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高數期中測試B下午

05-03

一. 單項選擇題(每小題3分，共24分)

1. 設函數 f(x) 的定義域為 [0,1] ，則g(x)=f(x+frac{1}{4}) 的定義域為( B ).

A. [0,1] B. [-frac{1}{4},frac{3}{4}] C. [frac{1}{4},frac{3}{4}] D. [-frac{1}{4},frac{5}{4}]

2. 若 f(x)=frac{4x^2+3}{x-1}+ax+b ，若 lim_{x ightarrowinfty}f(x)=0 ，則 (a,b)= ( B ).

A. (4,-4) B. (-4,-4) C. (4,4) D. (-4,4)

3. 當 x ightarrow0 時，與 ln(1+2x)^2 等價的無窮小量是( A )

A. 4x B. 2x^2 C. 4x^2 D. frac{1}{4}x^2

4. 設 f(x) 在 x=a 處可導，則下列極限中等於 f(a) 的是( A ).

A. lim_{h ightarrow0}frac{f(a)-f(a-h)}{h} B. lim_{h ightarrow0}frac{f(a+h)-f(a-h)}{h}

C. lim_{h ightarrow0}frac{f(a+2h)-f(a)}{h} D. lim_{h ightarrow0}frac{f(a+2h)-f(a+h)}{3h}

5. 設 f(x)=arctanfrac{1}{x} ，則 x=0 為 f(x) 的( B )間斷點.

A. 可去 B. 跳躍 C. 振蕩 D. 無窮

6. 設 f(2x+1)=x^4 ,則 f(2x+1)= ( B ) .

A. 4x^3 B. 2x^3 C. frac{1}{2}(x-1)^3 D. frac{1}{4}(x-1)^3

7. 設 f(x) 在 [a,b] 連續,在 (a,b) 內可導，記 (1) f(a)=f(b) , (2) 在 (a,b) 內 f(x)equiv0 ，則( B ).

A. (1)是(2)的充分但非必要條件 B. (1)是(2)的必要但非充分條件

C. (1)是(2)得必要條件 D. (1)是(2)的既非必要也非充分條件

8. 設 f(x) 在 x=0 的某領域內連續且可導，且 f(0)=0, lim_{x ightarrow0}frac{f(x)}{1-cos x}=2 ，則 x=0 是( B ).

A．是 f(x) 的極大值點 B．是 f(x) 的極小值點

C．不是 f(x) 的駐點 D．是 f(x) 的駐點但不是極值點

二．填空題（每小格3分，共18分）

9. lim_{x ightarrow0}frac{ln(1+2x)}{5x^5+2}cdotsinfrac{4}{x}= ( 0 ).

10. lim_{x ightarrow a}left(frac{sin x}{sin a} ight)^{frac{1}{x-a}}=( e^{cot a} ).

11. 設曲線 y=e^x-arctan x 在點 (0,1) 的切線方程為 ( y=1 ) ．

12. 設方程 y=sin(sin x^2) ，則微分 dy=( 2xcos(sin x^2)cos x^2dx )．

13. 設 y=ln(1+x)+(x-2)^2 ，則單調增區間為( (-1,frac{1-sqrt{7}}{2}] ， [frac{1+sqrt{7}}{2},+infty) )．

14. f(x)=x2^x 的極小值點是( x=-frac{1}{ln2} ).

三．計算題（每題7分，共42分）

15. 求極限 lim_{x ightarrow0}frac{sqrt{4+x}-2}{sin2x} .

解：原式= lim_{x ightarrow0}frac{x}{2x(sqrt{4+x}+2)}=lim_{x ightarrow0}frac{1}{2(sqrt{4+x}+2)}=frac{1}{8} .

16. 設 y=sqrt{xcdotarccos xcdotsqrt{1-x^2}} ，求 frac{dy}{dx} .

