範疇論學習筆記15：自然變換

05-03

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學習材料：Category Theory: A Gentle Introduction - Logic Matters，最近更新（2018年1月29日）的版本。這份筆記對應的是第 20-21 章。

自然變換（natural transformation）在範疇論中具有十分重要的位置。我們先從它的一個特例，自然同構（natural isomorphism）談起。

假設我們有一對平行函子 $mathscr{C} ightrightarrows^{F}_{G}mathscr{D}$ 。從範疇論的角度來看，這兩個函子什麼時候可以被視為「是一樣的」呢？

$mathscr{C}$ 的兩個像可以十分不同。但我們至少可以確保，如果存在一套 $mathscr{D}$ 同構映射 $psi$ （ $psi_A:FA ightarrow^sim GA; psi_B:FB o^sim GB$ 等等，從而確保 $FAcong GA, FBcong GB$ 等等）的話，對對象應用 $F$ 和 $G$ 可以得到上至同構（up to isomorphism）的相同結果。

對於這樣的一套同構 $psi$ ，和箭頭 $f:A o B$ ，存在從 $FA$ 到 $FB$ 的箭頭 $Ff$ ，還有 $psi_B^{-1}circ G fcirc psi_A$ 也是從 $FA$ 到 $FB$ 的箭頭。我們還應要求這兩個箭頭是相同的箭頭，即 $psi_Bcirc GF=GFcirc psi_A$ 。這樣的話就可以確保 $F$ 和 $G$ 對箭頭 $f,f,f,dots :A o B$ 進行應用之後，會有一對一的 $Ff,Ff,Ff$ 和 $Gf,Gf,Gf$ 之間的照應關係。因此，我們定義平行函子的同構如下：

定義99（自然同構）

設 $mathscr{C}$ 和 $mathscr{D}$ 是範疇， $mathscr{C} ightrightarrows^{F}_{G}mathscr{D}$ 是協變函子（對偶地，逆變函子）。假設對於每一個 $mathscr{C}$ 對象 $C$ ，存在一個 $mathscr{D}$ 同構 $psi_C:FC o^sim GC$ ，那麼 $psi$ ，即箭頭 $psi_C$ 的家族/科（family），被稱為函子 $F$ 和 $G$ 之間的自然同構，如果對於每一個 $mathscr{C}$ 箭頭 $f:A o B$ （對偶地， $f:B o A$ ）來說，下面的自然正方形（natural square）在 $mathscr{D}$ 中是可交換的：

在這種情況下，我們將其標記為 $psi:FRightarrow^sim G$ ， $psi_C$ 被稱為 $psi$ 的構件（component）。如果存在這樣的自然同構， $F$ 和 $G$ 被稱為自然地同構（naturally isomorphic），我們記為 $Fcong G$ 。

為什麼叫「自然同構」？Eilenberg 和 Mac Lane 給出了下面的例子：

考慮一個實數域 $mathbb{R}$ 上的有限維度向量空間 $V$ ，以及對偶的線性函數 $f:V o mathbb{R}$ 的空間 $V^*$ 。我們可以發現 $V$ 和 $V^*$ 是同構的，兩個空間之間存在雙射線性映射。

證明思路：為 $V$ 取基[底]（basis） $B={v_1,v_2,dots,v_n}$ ，定義函數 $v_i^*:V omathbb{R}$ 為 $v^*_i(v_j)=egin{cases} 1, ext{if} i = j\ 0, ext{otherwise} end{cases}$ . 那麼 $B^*={v_1^*,v_2^*,dots,v_n^*}$ 是 $V^*$ 的一個基。取 $varphi_B(v_i)=v_i^*$ 可以得到同構 $varphi_B:V o V^*$ 。

同構取決於基 $B$ 的選擇。沒有任何一個選擇比另一個選擇更為「自然」。因此，沒有任何一個同構 $varphi_B:V o V^*$ 要比其他同類的同構更為自然。

但如果我們取 $V$ 的雙對偶（double dual） $V^{**}$ ，即泛函數 $g:V^* o mathbb{R}$ 的空間。如果為 $V$ 選擇基底，定義以 $B^*$ 為基的 $V^*$ 如前，進一步定義以 $B^{**}$ 為基的空間 $V^{**}$ 。我們就可以通過將 $B$ 中的元素映射到相應的 $B^{**}$ 的元素上，來構建從 $V$ 到 $V^{**}$ 的同構。這個時候，我們就不必要擔心最初基底 $B$ 的選擇了。我們設定 $psi_V(v)(f)=f(v)$ ，那麼 $psi_V$ 就是一個同構。

