線性代數筆記 1 - 矩陣的理解

這一系列筆記，是對線性代數（尤其是 Essence of Linear Algebra）的個人學習記錄以及相關資料補足。

向量 = 方向 + 量

有一天，你和損友走在路上，看到一個大美女。你想簡明扼要地告訴你損友，該怎麼說？

『看，我的十點鐘方向有個美女。』

然後你的損友就會順著這個方向找到美女了。

再有一天，你在一艘軍艦上望風，忽然有不明軍艦出現。你想簡明扼要地告訴船長，該怎麼說？

『船長，西北偏西方向，5 公里處，有一艘不明軍艦。』

看美女的時候美女隔得近，所以你只需要指出一個方向。看軍艦的時候，你不止指出了方向，還指出了距離。

要確定方向，就必須有一個原點（Origin），在這兩個例子中，原點都是你自己所在的位置。除了原點之外，還必須指出具體的方向。

在這個兩個例子中，方向是由環形的度數表示的（錶盤 / 指南針），這對計算是不友好的。所以，我們要把它轉化成用數字來表示。

對於一條線段來說，方向只需要一個數字來表示，因為它只能往左或者往右，比如以 是往左， 是往右。對於一個平面來說，方向則可以兩個數字來表示，一橫一縱，並由這兩個數字來指代方向，比如 就是往右上（東北方向）。

通過調節這些代表方向的數字，我們不僅可以表示方向，還可以加上一個量級信息。在實際運用中，這個量級信息有可能代表的是距離，也有可能代表力度、速度等別的信息。比如 與 指向同一個方向，但是量級不同。

我們把這個既指出方向，又指出量級的表示法抽象一下，就形成了向量（Vector）。由於向量總是像一個箭頭一樣指向某一個點，所以中文有些地方也稱其為「矢量」。

前面軍艦的例子大概可以表示為 這樣一個二維向量。如果是飛行員，要表達「在我九點鐘方向朝地面 15° 的位置有個不明物體」就需要更高維度的向量了。反過來，如果一個水管工要修水管，想知道一截水管中的水流向及速度，則只需要一維向量——即純數字。

向量說白了其實就是空間中某一個點的位置，但由於原點是不變的，所以我們可以腦補出一條線從原點發出，指向這個點。後續，在必要的時候，我們也要在腦海中把這條線去掉，只想像這個點。

矩陣 = 向量

二維向量比較容易可視化，所以拿二維向量來舉例。我們可以把 這樣一個向量用一個 矩陣（Matrix）來表示：

代表兩行， 代表一列。為什麼是豎著？因為就是這麼規定的。這一點需要死記住。

行 = 維度

不難看出，上面列出的向量有兩個維度，橫向和縱向。在矩陣裡面用行來表示維度，有幾行，就有幾維。

列 = 數量

如果是 的矩陣，則可以理解成兩個二維向量。

上述即是兩個二維向量： 和 。

如果是 的矩陣，則可以理解成三個二維向量，以此類推。

基 = 單位

向量本身只是抽象的數字，沒有單位。拿軍艦的例子來說，我們實際上給它加上了一個單位。數字本身是沒有單位的，所以對於任意的向量來說，我們都默認了一個標準單位，即 「」。

用矩陣表示就是：

我們可以這樣理解，現在有縱橫兩把尺子，兩把尺子上面都以「厘米」作為刻度，我在 處做一個標記。如果現在我把豎著的換成一把「英寸」為刻度的尺子，重新再找 ，則這個點的位置就不同了。用矩陣表示就是：

之所以乘以 2.54 是因為 1 英寸 = 2.54 厘米。

如果拋開厘米、英寸，僅以抽象數字來表示，則我們可以選擇任意數字作為向量的「刻度」，並把它也用一個矩陣來表示。比如，上一個矩陣的橫向單位是：

而縱向單位是：

這裡用 代表單位，即 unit。矩陣的單位有一個專屬名詞叫做「基」（basis）。在數學上用 和 表示（更多維度則 等以此類推，念做 ai-hat，jay-hat 等）。

