多元函數如何求極限

05-03

聲明：本文為原創文章，首發於微信公眾號「湖心亭記」

上次有同學問我多元函數要怎麼求極限。因為每天太忙了，每及時回答。今天抽出時間來說一下吧。

不扯那麼多虛的。就一個原則：除了洛必達法則，基本上一元函數能用的求極限的方法幾乎都能在多元函數上使用。

所以把握住這個原則，多元函數的極限也沒有想像的那麼神秘。我們以二元函數的極限為例，舉一些例子作為說明吧。

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例1 使用了無窮小替換

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例2 二元初等函數在定義域連續，所以極限同樣可以直接代入

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例3 同樣也可以分子分母有理化

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例4 同樣也可以使用兩個重要極限

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例5 同樣也能夠使用夾逼準則

討論函數 $[fleft( {x,y} ight) = left{ egin{array}{l} frac{{{x^2}y}}{{{x^2} + {y^2}}}{kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {x^2} + {y^2} e 0\ 0{kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {x^2} + {y^2} = 0 end{array} ight.]$ 在（0,0）處的連續性

解：先求極限 $[mathop {lim }limits_{x o 0,y o 0} fleft( {x,y} ight) = mathop {lim }limits_{x o 0,y o 0} frac{{{x^2}y}}{{{x^2} + {y^2}}}]$

因為 $[0 le left| {frac{{{x^2}y}}{{{x^2} + {y^2}}}} ight| = left| {frac{y}{{1 + frac{{{x^2}}}{{{y^2}}}}}} ight| le left| y ight| o 0left( {y o 0} ight)]$

所以由夾逼準則知道 $[mathop {lim }limits_{x o 0,y o 0} fleft( {x,y} ight) = mathop {lim }limits_{x o 0,y o 0} frac{{{x^2}y}}{{{x^2} + {y^2}}} = 0 = fleft( {0,0} ight)]$

因此連續

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所以我們看到多元函數的極限其實沒有那麼神秘，本質跟一元函數求極限一樣。所以求極限最核心的還是要對一元函數求極限的方法掌握好，這樣子才能舉一反三套用到多元函數中。

另外數學系中有學習到多元函數的累次極限，因為高等數學中不包括，因此就不作介紹了，不是數學系的也沒必要了解哈。好了今天就到這吧。