流動線性穩定性方程推導那點事兒（二）

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4. 對線性穩定性方程解的認識

接下來討論一下線性穩定性方程的解即( ${3}$ )和( ${5}$ )等相關的擾動波展開形式的問題。

4.1 線性振動問題的情況

要解釋這個問題，可以從振動力學裡面的機械波開始入手。先考慮線性振動方程

$u^{primeprime}(t)+omega^2u(t)=0 ag{19}.$

顯然，根據常微分方程的求解，它的解可以寫成

$u=C_1{ m{e}}^{iomega t}+C_2{ m{e}}^{-iomega t} ag{20}$

的形式。接下來分析它的特徵。

我們採用傅里葉級數法來求解方程( ${19}$ )。因為方程的解釋時間 $t$ 的函數，因此不妨設方程的解為如下形式：

$u=sum^{+infty}_{n=-infty}hat u_n{ m{e}}^{inomega_0 t} ag{21}$

顯然此時式( ${21}$ )對應於對 $u$ 做傅里葉變換。 $hat u_n$ 相當於是$u$在傅里葉空間的投影。將( ${21}$ )代入到( ${19}$ )，得到：

$sum^{+infty}_{n=-infty}(-n^2omega_0^2+omega^2)hat u_n{ m{e}}^{inomega_0 t} ag{22}=0.$

根據傅里葉空間基函數 ${ m{e}}^{inomega_0 t}$ 的正交性，那麼對任意給定的 $n$ 都有：

$(-n^2omega_0^2+omega^2)hat u_n=0 ag{23}.$

因為這裡 $omega_0$ 作為傅里葉變換的基頻。為求簡單，不妨設 $omega_0=omega$ ，那麼顯然除了 $n=pm 1$ 時 $u_n eq 0$ ，其餘的 $u_n$ 都為零。因此，方程(19)的解為：

$u=hat u_1{ m{e}}^{iomega t}+hat u_{-1}{ m{e}}^{-iomega t}. ag{24}$

這裡， $u_1$ 和 $u_{-1}$ 都是複數。因為方程(19)是一個二階實係數方程，所以它的解是一個實數。另一方面，從物理上對應於物理空間中的物理量，也應該是一個實數。因此，根據實數的傅里葉分解的性質，顯然 $hat u_1=overline {hat u_{-1}}$ 。這樣，式(24)就可以寫成

$u=hat u_1 { m{e}}^{iomega t}+{ m{c.c.}} ag{25}$

這裡，c.c.為前面一項的共軛。(25)顯然可以寫成三角函數的形式：

$u=C_1cos(omega t)+C_2sin(omega t). ag{26}$

其中，

$C_1=2{ m{Re}}(hat u_1),qquad C_2=-2{ m{Im}}(hat u_1).$

顯然，為了描述振動方程的解，不僅是 $hat u_1$ 的實部，虛部也對解有貢獻。實際上因為 $hat u_1$ 是複數，所以其實部與虛部兩個量對應二階常微分方程的兩個積分常數。

4.2 振動方程的解的另一種含義

實際上，振動方程的解還有另外一種形式。我們設

$A=sqrt{C_1^2+C_2^2},$

於是(26)可以做如下化簡：

$u=A(frac{C_1}{A}cos(omega t)+frac{C_2}{A}sin(omega t)). ag{27}$

這相當於對係數進行了歸一化，而 $C_1/A$ 和 $C_2/A$ 則分別對應於三角函數的餘弦函數和正弦函數。如果設

$heta= an(C_2/C_1)$

那麼，就可以設：

$C_1/A=cos( heta), qquad C_2/A=sin( heta)$

將他們代入到方程(27)，並利用三角函數的和角公式，可以寫成如下形式：

$u=Acos(omega t- heta).$

顯然，根據該式 $A$ 定義了振動的幅值，而 $- heta$ 表示振動的初始相位。如果我們將式(26)中 $C_1$ 和 $C_2$ 的定義式代入 $A$ 和 $- heta$ 的表達式，那麼就可以得到：

$A=2|hat u_1|, qquad - heta=arg(hat u_1).$

因此， $hat u_1$ 實際上反映了振動的基本形狀，即其模表徵了這個振動的幅值，而幅角表示了初始相位。這也就是式(25)的物理含義。

4.3 線性穩定性方程的解的形式

在明確了線性振動方程所描述的機械波的解之後，對於現行穩定性方程所給出的波動解（即式(3)和式(5))，也就不難理解其解的形式和含義了。

與線性振動方程相比，流體力學中的小擾動方程本質上是一個偏微分方程。這就意味著問題在空間上具有無限個的自由度。這就導致了其運動穩定性問題更為複雜。然而，即便數學本質上是複雜的，但對於線性穩定性問題的解的基本波動形式，其數學表達式是與線性振動方程非常相似的。事實上，它的波動解的形式並不是式(3)和式(5)，而是如下形式(以式(5)為例)：

$u(t, x_1, x_2, ldots, x_n)=hat u(x_2){ m{e}}^{i(-omega t + alpha_1 x_1+ alpha_3 x_3+cdots +alpha_n x_n)}+{ m{c.c.}} ag{28}$

與線性振動方程比較，可以發現它具有以下特點：

擾動的相位不止與時間有關，同時也與空間位置有關
擾動的形狀實際上是在 $x_2$ 方向的一個函數

對於第一點不難理解，由於其基本方程是偏微分方程的，因此在假設擾動的表達形式的時候，也就要把空間中的相位變化也考慮進去。這個過程中體現了波動的概念。回想一下數理方程中講解波動方程的解所體現的物理意義，也是這麼理解問題的。波在場中傳播的時候，雖然每個質點都在固定的位置上做簡諧振動，但其形狀看起來就好像波在運動一樣。正是因為空間相位的引入，波才有了看起來是「動」的特徵。

對於第二點，可以認為在 $x_2$ 空間上存在著無數個流體質點，每個質點都有不同的幅值和初始相位，只是這些質點之間存在著一些聯繫（即運算元保留了在 $x_2$ 方向上的導數)。因此這些流體質點的幅值以及初始相位在 $x_2$ 方向上連在一起，也就形成了擾動在這個方向上的分布形狀，即形函數。事實上，如果基本流動在 $x_2$ 方向上是緩變的或者不變的，那麼 $hat u(x_2)$ 也就還能利用 $hat u(x_2)= ilde u{ m{e}}^{-ialpha x}$ 進一步的進行簡化，這時式(5)也就變成了式(3)。

既然擾動波應該如式(28)那樣的形式，為什麼還可以寫成式(5)呢？這是由於我們這裡研究的是線性方程。此時由於傅里葉基函數的正交性，只需要考慮其中的一個基函數上的表達就行了，另一部分可以直接取共軛得到。