拒絕掉前面37%的追求者--自然常數e的妙用

05-03

傳說古希臘哲學大師蘇格拉底的3個弟子曾求教老師，怎樣才能找到理想的伴侶。於是蘇格拉底帶領弟子們來到一篇麥田，讓他們每人在麥田中選摘一支最大的麥穗——不能走回頭路，且只能摘一支。第一個弟子剛剛走了幾步便迫不及待地摘了一支自認為是最大的麥穗，結果發現後面的大麥穗多的是；第二位一直左顧右盼，東瞧西望，直到終點才發現，前面最大的麥穗已經錯過了；第三位把麥田分為三份，走第一個1/3時，只看不摘，分出大、中、小三類麥穗，在第二個1/3里驗證是否正確，在第三個1/3里選擇了麥穗中最大最美麗的一支。
——摘自百度百科《最大的麥穗》

我們可以建立這樣的一個簡單的數學模型：假設一個妹子一生中總共會遇到n位追求者，這n個男（/女）生隨機排成一條長隊，一個一個拿著愛的號碼牌，去向妹子表白。對於每一個表白者，妹子要麼選擇拒絕，期待下一個能遇到更好的；要麼約定終身，但這也意味著放棄了接下來的所有選擇，也許你婚後滿腹牢騷，懊悔自己當初怎麼就瞎了狗眼看上了你這麼一個……

那麼，我們作為該妹子的智囊團，為她制定的策略為：先拒絕掉你遇到的前r-1個人，無論這r-1個人中有個男孩子多麼讓你心動，我們把這r-1個表白者中最讓你心動的那位稱為M，然而從第r個開始，一旦看見有男孩子比M更好的，當機立斷選擇更好的這個為自己的終身伴侶。

那麼問題來了，n為已知的情況下，當r為多少時，能夠使得該妹子選中最佳藍孩紙的概率最大？

表白者隨機變數表示為 $X_1, X_2, X_3, ... X_i, ... X_n$

假設，Mr. right位於第i個位置。一種情況是，如果僅次於 $X_i$ 的那個男孩正好在前r-1個中，也就是M，那麼，女孩必定能選中Mr Right。

$X_1, X_2, X_3 ... X_M ...X_{r-1}, X_r ... X_{Mr. Right}, ...X_n$

此時，

$P(選擇第i個表白者|第i個表白者是Mr. Right) \=P(次於M.R.的表白者正好位於前r-1中） \=P(次於X_i的表白者正好位於前r-1中） \=P(前i-1個人中最好的那一位位於前r-1中） \=frac{r-1}{i-1}$

而我們知道 $P(第i個表白者是Mr. Right) = frac{1}{n}$

於是 $P(r)=sum_{i=1}^{n}{P(選擇第i個表白者igcap 第i個表白者是Mr. Right)} \=sum_{i=1}^nP(選擇第i個表白者|第i個表白者是Mr. Right) imes {P(第i個表白者是Mr. Right)} \=sum_{i=r}^n{frac{r-1}{i-1} imesfrac{1}{n}}\ =frac{r-1}{n}sum_{i=r}^nfrac{1}{i-1}$