電磁學要義（1）

05-03

前言

這裡的電磁學是廣義的，不僅是傳統上中國物理本科教育的普通物理的電磁學，也涵蓋高年級本科生所學習的電動力學。這次的電動力學跟分析力學一樣也分為兩個部分，一部分是電磁場的基本理論，另外一部分主要是涉及電磁波的傳播與輻射等內容。先介紹幾本涉及電磁學的書：

趙凱華-《電磁學》，普通物理里講的算是很好的了。
朗道-《場論》，一開始就從相對論講起，很現代的講法，畢竟題為場論。
格里菲斯-《電動力學導論》，學生友好型的書。

其實寫這些要義，一個現實的目的，也是很個人的目的，是把作者本科時學到的一些課程重點內容作一下簡要複習。不在乎一些細枝末節，不求完備。盡量簡練，突出重點，但是會稍微提到一些作者很感興趣或者認為很重要的一些細節。其實物理學的發展，突破口往往是一些細節問題。比如說在電磁學中我們總是認為電場，磁場都是最基本的物理量，而電勢，磁勢是由電場磁場推導出來，但A-B效應的發現卻動搖了這一認識。在磁場強度為0的地方還可能會有磁通量的改變，還會產生實驗上可觀測的效應。但是作為一個簡述的內容，我只選擇經典電動力學的範圍，這些內容也是基礎中的基礎。

本篇分為三個部分：

電磁場的基本定律；
電磁場的能量守恆；
電磁場的動量守恆。

1.電磁場的基本定律

在這裡我們採用微分定律來推導靜磁場與靜電場的基本規律，因為微分定律比積分定律更基本一點。電磁學裡的基本定律都是實驗定律，然後進行數學形式化表述可以推廣這些基本的實驗定律。

我們在高中都學過庫侖定律，並且這條定律可以應用於多個電荷之間的相互作用，因此也同樣滿足疊加定律，疊加定律不是邏輯上的必然，而是實驗上的結果。因此對於一個宏觀的連續帶電物體，它對於整個空間的電場強度可以寫成

$vec E=frac{1}{4piepsilon_0}int frac{ ho(r)vec r}{r^3}d^3r$

是一個矢量場，如何完全確定一個矢量場？當一個矢量場在無窮遠處的值為0的時候（邊界條件），矢量場就由它的旋度和散度確定，於是我們想要了解靜電場和靜磁場，就只需要求得他們的旋度和散度即可。我們令 $vec r=vec r_1-vec r$ ，於是有

$abla cdotvec E=frac{1}{4piepsilon_0}int ho(r) ablacdotfrac{vec r}{r^3}d^3 r=frac{1}{4piepsilon_0}int ho(r)4pidelta(r_1-r)d^3r=frac{ ho(r_1)}{epsilon_0}$

$abla imesvec E=frac{1}{4piepsilon_0}int ho(r) abla imesfrac{vec r}{r^3}d^3 r=frac{1}{4piepsilon_0}int ho(r) abla imes ablafrac{1}{r}d^3r=0$

對於靜電場，我們有畢奧-薩伐爾定律，再加上疊加原理，於是就有

$vec B=frac{mu_0}{4pi}intfrac{vec J(r) imes vec r}{r^3}d^3r$

像上面的一樣進行散度運算

$ablacdotvec B=frac{mu_0}{4pi}int ablacdot(vec J(r) imes ablafrac{1}{r})d^3r=0+frac{mu_0}{4pi}int abla imes ablafrac{1}{r}d^3r=0$ $abla imesvec B=frac{mu_0}{4pi}int abla imes( abla imes frac{vec J(vec r)}{mid vec r_1-vec rmid})dv$ $quadquad=-frac{mu_0}{4pi} abla int vec J(vec r)cdot ablafrac{1}{mid vec r_1-vec rmid}dv+mu_0intvec J(vec r)delta(vec r_1-vec r)dv=mu_0J$

我們可以直接對磁場求旋度運算，j就像我們這裡做的那樣，但是這樣做矢量運算倒是有些複雜，（我記了好幾遍總是忘記），失去簡單推導的美感。物理學是簡單的，當然不僅僅是邏輯上，推導公式也是。個人是比較反感把推導物理公式寫的很複雜。因此上面的推導均可以採用一種先寫出積分形式，再轉換成微分形式的方法，這樣做更便於理解。上面就不刪除了，留作參考吧。

