對稱邏輯

如題，對稱邏輯，是一個偏正短語，對稱為偏，邏輯為正，所以文章主題是講邏輯，講一種不同尋常的邏輯。它不同於傳統的三段論邏輯、現代的符號邏輯以及似是而非的辯證邏輯，它叫對稱邏輯。同為邏輯，對稱邏輯的不同之處在於對稱，所以從對稱講起。

對稱邏輯不尋常，但對稱的現象極為尋常，隨處可見，俯拾皆是。比如近到我們的左手和右手，以及路邊的花花草草，遠到宇宙天體運行的規律，無不蘊含著對稱的深意。但要問什麼是對稱，對稱現象背後的本質是什麼，卻不是馬上能回答上來，一個比較通俗的說法是：對稱是在一定變化條件下的不變現象。無疑這是一個非常深刻的認識，只是還停留在現象層面，不具備理論的可操作性，需要進一步抽象才能深入本質。我們就基於這樣一個認識——變化中有不變——進一步抽象，將對稱定義為：經過某種操作R，使得a、b兩者之間可以相互轉化，則稱a、b關於操作R對稱，記作：a又b。用公式表達為：若Ra＝b，且Rb＝a，則a又b（其中對稱符號「又」取自「對」字的一邊），讀作：a對稱b。換句話說，如果a的對子是b，同時b的對子是a，則a、b對稱。由於這裡的對稱符「又」是中文的，所以姑且將其稱為對稱的中式定義，以區別其他關於對稱的定義。

儘管對稱概念的外延很豐富，但它的內涵離不開兩個要點，一個是「變」，一個是「不變」，如何將這兩點巧妙地聯繫起來，是成功定義對稱的關鍵。中式定義中的Ra＝b，表示a轉化為b，a原本不等於b，而是a經過轉化操作R之後等於b；Rb＝a，表示b轉化為a，b原本不等於a，而是b經過轉化操作R之後等於a，合起來便是，a和b原本不相等，但經過某種操作R，可以使得a等於b，b等於a，其中「R」表示變，「等於」表示不變，並且不變是在經過變之後實現的。由此可見對稱是一個過程，變是條件，不變是結果，而不能將對稱單純理解為一個靜止的結構。

這樣定義對稱靠譜嗎?可以拿一張A4紙來檢驗，沿長邊或寬邊的中點連線對摺，對摺線將A4紙分成a、b兩部分，兩部分完全重合，即a＝b，由於這個結果要經過對摺才能得到，所以完整表述應該是：Ra＝b，即將a沿對摺線壓向b，與b重合；Rb＝a，即將b沿對摺線壓向a，與a重合，於是得出a、b對稱，進而說整張A4紙是一個對稱圖形。直觀感覺這個定義沒什麼問題。從這個對摺A4紙的例子可以發現a、b構成一個整體，或者說存在一個非空集合H，將集合H一分為二，分成a、b兩個子集，由於a、b之間具有對稱性，從而認為a、b所構成的集合H也具有對稱性。這裡所謂的對稱性就是變化之中的不變性。

對稱的定義，經過某種操作R，使得a、b兩者之間可以相互轉化，則稱a、b關於操作R對稱。其中的操作R是一個集合，是實現a、b轉化的操作的集合，針對該集合中元素個數（也稱為基數）的不同可以分別予以說明：

第一，R為空集?，|R|＝0，即沒有任何操作能夠讓a轉化為b，或者b轉化為a，則a、b不對稱。但此時?a=a，應該是成立的，即不需要經過任何操作或轉化，a=a，自身與自身對稱。當然，也可以將不操作視為一種操作，那麼就不存在空集的情況，關於R集的基數的計數系統就要從1開始，而不是從0開始，本文選擇從0開始。

