第3節.瓊斯矩陣與瓊斯矢量

今天看到個問題，哪位大神可以解釋一下Pancharatnam?Berry (PB) 相位？

所以，打算想來講講瓊斯矩陣與瓊斯矢量，理解這種調製PB相位的器件，用「瓊斯矩陣」去理解是一個比較好的工具。（這裡為什麼打引號後面會說）

我們知道，單色偏振平面光的偏振態可以用一個複數矢量去描述。

而偏振相關的器件，可以用瓊斯矩陣M來描述。輸出光的偏振態可以由輸入光的瓊斯矢量乘以器件的瓊斯矩陣得到。

例如，我們的PB器件，一般是一種特殊的半波片。我們先來看看半波片怎麼去描述。我們假定半波片的快軸是為x方向，慢軸為y反向。那麼他的半波片的瓊斯矩陣可以寫成

我們一般拿半波片來幹嘛呢？一般是用來旋轉線偏振光的偏振態。

首先，我們來看看旋轉變換。例如，大XY坐標系中的坐標（矢量）要用小xy坐標中的坐標（矢量）怎麼去描述呢？

答案是：

我們寫成矩陣形式就是

我們叫這個R作旋轉矩陣。前面那個半波片是瓊斯矩陣是假定半波片的快軸是為x方向，慢軸為y反向。但是，如果我們要模擬一個旋轉一定角度後的半波片，那這個旋轉矩陣就可以派上用處了。我們可以把快軸和慢軸定義一個坐標系，叫做元件坐標系，元件坐標系用小寫的xy表示。在這個坐標系下，其輸入和輸出可以用下面表示，其中這個M是在元件坐標系下的瓊斯矩陣。

那麼實驗室的水平和豎直方向定義一個坐標系，叫實驗室坐標系，用大寫的XY表示。那麼偏振光的瓊斯矢量在這兩個坐標系的表示，用對應的小寫下標和大寫下標表示。同時這兩個坐標系假定只存在旋轉關係。

所以有

根據下面推導

根據以上兩個關係，我們就可以得到在實驗室坐標系下的瓊斯矩陣可以寫成

我們來用matlab來模擬一下這個過程。下面介紹一個小技巧，可以很方便地寫基於瓊斯矩陣的光學模擬。

R=@(theta)[cos(theta),-sin(theta);sin(theta),cos(theta)];T = @(M,theta)(R(theta)*M*R(-theta));syms thetaHW = [1,0;0,-1];T(HW,theta)

ans = [ cos(theta)^2 - sin(theta)^2, 2*cos(theta)*sin(theta)][ 2*cos(theta)*sin(theta), sin(theta)^2 - cos(theta)^2]

應該可以看出來其實上面是等於

當然，其實這裡還沒有回答本文開始解釋一下Pancharatnam?Berry (PB) 相位。其實PB相位是對圓偏振而言的，但是這個矩陣實際上是在線偏振基下描述的。所以，我們在圓偏振基下，看看這個「瓊斯矩陣」（圓偏振基下的瓊斯矩陣不知道該叫啥矩陣，所以我打了引號。）

方法和器件旋轉的方法是一樣的，我們只需要建立圓偏振基和線偏振基的關係，就可以了。具體就不推了，看下圖。內容不用太在意，看公式就行。我前陣子剛投的一篇文章的節選。

最後可以看到，在圓偏振基下，通過旋轉半波片的方向，可以實現相位的調製，這個就是PB相位調製的原理。PB器件通過調整空間變化的半波片方向，從而引入空間變化的相位分布。

其實，你可以看到，對於兩個圓偏振，這個PB器件引進的相位剛好是相反的，所以你用PB相位去做一個透鏡，那麼對其中一個圓偏振是凸透鏡，那麼對於另一個圓偏振就相當於凹透鏡。

PB相位講多了，其實我這節是想講講瓊斯矩陣在matlab中的模擬技巧的。

R=@(theta)[cos(theta),-sin(theta);sin(theta),cos(theta)];T = @(M,theta)(R(theta)*M*R(-theta));HW = [1,0;0,-1];T(HW,pi/4)

還是這段代碼。第一句就是用theta生成旋轉矩陣，第二句就是利用theta生成旋轉矩陣與元件下的瓊斯矩陣M，計算出實驗室坐標系下的瓊斯矩陣。

第3句是半波片在元件坐標系下的瓊斯矩陣，第四句是計算45°下半波片的瓊斯矩陣。其實這裡已經提供了所有器件模擬計算的方法。 我們只需要把元件在元件坐標系的瓊斯矩陣描述出來，那麼我們就可以寫成這個器件在實驗室坐標系下的瓊斯矩陣了。

最後寫個模擬，就是線偏振光通過旋轉的半波片，然後再經過一個45°的偏振器後的光強。

clcclear%%deg = pi/180;R=@(theta)[cos(theta),-sin(theta);sin(theta),cos(theta)];T = @(M,theta)(R(theta)*M*R(-theta))HW = [1,0;0,-1];P = [1,0;0,0];E = [1;0];THETA = (0:360)*deg;I = zeros(size(THETA));for index = 1:length(THETA) theta = THETA(index); Out = T(P,45*deg)*T(HW,theta)*E; I(index) = (norm(Out)).^2;end%%plot(THETA/deg,I)xlim([0,360])

上面這個是比較慢的方法。還有一種辦法，可以用定義符號 syms theta,得到Out的表達式，然後用表達式轉函數句柄的方法來實現矢量化操作。這裡就不具體寫了。想了解可以看matlab將符號表達式轉化為函數句柄的方法匯總。