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《The Fourier Transform and its Applications》notes

05-05

1 歐拉公式

有：

$e^{it}=cos t+isin t$

$cos t=frac{e^{it}+e^{-it}}{2}$

$sin t= frac{e^{it}-e^{-it}}{2i}$

2 從假設開始

考慮周期為1的任意周期函數 $f(t)$

我們假設 $f(t)$ 有如下形式 $f(t)=frac{a_0}{2} +sum_{n=1}^{+infty }A_nsin(2pi nt+phi _n)$ ，則：

$f(t)=frac{a_0}{2} +sum_{n=1}^{+infty }A_nsin(2pi nt+phi _n)$ $=frac{a_0}{2} +sum_{n=1}^{+infty }A_n[cos(phi_n)sin(2pi nt)+sin(phi_n)cos(2pi nt)]$ $=frac{a_0}{2} +sum_{n=1}^{+infty }a_nsin(2pi nt)+b_ncos(2pi nt)$ $=frac{a_0}{2} +sum_{n=1}^{+infty }a_nfrac{e^{2pi int}-e^{-2pi int}}{2i}+b_nfrac{e^{2pi int}+e^{-2pi int}}{2}$ $=frac{a_0}{2} +sum_{n=1}^{+infty }(-frac{a_ni}{2}+frac{b_n}{2})e^{2pi int}+(frac{a_ni}{2}+frac{b_n}{2})e^{-2pi int}$

$=sum_{n=-infty }^{+infty}c_ne^{2pi int}$ 其中 $c_n = overline {c_{-n}},e^{2pi int}=overline{e^{-2pi int}}$

用變數分離，兩邊按周期積分的方法得到 $c_n$ 的表達式：

$c_n=int_0^1 e^{-2pi int}f(t)dt$

3 關於傅里葉級數如何收斂到周期函數 $f(t)$ 的問題(particular pionts)【特例】

考慮周期為1的任意周期函數 $f(t)$

考慮對應的傅里葉級數形式：

$sum_{n=-infty}^{+infty}hat f(n)e^{2pi int}$ ，其中 $hat f(n)=int_0^1 e^{-2pi int}f(t)dt$

有以下結論成立（證明比較困難）：

（1） $f(t)$ 連續，對於所有的 $t$ ，傅里葉級數形式「逐點收斂」到 $f(t)$

（2） $f(t)$ 可微，對於所有的 $t$ ，傅里葉級數形式「一致收斂」到 $f(t)$

（3） $f(t)$ 存在jump discontinuity，設 $t_0$ 為跳躍點，則傅里葉級數形式在連續點上收斂到 $f(t)$ ，在跳躍點上收斂到 $frac{f(t_0^+)+f(t_0^{-})}{2}$

4 convergence in the average/mean【普遍】

you learned not to ask for convergence of that at particular points as 3!

假設周期為1的周期函數 $f(t)$ ，滿足條件 $int_0^1|f(t)|^2dt < +infty$

對應的傅里葉級數形式：

$sum_{n=-infty}^{+infty}hat f(n)e^{2pi int}$ ，其中 $hat f(n)=int_0^1 e^{-2pi int}f(t)dt$

有以下結論成立（振奮人心地，但是比較困難）：

$int_0^1|sum_{n=-infty}^{+infty}hat f(n)e^{2pi int}-f(t)|^2 dt =0$

待續，這是一段漫長的旅程。。。

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