群的定義相關

接下來幾道習題均選自馮克勤的近世代數三百題，這一篇文章應該是賞析性質的。

這一題看起來像是一道解方程的問題，但是只是形式上看起來像而已。群中只有一種運算，它的一元方程只能是x的某次方等於某值。但這不就是找群中的某階元嗎？

本題其實也是找二階元，偶數階群中總有奇數個二階元，注意到幺元也是那個方程的解，但幺元不是二階。它有一個推論：任何一個偶數群都必有二階元與二階子群，這個推論也是西羅定理的推論。

它的證明是配對，不是那個方程的解的元素總是成對出現的。這個思路其實有點組合味道，代數題中有很多這類題。

但對本題而言，這不就是劃分等價類嗎？若ab=1或者a=b，則a與b在同一個等價類里。然後列出群方程，群的階等於各個等價類的階。這正是後面群作用一章中常用的招數。

與之對偶的還有這一題：

完全是一樣的操作。

下面兩題是群中用到的代數變形技巧

來看看它們的解答思路：

1. 證明逆肯定是去證ab=1,ba=1,之後應該怎麼構造？為什麼在ab的右邊用1的代換？注意到題目中給的式子左邊，都是以a開始以a結束，而我們這裡右邊是b，因此用b右邊的1湊出a來。

對高代中廣義逆熟悉的同學可以發現第一個式子就是減法廣義逆的式子，或許他們還有什麼聯繫呢!

2.這個問題就很皮，非常巧妙，我根本想不到這麼解。選在這裡，或許以後能明白呢？在自由群上加限制表示群的時候，經常會出現這樣的式子，還是多積累一下吧。

最後一道題頗有點競賽題的味道，退一步進兩步，先討論一種平凡情形，然後假設它不成立，立刻得到構造或證明。本質上與群論無關，對我們的唯一啟示大概就是利用有限群對運算封閉往往有奇效吧。

記得科大的蘇淳教授出過一本小冊子(從特殊性看問題)，裡面全都是這種退一步進兩步的題目，有興趣的可以自己查來看看。