矩陣論筆記（2）
二 線型變換的具體表象：矩陣表示
線型變換與矩陣集合同構:1 元素一一對應 2 運算保持一致性
現在給每個向量一個具體坐標，那麼 的線性變換的坐標表示是：
這就是咱們熟悉的由來！！
三 同一個線性變換在不同基下的矩陣表示的關係——相似
性質：
- 自反，對稱，傳遞，
四 特徵值和特徵向量(大坑)
待續（9/27 22：24）
------------------
接力：10/16 15：40
上面這個定理看著牛逼哄哄，嘗試用中文讀一下：
矩陣A的特徵多項式的矩陣形式的值為零矩陣，也就是特徵多項式的根是矩陣A；
但是以矩陣A為根的多項式是有很多的，哪一個比較值得研究呢？
- 答案是最小多項式：首項係數為1，次數最少那個。用
表示，唯一。
- 那這個最小多項式跟特徵多項式有什麼關係呢？答案是是特徵多項式的一個因式。
這兩點在書本P55有證明：
一個小應用：
-------------------------------
對角矩陣：
我竟然吧三角矩陣跟對角矩陣混在一起了！！搞得幾個知識點看著我直蛋疼！！
記住：所有的方陣都相似與三角矩陣，但是對角矩陣是有其他條件的：需要n個線型無關的特徵向量！！
為什麼呢？
大概就這麼想，嚴謹性不管了。
---------------
特徵子空間：
答案是：對角矩陣的對角元素就是特徵值啊，所以一個矩陣的一組特徵值對應的就是最簡易的那個表達形式；就好比e1,e2,e3,...en n個單位向量是n維空間空間最簡易的表達一樣。
下面這個概念和特徵值一樣重要——不變子空間。
-------------------
五 不變子空間——找到線型變化的最簡化的矩陣表達
難點來了：（先記下來）
六 Jordan 標準型（PPt課件的P32-33)
前面說了，不是所有的矩陣都與對角矩陣相似，所以就有了這個更廣義的標準型。
--------
不變因子和初等因子：
也可以用另一種方法：
----------------
Jordan 標準型：
怎麼求P和J不研究了，反正有現成的演算法直接算，就不扣細節了。（其實是因為很難，很煩^_^）
推薦閱讀：
TAG:矩陣 |