不積跬步，無以至千里

上大學以後就很少寫作了，除了數不清的實驗報告、課程作業，似乎跟文藝和文字沒有一點的關係。那時候偶爾會逛逛水木，看看新聞八卦，也懶得去翻那些心靈雞湯，似乎自己與寫作越來越遠。那時候有些迷茫，有些失落，有些興奮和「原來是這樣」的淡定。

後來讀研究生的時候要讀英文文獻、寫英文文章，似乎與文字開的接觸開始多了起來。無奈英文太差，每次都是詞不達意，總感覺不能表達自己確切的意思。或許是辭彙量的關係，都不知道該怎麼表達自己的意思。剛到蘇黎世讀博士的時候，蹩腳的英語都沒辦法讓別人聽懂。還好經過兩三個月的耳濡目染，才勉強可以表明自己的意思。

這一晃大學畢業都快十年了。自己當年對「不積跬步，無以至千里」的理解早已忘記，然而對這句話的理解卻越來越深。任何事情都是一個逐漸深入的過程，逐漸從量變到質變的過程。跟數學中的微積分是完全一樣的：微分就是「跬步」，積分就是「千里」。具體到曲面上，面積元就是「跬步」，整個曲面就是「千里」。

我們做研究很多都是著眼於「千里」，而忽視了「跬步」。沒有對面積元進行深入的分析，就想研究整個曲面，很難得到一些有用的結論。基於面積元的圖像處理，見之前的文章 基於曲率的圖像處理，這個基於局部窗口的一點點變化，終於在整幅圖像上引起了曲率能量下降的質變。這也算是對「不積跬步，無以至千里」的一個印證吧！

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因為我對圖像、對幾何、對統計、對計算都有興趣，所以也可以把這一理念推廣到統計領域。如果一個人向前走一步再向後走一步，他可以到達千里之外嗎？肯定不可以。但是，如果讓他隨機地向前走一步或者向後走一步，他可以到達千里之外嗎？（為什麼這時候會想起費義清的歌聲？）這是典型的隨機遊走（random walk），他可以以一定的概率到達千里之外，甚至可以到達萬里之外。加入簡單的隨機性，卻讓結果發生的巨大的變化，這也是隨機性迷人的地方之一。這裡也說明，怎麼「積跬步」是「致千里」的關鍵因素之一。

那麼這句話對於計算有什麼意義呢？誤差，計算機中的數值誤差。這個誤差在多次計算中是被累加的，甚至會導致災難性的後果。舉個例子，，那麼當我們把三個0.33333f加起來的時候，它等於0.99999f。假如我們程序中有多次這樣的運算，誤差可能被積累（太不幸了）或者相互抵消（幸運）。基於這樣的原因，我們在設計演算法的時候，要儘可能的利用計算機中的離散型來減小數值誤差。比如，前文的 如何計算圖像的曲率？就是利用局部平均來減少誤差。這就像是我們初中物理學的如何測量一張紙的厚度，我們拿兩百張紙，測完厚度以後除以兩百，就得到一張紙的厚度估計。原理是一模一樣的。如何計算圖像的曲率？一文說在兩個方向上計算平均曲率不太準確，可以在所有方向上求平均曲率，然後再平均。這樣就更準確了。這也是一個積跬步致千里的例子。

在微分幾何裡面的幾何流中，很多短時效應被研究的很多（「跬步」），也最終會跟長時效應連接起來（「千里」）。甚至於怎麼離散化微分方程的時間步長也就是「跬步」的過程。學過數值分析的人都知道，不同的差分公式導致的結果偏移是不一樣的。這也跟最終結果的不確定性有關係。也就是說，雖然最終到達的地方也在千里之外，但不是目的地，就好像從西安出發去北京，最後卻到了天津。這種不確定性在數值化過程中非常常見，也就是怎麼「積跬步」的過程。

「積跬步」和「致千里」的關係也是局部和整體的關係。在幾何中，對於局部和整體關係描述的巧妙定理是高斯伯納特定理：曲面上的高斯曲率的積分只跟它的拓撲結構有關。這個定理初看起來違反直覺，但確實是數學上成立的。也就是說，積累特定的「跬步」跟能不能「致千里」沒有任何關係。這也是在研究一個問題的時候需要特別注意的。不要對一個問題投入了一百二十分的精力， 最後才發現最終想要的結果跟「跬步」沒有任何關係。

或許，每一個人都在向著自己的目標奮然前行。但願每一個人都可以實現自己的價值，為這個社會帶來些許福利。最後，再次以荀子的名言共勉。

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