第二，R中只有一個元素φ，使得φa=b，φb=a，即|R|＝1。一個最簡單的例子，－1和1，存在－(－1)＝1，且－(1)＝－1，所以－1和1關於「－」對稱，「－」是一個運算符，表示一種運算，其實數學中的運算與現實中的操作或者過程是等價的。既然－1與1對稱，那麼由－1和1所構成的集合{－1，1}也具有對稱性。按照同樣的模式我們可以對這個集合進行擴展，不難知道關於運算「－」對稱的不只有－1和1，還有很多：－(－0)＝0、－(－1)＝1、－(－2)＝2、－(－3)＝3、……，由這些對稱元素構成一個集合｛……－3、－2、－1、0、1、2、3、……｝，這個集合是整數集，因此整數集也是對稱的。學過群論的同學應該馬上知道整數集是關於加法運算的群，這就很有意思了，通過減法運算「－」定義的對稱元素所構成的整數集，卻是一個關於加法運算「＋」的群。群是什麼?群是集合，是滿足某些運算規則的集合。設G是一個帶有運算符"*"的非空集合，其中元素的運算滿足以下4個條件：

1、封閉律 對於G中的任意兩個元素a，b，a*b仍然在G中；

2、結合律 對於G中的任意三個元素a，b，c，有(a*b) *c＝a*(b*c)；

3、幺元律 G中存在e（稱為幺元），使得對於G中的任意元素a，有e*a＝a*e＝a；

4、逆元律 對於G中的任意元素a，G中一定存在b（稱為a的逆元），使得b*a＝a*b＝e。

滿足這樣4條運算規則的集合就稱為群。對於整數集來說，它所帶的運算符就是「＋」。

那麼群與對稱是什麼關係?是不是可以說群就是對稱，對稱就是群呢?好像不能，通常的說法是群是用來研究對稱的工具，比方說群是顯微鏡，對稱是微生物，通過顯微鏡我們可以清晰觀察到微生物的本來面目，但我們不能說顯微鏡就是微生物，可見群還不能等同於對稱。像集合{－1，1}，你就不能說它是群，群的最低要求是得有3個元素，否則四律之一的結合律便無從談起，像{－1，0，1}就可以是群，而按照對稱的定義，集合{－1，1}雖然不是群，但仍然可以認為它具有對稱性。粗略來看，對稱比群簡單，群要滿足四條，而對稱只要滿足四條中的一條逆元律就夠了，即只要滿足a的逆元為b，b的逆元為a，則a、b對稱。

第三，R中有兩個元素φ和φ，使得φa=b，φb=a，即|R|＝2。看一個著名的案例：雞生蛋，蛋生雞的問題。雞和蛋，看成這裡的a和b，雞生蛋則可以表示為φa=b。我們知道雞生蛋不是一個簡單的過程，比如要經過公雞的授精母雞的排卵，等等，所有這些我們都抽象為一個符號φ，φ就表示雞生蛋的整個過程，因為我們知道雞變成蛋有這麼一個過程即可，不用去關心這個過程的具體細節；那麼蛋生雞，則表示為φb=a，φ同樣是一個抽象的過程，經過這個過程蛋能變成雞，顯然這個過程不同於前面雞生蛋的過程。既然雞經過一個過程能變成蛋，同時蛋經過一個過程也能變成雞，那麼按照定義雞和蛋就是對稱的。這個案例之所以著名，論爭的焦點在於究竟是先有雞，還是先有蛋?在此更進一步，對稱的雙方a和b，究竟是先有a，還是先有b? 單純地從邏輯的角度考慮，這個問題很好回答，即對稱要成立，對稱的雙方必須同時存在，有a的同時必須有b，有b的同時必須有a，a、b對稱則a、b必定同時存在，簡稱對稱必定同時。對稱的定義本身已經蘊含了a、b同時存在的前提假設，只能先有兩者的存在，然後才能談論兩者是什麼關係，並且是成對成對的存在，二缺一都不行。這是邏輯上的要求，當我們把邏輯上的要求搬到現實中來，看符合對稱定義的雞和蛋，是否必然得出，既不是先有雞，也不是先有蛋，而是雞和蛋同時存在的結論呢?