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對於點電荷的庫侖公式，我們可以直接取一個封閉的任意高斯面，包圍住這個點電荷，可以定義通過這個面的電通量，因此就有

$oint_svec Ecdot dvec s=frac{1}{4piepsilon_0}oint_sfrac{qvec r}{r^3}cdot dvec s=frac{1}{4piepsilon_0}oint_sfrac{qcos heta ds}{r^2}=frac{1}{4piepsilon_0}oint_sqdOmega=frac{q}{epsilon_0}$

當然，對於任意帶電體，都滿足這個方程。只是改變了電量。

再比如一個點電荷在電場中運動一個閉合的路徑，電場強度對路徑積分，因為，

$oint_lvec Ecdot dvec l=frac{1}{4piepsilon_0}oint_sfrac{qvec r}{r^3}cdot dvec l=frac{1}{4piepsilon_0}oint_lfrac{q }{r^2}cos heta dl=frac{1}{4piepsilon_0}oint_lfrac{q }{r^2}dr=0$

這就是靜電學裡所有的規律了，對於靜磁場，我們假設一根長直導線，它周圍的空間會產生無源無匯的磁場，因此任取一個曲面，進去多少磁場線就出來多少，有

$oint_svec Bcdot dvec s=oint Bcos heta ds=0$

同樣的，我們假設一根導線周圍任取一條閉合曲線，就有

$oint_lvec Bcdot dvec l=frac{mu_0I}{4pi}oint_l abla Omegacdot dvec l=mu_0I$

下面總結一下這四個方程：

$egin{cases}oint_svec Ecdot dvec s=frac{q}{epsilon_0}\oint_lvec Ecdot dvec l=0\oint_svec Bcdot dvec s=0\oint _lvec Bcdot dvec l=mu_0Iend{cases}$

下面寫成微分形式，利用兩個矢量場論的著名定理，高斯定理和斯托克斯定理，可以直接寫為這樣

$egin{cases} ablacdot E= ho/epsilon_0\ abla imes E=0\ abla cdot B=0\ abla imes B=mu_0Jend{cases}$

1931年，法拉第發現了電磁感應現象，這件事震驚了世界。法拉第的電磁感應定律可以寫為

$oint _lvec Ecdot dvec l=-int_sfrac{d}{dt}(vec Bcdot dvec s)$

利用斯托克斯定理，可直接寫為

$abla cdot E=-frac{partial B}{partial t}$

於是電磁學基本公式可寫為

$egin{cases} ablacdot E= ho/epsilon_0\ abla imes E=-frac{partial B}{partial t}\ abla cdot B=0\ abla imes B=mu_0J quad (*)end{cases}$

不知道你發現了沒有，第四個方程有問題！！當然，這是麥克斯韋發現的，既然變化的磁場能夠產生變化的電場，那麼變化的電場就一定能夠產生磁場！我們也可以對（*）式求散度，左邊等於0，右邊卻不等於0。電荷不守恆了！於是，麥克斯韋，把（*）式右端加上了一個添加項 $mu_0epsilon_0frac{partial E}{partial t}$ ，這項就叫做麥克斯韋添加項，於是電荷就守恆了！變化的電場產生了磁場！因此，方程變為

$egin{cases} ablacdot E= ho/epsilon_0\ abla imes E=-frac{partial B}{partial t}\ abla cdot B=0\ abla imes B=mu_0J +mu_0epsilon_0frac{partial E}{partial t}end{cases}$

這組方程就被命名為麥克斯韋方程組，把上述方程，稍作運算就可以得到波動方程，麥克斯韋計算出電磁場的傳播速度跟光速是一樣的，於是他預言光也是一種電磁波！後來很多年後赫茲做了大量的實驗，包括電磁波的干涉，衍射，偏振等實驗，才證實了麥克斯韋的理論。

這時要提一下愛因斯坦，在愛因斯坦還是個大學生（1894-1900）的時候，就為麥克斯韋方程組而著迷，當然他的大學不開這樣的課。因為麥克斯韋的工作，在1880年代被赫茲證明以後，才被人所知。當時的麥克斯韋方程組是很高等的知識。麥克斯韋的電磁理論對愛因斯坦影響非常大，這不僅僅表現在他創立狹義相對論時是為了解決麥克斯韋方程與伽利略變換不協調，更表現在他堅持場是比粒子更基本的概念。尤其是創立廣義相對論後，就像麥克斯韋預言電磁波的存在一樣，引力是如何傳播的？他預言了引力波的存在。而經過整整一百年以後，就在今年的2月11號，LIGO首次直接證實引力波的存在。

