天才與賭博機的必勝策略

S君是我的小學同學，高中時曾入選上海計算機競賽的市隊。我們同時對文史及數學感興趣，但是側重不同；他對於數理邏輯方面的問題非常敏感，常常讓我獲益匪淺。

昨天我和他聊起了賭球公司制定賠率的問題，我的想法是賭博公司本身並不把重心放在預測球賽走向上，事實上他們只關心買家的下注比例，而賠率正是這樣一個與賭家下注比例自適應的權重。換而言之，賠率是下注比的一個函數，如果我們可以從賠率逆求出莊家手中的下注比，那麼我們也可以模擬莊家的策略下注，在宏觀大量下注的前提下獲得穩定收益。

S君對我的想法持悲觀態度，他說在生活中的博弈上，數學只是很小的一個部分。莊家完全可以用很簡單的規則保證固定的收益，從數學上入手希望很小。（後來討論的結果是，考慮到莊家還有5-15%的抽稅，我的策略顯然是不可行的。）唯有找到數學之外，連莊家也未曾意識到的「潛規則」，再結合嚴格的數學推倒，才有獲勝的可能。

他講了自己利用邏輯從賭博機中賺錢的故事，讓我瞠目結舌，也促成了這篇文章。

那時還是初中，我在田林三中，他在西南位育——二者中間夾著一個田林電影院，學校也經常組織班級去看電影。電影院頂樓是一層遊戲機房，我雖然只去過一次，但是已經提起還是能想起來。

S君和我不同，是一個喜歡電玩的人，家裡堆滿了遊戲光碟，也經常去那個遊戲機房玩。他很快發現了一台賭博機有利可圖。

那是一個怎麼看都很「公平」的遊戲：一個簡單的機械裝置，有兩個投幣口，分別代表黑色與白色。玩家則把相應押注的遊戲幣投進去（遊戲幣與一元現金等值）。等到所有玩家投幣結束，機器開始運轉，並隨機從黑白兩個小孔中掉出一個球來。輸家清空，贏家有一倍獎金。

S君講到這裡，我意識到這個賭局等於說老闆為一個各佔1/2的互斥事件都開了1的賠率。這種模型下，無論玩家採用怎樣的混合策略，期望收益始終為零。

我沒想出怎樣獲勝，我也不認為有可能獲勝。

S君接著說，他的策略很簡單。即一次選定一種顏色，如黑色。則第一次賭一塊錢在黑色；如果輸了，第二次壓兩塊錢繼續黑色；如果再輸，第三次四塊錢黑色……如此往複。如果n輪不贏，就在第n+1輪壓2的n方於黑色。如果一旦贏了就收手開始下一次一元、兩元、四元的新循環。

這種方法的好處是，無論前面虧了多少錢，只要接下來贏一次，就能扭虧為盈，凈賺一元，而n次連續失敗的概率非常小，僅為1/(2^n)。

當然了，這種方法不足以唬到我。當我之前說任何混和策略期望都為零的時候自然也把這種策略包括在內。

這種策略看起來失手的概率很小，為什麼期望還是零呢？很簡單，因為他的賭注太大了，假設前7次都輸了，那麼第八次就不得不壓上256元才有可能翻本。但是第八次再輸，就累計虧損511元，我不認為身為初中生的S還有資本繼續賭下去。換句話說，失敗的概率雖小，但每次出現七八次不中的小概率事件時損失也是致命的，足以讓他幾周之內都沒錢繼續遊戲。再者，這個策略每一個成功的循環只能收益1元，要想獲得穩定收益，必須大量重複。以每次循環兩次估計，要想賺到20塊錢就需要玩40把。四十已經超過了2的五次方32，也就是說，想用這個策略賺20塊就幾乎肯定會遭遇連續五次白色，以至於虧掉32元。這顯然是非常不理智的。