第四，R中元素有三個，或者更多，以至無窮，即|R|＞2。|R|的值越大，說明相互轉化的方式越多，相互轉化的過程也就是互動的過程，相互轉化的方式越多，互動越頻繁，說明兩者的關係越密切，也表明兩者對稱的強度越大，大到無窮，估計兩者已經融為一體了。例如精子與卵子從不相干到相遇再到相融，並最終發育成一個獨立完備的個體，整個過程很能說明對稱的奇妙之處。

雜七雜八說這麼多，歸納起來需要記住的無非兩點：一是對稱必定同時，對稱是用來描述兩者之間關係的概念，但凡被認定為對稱，對稱雙方就必須同時存在，同時是對稱的必要條件；二是對稱需要經過操作才能得到，所有可能的操作構成一個集合R，R的基數越大說明對稱的強度越大。記住這兩點才能快速理解下面要講的對稱邏輯，因為對稱邏輯是對這兩點的直接應用和延伸。

現在可以進入正題，邏輯，邏輯的基礎是概念，概念如何產生是一個非常有意思的問題，似乎也是一個被人們忽略的問題。一個個概念具體如何產生姑且不去考慮，那樣做太細碎和繁瑣，只是單純考慮概念產生的形式，即概念以怎樣的形式產生?概念以對稱的形式產生。首先申明，這句判斷不是真理，只是假設，假設概念以對稱的形式產生，並且假設它為真，然後基於該假設往下推演，至於概念產生的實際情況則不去考慮，因為考慮太多反而會妨礙思想的自由，你比如現實的空間是3維，加上時間是4維時空，但數學不局限於此，數學要研究n維時空，甚至是無窮維，邏輯研究應該向數學靠攏。概念以對稱的形式產生，該假設既是由對稱一步跨上邏輯的橋樑，也是對稱邏輯的理論起點。

既然概念以對稱的形式產生，而對稱又總是成對成對地出現，那麼概念也必然是成對成對地產生，這意味著一個概念的產生必然伴隨著一個與之對稱的概念產生，換言之，對稱的兩個概念必定同時存在，即前面所講的對稱必定同時，這裡的存在包括概念的產生、變化和消亡。用符號來表達這層意思就是：若a又b，則Ra→b， Rb→a，記為：a冂b（其中同時符號「冂」取自「同」字的外部），讀作：a同時b。簡言之，a又b→a冂b，讀作對稱必定同時。當中的符號「→」 表示必然推出。

Ra→b，是個什麼東西?估計此前沒人沒見過，人們見得最多的是「如果a，那麼b」，即a→b（讀作a蘊涵b），這樣的句式稱為蘊涵式。它表示前提蘊涵結論，從前提可以必然推出結論，a蘊涵b，則從a必然推出b。但這個蘊涵式存在怪論，「如果a（我是上帝），那麼b（1＋1=3）」，很顯然現實情況是不論我是不是上帝，都得不出1＋1＝3，自然也得不出1＋1＝2，但形式上它卻是對的。可見這樣的蘊涵式並不考慮前提與結論之間是否存在實質上的聯繫，因此將其稱為形式蘊涵，a與b之間的蘊涵關係僅僅是形式上的。與之相對，Ra→b就可以稱為實質蘊涵（這個稱謂還有待商榷，後面會講到），由於Ra→b是對Ra＝b的延伸，我們知道對稱是一個過程，對於任意一個過程Ra=b，必然對應著一個邏輯形式Ra→b，反之任意一個邏輯形式Ra→b，必然對應著一個過程Ra=b。具體到a（我是上帝）與b（1＋1＝3），我們能找到這樣一個過程讓a轉化為b嗎?不能，即R為空集，所以這時的a（我是上帝）→b（1＋1＝3）就是假的，從a（我是上帝）推不出b（1＋1＝3）。通過這個例子可以隱約感到對稱邏輯的不同尋常之處。

再舉個例子。a（天下雨），R（雨水打在地上），b（地上濕），Ra=b的意思是天下雨，經過雨水打在地上，導致地上濕，該過程對應的邏輯形式是Ra→b，Ra蘊涵b，如果天下雨，經過雨水打在地上，那麼地上濕，於是a（天下雨）可以必然推出b（地上濕）。如果用形式蘊涵a→b，過程R是被忽略掉的，沒有R，從a（天下雨）必然推出b（地上濕）就不那麼可靠，因為天下雨也有地不濕的時候，前提與結論發生實質聯繫需要一個轉化過程，這個過程不能省略。