其實要想真正地理解電磁場理論，必須要學習狹義相對論！因為，狹義相對論更深層次揭示電場與磁場的關係！而我們往往對於狹義相對論的印象就停留在改變了我們的時空觀，這是對的，但是狹義相對論，不能只看做一個時空理論，也應該看做是電動力學理論的一部分！我會在電磁學簡義寫完之後，寫狹義相對論。到時再做更詳細地說明！

2.電磁場的能量守恆

我們要引入兩個場量來描述電磁場的能量：

能量密度 $w$
能流密度 $S$

場對電荷所做的功率與流出一定體積內的場的能量之和等於場內能量的減少量：

$int_v fcdot vdV+oint_s Scdot d s=-int _vfrac{d}{dt}wdVquad(1)$

寫出微分形式，就有

$fcdot v+ ablacdot S=-frac{dw}{dt}$

利用洛倫茲力公式 $f= ho(E+v imes B)$ ，可將上式第一項改寫為

$fcdot v=Ecdot J$

電流密度J由麥克斯韋方程組可得，再可以運用矢量運算得到

$Jcdot E=- abla(E imes B/mu_0)$ $Ecdot B=-frac{1}{mu_0}( ablacdot (E imes B))-epsilon_0Ecdot frac{partial E}{partial t}-frac{B}{mu_0}cdot frac{partial B}{partial t}$

所以能流密度為

$S=frac{1}{mu_0}E imes B$

能量密度為

$w=frac{1}{2}(epsilon_0E^2+frac{1}{mu_0}B^2)$

3.電磁場的動量守恆

我們要引入兩個量來描述電磁場的動量：

動量密度 $g$
動量流密度 $T$

我們可以仿照（1）式，寫為

$f+ ablacdot T=-frac{d}{dt}g$

同樣的，我們根據洛倫茲公式和麥克斯韋方程組，就可以把動量密度 $g$ 與動量流密度 $T$ 確定下來。我們觀察這個式子，發現一個問題， $ablacdot T$ ，如果T是個矢量，那麼求散度以後，應該為標量，但是上式是一個矢量式，因此，對動量流密度求散度就一定為一個矢量，所以，動量流密度絕對不是一個矢量（一階張量），而是一個更高階的張量。

首先根據洛倫茲公式和麥克斯韋方程組，有

$f=(epsilon_0 ablacdot E)E+(frac{1}{mu_0} abla imes B-epsilon_0frac{partial E}{partial t}) imes B=(epsilon_0 ablacdot E)E+frac{1}{mu_0} abla imes B imes B-epsilon_0frac{partial }{partial t}(E imes B)-epsilon_0E imes ( abla imes E)$

觀察這個式子，與上式做對比，動量密度公式為

$g=epsilon_0E imes B$

為了把等式右邊前面一項寫為散度形式，先把E和B寫成對稱形式

$(epsilon_0 ablacdot E)E+frac{1}{mu_0} abla imes B imes B+epsilon_0( abla imes E) imes E+frac{1}{mu_0}( ablacdot B)B$

對於電場，我們有

$(epsilon_0 ablacdot E)E++epsilon_0( abla imes E) imes E=(epsilon_0 ablacdot E)E+(Ecdot abla)epsilon_0E-frac{1}{2} abla^2E$ $= ablacdot((EE)-(1/2)IE^2)$

這裡的 $I$ 為單位張量，同理把上式的E替換為B，於是就可得到，我們化簡之後的式子

$f=- ablacdot T-frac{d}{dt}g$

這裡的T為

$T=-epsilon_0EE-frac{1}{mu_0}BB+frac{1}{2}I(epsilon_0E^2+frac{1}{mu_0}B^2)$

被稱為動量流密度張量，也被稱為電磁場應力張量。

最後把本篇所寫的四個重要的方程組強調一下：

$egin{cases} ablacdot E= ho/epsilon_0\ abla imes E=-frac{partial B}{partial t}\ abla cdot B=0\ abla imes B=mu_0J +mu_0epsilon_0frac{partial E}{partial t}end{cases}$

$F=q(E+v imes B)$

$fcdot v+ ablacdot S=-frac{dw}{dt}$

$f+ ablacdot T=-frac{d}{dt}g$
推薦閱讀：

※磁場中閉合電流的合力
※比奧薩伐爾定律
※一道量子力學的習題
※物理學筆記：電動力學

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