解： egin{align*} frac{dy}{dx}&=frac{1}{2sqrt{xcdotarccos xcdotsqrt{1-x^2}}}left(arccos xcdotsqrt{1-x^2}-frac{x}{sqrt{1-x^2}}cdotsqrt{1-x^2}-xarccos xcdotfrac{x}{sqrt{1-x^2}} ight) \ &=frac{(1-2x^2)arccos x-xsqrt{1-x^2}}{2sqrt{1-x^2}cdotsqrt{xcdotarccos xcdotsqrt{1-x^2}}}. end{align*}

17. 已知 f(x)=left{ egin{array}{lr} 2e^x+a,&x<0\ x^2+bx+1,&xgeq0 end{array} ight. 選擇適當的 a,b 使得 f(x) 處處可導.

解: 首先 f(x) 在 x=0 處可導,則 f(x) 在 x=0 處連續，即

lim_{x ightarrow0^-}f(x)=lim_{x ightarrow0^-}(2e^{x}+a)=2+a=f(0)=1 ，即 a=-1 .

又 f_-(0)=lim_{x ightarrow0^-}frac{f(x)-f(0)}{x}=lim_{x ightarrow0^-}frac{2e^{x}-1-1}{x}=lim_{x ightarrow0^-}frac{2(e^x-1)}{x}=2 ，

f_+(0)=lim_{x ightarrow0^+}frac{f(x)-f(0)}{x}=lim_{x ightarrow0^+}frac{x^2+bx+1-1}{x}=lim_{x ightarrow0^+}(x+b)=b ，

由 f(x) 在 x=0 的可導性可知， f_-(0)=f_+(0) ，故 b=2 .

18. 設參數方程 left{ egin{array}{lr} x=ln(1+t^2)\ y=arctan tend{array} ight. , 求 frac{dy}{dx} ．

解: frac{dy}{dx}=frac{frac{dy}{dt}}{frac{dx}{dt}}=frac{frac{1}{1+t^2}}{frac{2t}{1+t^2}}=frac{1}{2t} .

19. 設 y=y(x) 由 e^{x+y}+sin x y=1 所確定，求 y .

解：對方程兩邊同時對 x 求導，得

e^{x+y}cdot (1+y)+sin(xy)cdot(y+xy)=0

整理得： [(e^{x+y}+xcos(xy)]y=-[e^{x+y}+ycos(xy)] ,

即 y=-frac{e^{x+y}+ycos(xy)}{e^{x+y}+xcos(xy)} .

20. 已知 f(x)=x^3+ax^2+bx+c ，當 x=-1 時，取得極大值7；當 x=3 時，取得極小值，求這個極小值和 a,b,c 的值.

解：由題意可知， x=-1 和 x=3 是 f(x) 的駐點，即 f(x)=3x^2+2ax+b=0 的根。

於是 f(-1)=3-2a+b=0 和 f(3)=27+6a+b=0

解得 a=-3,quad b=-9.

又 f(-1)=7 , 即 -1+a-b+c=7 , 則 c=2 .

此時，極小值 f(3)=27+9a+3b+c=-25 .

四．解答題（第21題6分，第22題10分，共16分）

21. 證明：當 b>a>e 時， a^b>b^a 內有且只有一個根.

證明：設 f(x)=frac{ln x}{x} ，則 f(x)=frac{1-ln x}{x^2} 。顯然當 x>e 時， f(x)<0 。

故 f(x) 在 [e,+infty) 上單調遞減。於是，當 b>a>e 時，

可得 frac{ln b}{b}=f(b)<f(a)=frac{ln a}{a} ，即 a^b>b^a 。

22. 設 F(x)=(x-1)^2f(x)，其中 f(x) 在區間 [1,2] 上二階導數且有 F(2)=0 .證明：存在xiin(1,2) 使得 F(xi)=0 .

證明：因為 f(x) 在 [1,2] 上有二階導數，故 F(x) 在 [1,2] 上連續且 (1,2) 上可導。

又 F(1)=F(2) , 由羅爾定理可得，存在 etain(1,2) 使 F(eta)=0 .

而 F(x)=2(x-1)f(x)+(x-1)^2f(x) ，則 F(1)=0 。

又由羅爾定理，可得存在xiin(1,eta) 使得 F(xi)=0 .

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