac{45}{365} )frac{1}{365} e^{r(1-frac{45}{365} )}$ 的欠款。將每一天借款在年底形成的欠款額進行累加，就得到總欠款額 $sum_{i=1}^{365}{ q(frac{i}{365} )frac{1}{365} e^{r(1-frac{i}{365} )} }approx int_{0}^{1} e^{r(1-t)}q(t)dt$ 。】