還是這裡的a（天下雨），b（地上濕），我們能不能由b（地上濕）推出a（天下雨）呢?這就要求Rb＝a，關鍵看R是否為空，看是否存在一個過程使得b能夠轉化為a。確實存在這樣一個過程，地上的水濕經過蒸發升騰，在空中形成積雨雲，當積雨雲中的水滴集聚到足夠大時就會降落到地上，導致天下雨，即b（地上濕），經過R，導致a（天下雨），這是一個現實過程Rb=a，它對應著一個邏輯形式Rb→a，即b（地上濕），經過R，必然推出a（天下雨）。因此我們可以說a（天下雨）和b（地上濕）是對稱的，即a又b，在邏輯上它們也是同時的，即a冂b。

因為a又b→a冂b，對稱必定同時

且a冂b→a又b，同時必定對稱

所以a又b?a冂b，對稱與同時是等價的，這稱為同時律，對稱邏輯的核心就是同時律。

與傳統的演繹邏輯相比，演繹邏輯是普遍中蘊涵個別，普遍真可以必然推出個別真，a→b，a蘊涵b，a必然推出b，前提是a包含b，a、b是包含關係，a如果不包含b是不能必然推出b的。比如亞里士多德的三段論就是這樣的蘊涵邏輯：

大前提：所有人是有死的；

小前提：蘇格拉底是人；

結論：蘇格拉底是有死的。

如果將小前提改成「蘇格拉底是狗」，則不能必然推出結論「蘇格拉底是有死的」，就因為改變之後的小前提與大前提勾連在一起不再包含結論了。

而對稱邏輯不是蘊涵邏輯，Ra→b，Ra必然推出b，前提是a、b對稱，a、b是對稱關係，即要求R不為空。將對稱引入邏輯，就是將過程引入邏輯，對稱中的轉化過程R保證了a和b之間存在實質必然的聯繫，從而保證a必然推出b，b必然推出a。邏輯是什麼?邏輯無一不是在概念與對象、概念與概念之間建立起某種必然聯繫。亞里士多德三段論所建立的必然性是由普遍必然推出個別，而對稱邏輯所建立的必然性是由對稱的一方必然推出另一方，兩者都有必然性，所以都是邏輯，但彼此的邏輯基礎不一樣，前者要求前提與結論是包含關係，而後者要求是對稱關係。所以將對稱邏輯稱為實質蘊涵是不準確的。對稱邏輯是一種全新的邏輯，同時律是這種邏輯的基本規律。

同時律包含兩方面內容：對稱必定同時和同時必定對稱。其中，對稱必定同時，更多的是在強調一個思維過程；而同時必定對稱，更多的是在強調一個認知過程。下面我們從思維規律的角度來考察一下同時律，看看同時律與其他邏輯基本規律有哪些聯繫與區別，以加深我們對同時律的理解。形式邏輯的三大基本規律：同一律、矛盾律、排中律。其中同一律說的是「a是a，不能是其他」；矛盾律說的是「a和非a不能同真，必有一假」；排中律說的是「a與非a不能同假，必有一真」。不難發現a與非a是對稱的，對稱必定同時，於是可以認為矛盾律和排中律是以滿足同時律為前提的，同時律與矛盾律、排中律不在一個層次上，首先將它倆排除，剩下的只有同一律，因此我們主要將同時律與同一律對照來看：

第一，按照同一律的表述「a是a」，也有表示成「a＝a」，或者「a→a」的。同時律可以表述為「a同時非a」，a同時非a，說的不是a和非a同時為真或者為假，而是同時存在，在思維層面上，a和非a總是同時產生、變化和消亡，先不去考慮a和非a所表達的思想是真還是假，考慮真假那是具體現實層面的問題，是個實踐問題，而存不存在是個理論問題。人們往往在a與非a的真假性上糾纏不清，矛盾律和排中律就是在真假性上為恣意的思維所訂立的標準。而在a與非a的存在性上卻是一個視覺盲區，毫無疑問，概念或命題的存在性要先於其真假性。

