「填色問題」困擾數學界60年，這個生物學家的方法會是終極答案嗎？

在平面著色問題問世 60 多年後，一位業餘數學愛好者近日取得了新的突破。

平面著色問題可以追溯到 1950 年，當時，芝加哥大學學生 Edward Nelson 提出了一個看似簡單的圖形問題，卻讓數學家們花費了幾十年去解答。

假設有一個圖形，圖形上是一系列由長度相同的線段連接起來的點，且所有點與線都在同一平面上。我們要做的是給這些點塗顏色，相連的兩個點顏色不可以重複。Nelson 的問題是：給這樣的圖形上色，最少用幾種顏色就可以完成？當圖形延伸到無限多個點時，情況又如何？

這個問題後來被稱作 Hadwiger-Nelson 問題，或「填色問題」，令無數數學家興緻勃勃、爭相研究，包括當時活躍多產的匈牙利數學家保羅?厄多斯。研究者們很快就縮小了顏色數量的範圍，發現延伸到無限的圖形的顏色數量應該不少於4種，不多於7種。後續的研究中，一些人證明了部分結果，卻沒有改變4~7這一範圍。

就在上周，生物學家 Aubrey de Grey，在科學預印本網站http://arxiv.org上發表了一篇文章——《平面上的顏色數至少是5種》。

文章指出，圖上僅用4種顏色著色是不夠的。這一發現是「填色問題」被提出以來的第一個重大進展。Grey說，「我真是幸運，為一個已經問世60多年的問題提出解決方案可是稀奇事！」

圖丨Aubrey de Grey，他作為聯合創始人在美國加州建立了SENS研究基金會——一個研究和推廣永生理念、試圖通過再生性藥物阻止衰老的NGO組織

Aubrey de Grey看起來不像是數學先驅。他是一個旨在開發「扭轉衰老負面影響」的技術組織的聯合創始人兼首席科學家。在玩棋盤遊戲時，他想到了「填色問題」的解決方案。

對於一個業餘數學家來說，在一個長期懸而未決的問題上取得重大進展是不尋常的，但並非前無古人。

20世紀70年代，Marjorie Rice——一位沒有數學背景的家庭主婦，靠著在「凸五邊形密鋪」問題上做出的貢獻，紅遍了美國的科學專欄。她在可以無縫連接的五邊形中添加了4種新的形狀。耶路撒冷希伯來大學的數學家吉爾卡萊說，非專業數學家取得重大突破是令人欣慰的，因為這樣可以多角度增加人們的數學經驗。

圖丨Marjorie Rice發現的4種「凸五邊形密鋪」圖形

最著名的填色問題當屬「四色定理」——任何一張地圖只用4種顏色就能使具有共同邊界的國家著上不同的顏色。這些國家的確切大小和形狀並不重要，所以數學家們可以將「四色定理」轉化為圖論問題。即將每個國家都轉化成端點，有共同邊界的國家就是由一條直線連接的兩個點。

圖丨解釋填色問題的圖表

Hadwiger-Nelson 問題與「四色問題」稍有不同。它不考慮地圖上有限的端點，而是會延伸到平面上無限個端點。如果兩個端點恰好相隔一個單位長度，就表示兩個點像地圖上的國家那樣「接壤」。要找到顏色數的下限，需要先構建一個具有有限端點、需要一定數量顏色的圖形。這就是Aubrey de Grey做的工作。

Aubrey de Grey創建圖形的靈感來自於「莫澤圖」（Moser spindle），該圖以數學兄弟Leo Moser和William Moser的名字命名。「莫澤圖」只有7個端點和11條邊，其端點的最小顏色數為4。 通過少量的計算機輔助， Grey將「莫澤圖」和其他一系列端點融合成一個有著20425個端點的龐大圖形，這個圖形無法僅用4種顏色著色。後來他將圖形縮小到1581個端點，並用計算機檢查發現，的確用4種顏色是不夠的。

圖丨莫澤圖

任何需要5種顏色的圖形的發現都是一項重大成就，數學家希望找到一個滿足這一點的小一點的圖形。也許找到一個更小的或最小的五色圖可以讓研究人員更深入地了解Hadwiger-Nelson問題，從而可以證明五種顏色（或六、七種）足夠填塗平面上的所有點。

Aubrey de Grey已經向加州大學洛杉磯分校的數學家陶哲軒提出申請，希望將尋找最小五色圖納入群體合作項目中，這個群體合作項目大約在10年前就開始了，當時劍橋大學的數學家Timothy Gowers想找到一種方法來促進大規模的數學在線合作。群體合作項目的工作是公開完成的，任何人都可以為之做出貢獻。最近，Aubrey de Grey又參與合作，在孿生素數問題的研究上取得重大進展。

圖丨Aubrey de Grey的有著1581個端點的圖形

陶哲軒說，並非每一個數學問題都適合成為群體合作項目，但是Aubrey de Grey可以參與解決填色問題，畢竟它易於理解並能迅速展開研究，而且其中還有一個明顯的成功標準：降低非四色圖中端點的數量。果然很快，俄亥俄州立大學數學家Dustin Mixon和他的合作者Boris Alexeev發現了一個有1577個端點的圖。上周六（4月14日），德克薩斯大學奧斯汀分校的計算機科學家Marijn Heule將圖形縮小為874個端點，之後端點數量又減少到了826個。

研究人員的努力給60年前的Hadwiger-Nelson問題帶來了全新的展望。西澳大學數學家Gordon Royle說：「像這種問題，最終的解決方案可能得運用非常有深度的數學理論，或者只是某個人的奇思妙想。」