老實說，我非常懷疑這個策略的可行性。

然而事實上，S君確實採用這個策略，每次在遊戲機房裡賺到20-30個幣之後，接著去玩其他遊戲逍遙一下午。我並非只是完全相信他的一面之詞，而是他後來的分析使我不得不相信這種策略確實是行之有效的，因為我之前的分析犯了致命的錯誤。

「漢平，你的致命錯誤在於……你相信這是一個完全公平的博弈。」

「什麼意思？」

S君笑著說，「你的分析從數學角度無懈可擊。可是別忘了，你的結論是玩家期望為零，換句話說，莊家的期望也是零。可是莊家的收益真的是零嗎，如果是零，他買這個機器教這份租金豈不是虧了？」

事實上S君的想法我也想過，莊家一定會賺錢。唯一的方法就是莊家在操縱小球。做個極端的假設，假如有人賭一萬在白色，那麼他能獲勝的概率就非常小了，莊家不會坐視幾周的流水付之東流。雖然不會有人在遊戲機房賭上一萬，但是據S說，一次賭上200-300的成年土豪並不少見。

對莊家來說，最貪心的情況莫過於每次都操控小球落在投注較小的顏色上，這樣每次都賺。但這樣顯然不是常態，如果太明顯而被玩家意識到，那就無法愉快的玩耍了。

莊家應該有贏有輸，總體上維持一個適當的小收益，比如每十局10%，雖然不大但是比起什麼金融理財產品還是堪稱暴利了。

我有些疑惑：「那麼對玩家來說，應該每次都站在少數一方，那也不是你這個策略呀。」

S接著說，這個機器設置是每個玩家走上前投幣的。不與玩家交流的話，基本上看不到其他玩家把幣投到了那個地方，而每次都與其他玩家交流再做決策又是不可能的。

我：「所以「少數獲勝」這個「潛規則」並沒有實際意義？」

S：「不能這麼孤立地看——其實當你意識到這個博弈存在『潛規則』的時候，就已經比之前前進很多了。我們接下來思考其他的、足以利用的潛規則。」

我：「還有其他的嗎，我覺得少數獲勝已經足以讓老闆賺錢了。」

S：「老闆事先已經承擔了機器以及場地的成本，也就是說，他在這次博弈中是負債的。他不僅不能虧欠，還必須要賺錢。而賺錢有兩個必要條件，一個是不能讓某人一次賺走巨款，這就是所謂少數獲勝，但另一個重要的條件是——在穩定收益的前提下吸引儘可能多的玩家。」

我：「從賭徒的心裡來說，這場博弈不用交稅，勝負看起來各半，其實已經非常誘人了。」

S：「但是不具備數學思維的其他玩家並不這麼看。我們回到一開始你質疑我的問題，你說我的策略雖然失敗的概率不大，但是一旦失敗就會損失慘重是吧？」

我：「對啊，雖然失敗的概率只有1/(2^n)，但是一旦失敗就會虧損2^n左右——總體期望始終為零。」

S：「你不妨仔細想想我可能失敗的情況。我手裡一般有300元左右，足以從壓1塊開始支撐我到壓128元，也就是玩8次。我失敗的唯一可能是，連續八次都是白色，那我就完了。」

我：「雖然可能性很小，但是確實存在……而且損失很大……」

S：「你錯了，這種概率只存在於數學之中。實際上絕無可能——老闆不允許這種情況出現。試想在遊戲中，一旦出現八次同一顏色，對於我來說，固然可以接受，因為我玩過上千次了，八次白色的概率是1/128，總會遇到的。但是對於其他偶爾只玩過一次的玩家，他們會怎麼想，是願意接受自己就是撞到了1/128的運氣，還是開始質疑莊家？何況這遊戲莊家本來就在操控。」

想要讓玩家不質疑遊戲被操控，不是真的不操控，而是只要讓他們不感覺到被操控。

基於這樣的原則，即便是正常分布下的小概率事件也必須拿掉，因為他們會引來質疑。反而溫水煮青蛙式的偶爾操縱