第二，其實將同時律表述為「a同時非a」並不準確，準確表述應該是「a同時b（其中a又b）」，或者表示為「a冂b」。a與非a對稱（通常稱為對立），對稱操作為否定操作，否定操作的符號為「?」，有?（a）＝非a，且?（非a）＝a，即a與非a對稱。但「a同時b」意味著對稱操作是任意的，這裡的b包括了非a，「a同時非a」只是「a同時b」的一個特例。舉一個簡單例子可以說明：我們常說的好和壞，好、壞對稱沒有問題，但要說出好與壞的對稱操作是什麼卻很難，好的如何轉化成壞的，壞的如何轉化成好的，具體情況不同，轉化方式也會不同，於是不能一言以蔽之。而對好進行否定操作，對好的否定就是不好，不好和壞還不完全一樣吧。

第三，「a冂b」的意思是：Ra→b，Rb→a。它的一個極端情況是「a冂a」，即Ra→a，這時R為空集，可以省略，得到a→a，這是什麼?這不就是同一律嗎?!同一律是同時律的一個特例，只是在蘊涵邏輯的框架下a→a被理解為概念自身包含自身，而在對稱邏輯的框架下a→a則理解為概念自身與自身對稱。

第四，空間的特性是確定不移，而同一律強調的是思維的確定性，a就是a，不能是別的，否則就是違律。時間的特性是流變不居，而同時律強調的是思維的靈活性。a是a，沒錯，但不能老想著a、只想著a啊，這樣思維就會片面和僵化。還要想到b，想不到b想到非a也好，由a想到非a思維就動起來了。非a是對a的否定，a和非a我們都想到了，正反兩方面都考慮了，這樣看問題就是全面。肯定的同時有否定，否定的同時有肯定，思維就不會僵化。我們知道世界是運動變化的，不是僵死的，世界是如何運動變化起來的，不就是肯定的同時有否定，否定的同時有肯定嗎?所以可以說遵守同時律就是讓思維動起來與變動不居的世界保持一致。違背同一律會導致思維的不確定性，而違背同時律則會導致思維片面和僵化。再則，如果說同一律是同時律的特例，那麼是不是可以將空間理解為時間的一個特例，即停頓了的時間就是凝固了的空間，反之變動的空間就是流動的時間，時間和空間是可以相互轉化的。同一律和同時律也是可以相互轉化的，同一律運動起來就是同時律，同時律凝固起來就是同一律。

第五，分配律：若a冂b、c冂d，且a是c，則必有b是d。比如我們常說的矛盾律和排中律就可以用這條分配律來進行拆解：已知a冂非a、真冂假，若a是真，則必有非a是假（即所謂的排中律「a與非a不能同真，必有一假」）；若a是假，則必有非a真（即所謂的矛盾律「a與非a不能同假，必有一真」）。由此可知矛盾律和排中律只是對稱邏輯當中分配律的一個特例。分配律還有一個特例：若a冂a、b冂c，且a是b，則必有a是c。這就是我們常說的事物都有兩面性，同一個事物有好的一面就有壞的一面，同一個人有生就有死。

從概念上講，由對稱邁向同時律，只是向前邁了一小步，但這一小步有大用處，它確立了一種獨特的思維方式，這種思維方式稱為對稱思維，或者叫對稱邏輯。用對稱的思維方式去看待事物，所有東西都是以對稱的方式存在，都是符合同時律的。你比如對於任意一個單獨的對象a，遵循同時律，由a的存在我們必然可以推出非a的存在，由此斷言世界上沒有絕對孤立的存在者；對於任意一個概念或者範疇，遵循同時律，都有諸如有生則必然推出有死、有真則必然推出有假、有善則必然推出有惡、有陰則必然推出有陽、有抽象則必然推出有具體、有形式則必然推出有內容、有對立則必然推出有統一、有作用則必然推出有反作用、有對稱則必然推出有不對稱，等等。對稱思維是一種二元思維，但這種二元思維不能簡單地概括為「二元對立」思維，也不能稱為辯證思維或者辯證法，因為它們都只是對稱思維的一個特例而已。