前面我們講了，矩陣默認在每一個維度有一個基，就是 。所以，上述單位就可以表示為：

而我們前面的「厘米 / 英寸」的基則可以表示為：

不同維度的單位可以放在一起，則有：

由此可知，任何行列數相等（即 ）的矩陣，我們都可以把它視作是一個 維度向量空間的基。

另一個看待基的辦法是把它視作坐標繫上的刻度標記。則上面這個基就可以理解為：

• 軸每隔 1 單位有一個刻度。

• 軸每隔 2.54 單位有一個刻度。

如果把這些刻度分別畫上線，就會看到一個個的格子。這些格子明顯是瘦長方形的，因為長是 1，寬則是 2.54。

當然，基除了可以順著軸伸縮之外，也完全可以扭轉方向。如果把基設置成 ，那麼就相當於把兩把尺子轉 45°（還把刻度稍微放大了一點）。這個時候，原來的向量 所在的落點也會跟著這兩把尺子旋轉。具體旋轉的落點計算方式，後面再說。

標量 = 單位倍數

前面說了，對於任意一個向量來說，我們都可以把它視作是基向量的倍數。比如：

就是把橫軸的基向量 ，縱軸的基向量 。這裡的 和 都是所謂的標量（Scalar）。這個「標量」應該是一個錯誤的翻譯，因為 scale 在這裡指的是「縮放」，而 scalar 則指的是「縮放的程度」。也就是說，它指的實際上是對單位縮放的倍數。

相關知識

方程

「方程」一詞來自《九章算術》，「方」原意為「兩船並行」，「程」則為「度量單位」。此處指的是把不同的變數單位統一，形成一個等式，然後數個等式並排，形成一個等式組合，謂之「方程」。

簡化一個《九章》中的例子：

三捆上等谷，兩捆下等谷，打出果實 39 斗；兩麻袋上等谷，五麻袋下等谷，打出果實 33 斗。請問每種穀每捆打果實多少斗？

那麼這裡一個是「捆」，一個是「麻袋」，則單位不同意，需要先「程」一下，把二者統一成一個單位。然後是形成兩個等式：

• 3 捆 + 2 捆 = 39 斗
• 2? 捆 + 5? 捆 = 33 斗

上面的問號代表需要轉換單位。上面這個做法就叫做方程。而《九章》的做法更符合中文古書的做法，把這個寫成了這個樣式（假設 1 捆 = 1 麻袋）：

這和矩陣很類似，不過和我們現在知道的矩陣定義不太一樣，因為計算結果也被放到了同一個矩陣中。實際上要用矩陣的運算來解方程的話，需要把計算結果放到另外一個矩陣中，不過在此處不是重點。

計算方式也很簡單，把左列乘以右上角的數：

這樣做的目的是為了讓左列的第一個數（）將可以被右列的第一個數（）整除。然後我們讓左列整體減去右列，直到左列第一個數等於 ，即：

然後得到：

然後可知下等谷一捆能產 的果實。帶入右列，則可知上等谷一捆能產 的果實。

上面是方程的本源。後人加入了冗餘的「組」字，用「方程組」指代等式組合，而用方程去指代「等式」。「方程組」在英文中叫做 System of equations，即「等式組成的系統」，這裡的「系統」指的是各等式是一體的，即我們找到的變數值必須同時滿足系統中的所有等式。

上面這種方程叫做「一次方程」，指的是等式之中只有變數、常量以及二者之間的加減乘除關係，而不會有變數與變數之間的加減乘除關係。也就是說，變數的最高次冪是一次。在英文中叫做 Linear Equation，即（直）線性等式。這個線性指的就是直線，因為這樣的方程呈現在直角坐標繫上就是一根直線。

「方程」和「向量」在此處交集，形成了矩陣的兩種理解。我們既可以把矩陣理解成對一次方程的概括，也可以把它理解成對向量的標記。對方程來說，矩陣每一行代表一個未知數（變數）；而對向量來說，每一行則代表一個維度。

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