我們可以「很自然地」說這種同構不是內在的，對於涉及到的具體空間來說不是自然的。但在 $V$ 和 $V^{**}$ 之間有著一個通過通用的過程生成的「自然」的同構，適用於任何合適的向量空間。

這種自然同構可以使得下面的範疇圖可交換：

設雙對偶函子為 $DD$ ，平凡函子為 $1$ . 我們可以將上圖重新畫為：

也就是說，我們可以得到自然同構 $psi: 1Rightarrow^sim DD$ 。兩個空間中的「自然」同構，現在可以用函子之間的同構來表示。

自然同構包括平凡的恆等/單位（identity）函子之間的同構，如 $1_F:FRightarrow^sim F$
平凡單位函子和逆群函子 $Op(G)=G^{op}:sf Grp o Grp$ 之間也構成一個自然同構 $psi: 1Rightarrow^sim Op$
對於將集合 $X$ 映射到 $X$ 的元素的有限列表的集合中的函子 $Listsf: Set o Set$ ，自然同構 $ho:ListRightarrow^sim List$ 的構件 $ho_X:List(X) o List(X)$ 可以把一個 $X$ 集合的元素構成的列表鏡像翻轉。

對象之間的自然/非自然同構

定義100

對於函子 $F,G:mathscr{C o D}$ 和一個 $mathscr{C}$ 對象，我們說在 $A$ 中， $FA$ 自然地和 $FB$ 同構（ $FAcong GA$ ），只要 $F$ 和 $G$ 是自然同構的。

一些結果：

定理105

對於函子 $F,G,H:mathscr{C} omathscr{D}$ ， $mathscr{C}$ 對象 $A$ ，以及函子 $K:mathscr{B o C}$ ，那麼

如果在 $A$ 中，自然地， $FAcong GA$ ，那麼對於所有 $mathscr{C}$ 中的 $A$ ，在 $A$ 中，自然地， $FAcong GA$ 。
如果在 $A$ 中，自然地， $FAcong GA$ ， $GAcong HA$ ，那麼在 $A$ 中，自然地， $FAcong HA$ 。
如果在 $A$ 中，自然地， $FAcong GA$ ，那麼在 $mathscr{B}$ 的 $B$ 中，自然地， $FKBcong GKB$ 。

將自然同構的概念加以推廣，我們就得到了自然變換：

定義101（自然變換，natural transformation）

設 $mathscr{C}$ 和 $mathscr{D}$ 為範疇， $mathscr{C} ightrightarrows^{F}_{G}mathscr{D}$ 是協變函子（對偶地，逆變函子）。假設對於每一個 $mathscr{C}$ 對象 $C$ ，存在一個 $mathscr{D}$ 箭頭（而不是同構！） $alpha_C:FC o GC$ ，那麼 $alpha$ ，即箭頭 $alpha_C$ 的家族/科（family），被稱為函子 $F$ 和 $G$ 之間的自然變換，如果對於每一個 $mathscr{C}$ 箭頭 $f:A o B$ （對偶地， $f:B o A$ ）來說，下面的自然正方形（natural square）在 $mathscr{D}$ 中是可交換的：

在這種情況下，我們將其標記為 $alpha:FRightarrow G$ 。

自然同構就是一個兩個構件都是同構的自然變換。

總而言之，函子 $mathscr{C} ightrightarrows^{F}_{G}mathscr{D}$ 之間的自然變換將（部分或全部） $mathscr{C}$ 的 $F$ -像映射到 $G$ -像上。至少保存原來結構中的箭頭複合。我們可以將這個情景記為：

自然變換本質上是一系列來源不同的箭頭，每對箭頭確保圖可交換；椎體則是來源相同的一系列箭頭。因此，我們可以將椎體視為自然變換的特例。

自然變換箭頭，通常用 $Rightarrow$ 來表示，有兩個複合方向：垂直和水平。我們先從垂直複合看起：

自然變換的垂直複合（vertical composition）

假設我們有三個函子 $F, G, H:mathscr{C o D}$ ，以及兩個自然變換 $alpha: FRightarrow G, eta: GRightarrow H$ 。我們可以將這兩個自然變換複合為 $etacirc alpha : FRightarrow H$ （按構件，compoinentwise 定義：對於所 $mathscr{C}$ 中的對象 $A$ ， $(etacirc alpha)_A = eta_Acirc alpha_A$ ）。將兩個自然可交換正方體垂直地粘在一起，就構成了一個更大的可交換正方體，其中對於任何 $mathscr{C}$ 箭頭 $f:A o B$ ，下面的正方體在 $mathscr{D}$ 中是可交換的：