掌握了同時律，並且具備對稱思維的眼光，再來看辯證法就覺得是小兒科了。

辯證法有三大基本規律：對立統一規律、質量互變規律和肯定否定規律。對立統一規律是辯證法的核心，所以首先討論對立統一規律，它的邏輯形式是a又﹁a→a冂﹁a，即對立必定同時。

對立統一規律當中，「對立」是指矛盾對立的雙方，即a和﹁a。「統一」有兩層含義：一是對立雙方相互依存，有你就有我，有我就有你，你的存在已經蘊含了我的存在，我的存在也已經蘊含了你的存在，用公式表達為：Ra→b，Rb→a（當然此前的理解R都是被忽略的），即a冂b；二是對立雙方相互轉化，你變成我，我變成你，其結果是你中有我，我中有你，用公式表達為：﹁(a)= ﹁a，﹁ (﹁a)=a，即a又﹁ a。合起來就是a又﹁a→a冂﹁a，即對立必定同時。

與同時律a又b→ a冂b，對稱必定同時，相比較而言，對立統一規律是同時律的一個特例，就像小學時我們學的代數公式：a(b＋c)＝ab＋ac，它可以有一個具體取值：1×(2＋3)＝1×2＋1×3。a與﹁a對稱，其對稱操作是否定操作，這是一個具體的取值，一種特定的轉化方式，儘管在人的思維活動當中它是最容易實現的一種方式，但紛繁複雜的世界不可能只遵循一種方式轉化，所以其解釋力必然是有限的。而a與b對稱，即Ra=b，Rb=a，其中的對稱操作R是一個集合，不確指某一具體的操作，可以是否定操作，也可以是其他任何可能的操作，儘管否定操作是最簡單、最常用的對稱操作，但兩者之間包含與被包含的關係不容混淆，對稱包含對立，對立包含不了對稱。比如說存在與不存在對立這沒有問題，但將存在與世界對稱、存在與存在者對稱說成存在與世界對立、存在與存在者對立就有點牽強了。

對立統一規律的立足點和出發點是對立，即矛盾，按理說它只能對矛盾關係和矛盾過程進行解釋，但實際情況是，對立統一規律是被用來解釋世間一切運動變化和發展過程的，在人們試圖這樣做的時候，必然會將矛盾、將對立拔高和泛化，突破自身（a與﹁a）的規定性，去解釋其他不是矛盾關係、不是對立關係的運動過程，小材大用，實際上對立是被當成對稱來使用的，這時將「對立統一規律」稱為「對稱同時規律」才是準確的。

對立統一規律名不堪實卻能成為辯證法的核心，是因為它強調領會精神而不是死摳字眼，並將質量互變規律、肯定否定規律作為對立統一規律的具體實例，還將辯證法中所包含的各種範疇：現象和本質、原因和結果、內容和形式、必然和偶然、可能和現實、內因和外因、整體和部分等等，統統按照對立統一的範式來理解和闡釋，於是讓人產生一種幻覺，好像整個世界就是這樣的。其實只要面壁想想就會發現，對立與統一、本質與現象、原因與結果、內容與形式、必然與偶然、可能與現實、內因與外因、整體與部分，哪一對範疇是簡單的矛盾關係（即a與﹁ a的關係），實質上都是對稱關係。所以，辯證法要發展，首先應該將它內在的邏輯形式揭示出來，然後抽象，並在一個更普遍的意義上重新理解和使用，它的唯一出路是將對立蛻變為對稱。

至此，關於對稱邏輯的論述告一段落，總起來說，文章是想確立一種對稱的思維方式，這種思維方式好比孫悟空的如意金箍棒，可大可小。可大，大到可以掃除眼前一切妖魔鬼怪，直至成為天地間的定海神針；可小，小到一種觀念，收於兩耳之間，藏於無形。心中存念這樣一件法寶，不為忽悠人，但為不被人忽悠。

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