拓撲學Ⅱ|筆記整理（5）——部分習題答案解析(1)

同學們好啊！

其實就是覺得每一篇文章都是同樣的開頭顯得太俗了，雖然這個也高雅不到哪裡去。

這一篇習題總結的內容主要是《基礎拓撲學講義》的前兩章（沒有連通性）習題的一部分解答，由Prof上課所講授的部分整理所得。

提供之前的筆記：

我們開始本節的內容。本節為複習章節。

首先是一些基本的開閉集的題目。

Exercise 1:

設 為拓撲空間 的子集， 是開集，證明 。

思路很直接，取 ，那麼現在要證明 ，那根據閉集的定義可知，只需要證明它的任意一個開鄰域與這個集合交集非空。如果設 為 的開鄰域，那麼只要證明 。

現在應該怎麼辦呢？轉換一下，別忘了 ，所以它的任意一個開鄰域與 交集都非空。再看看 是不是開集？所以自然結論就證完了。

Exercise 2:

設 是拓撲空間， ，記 分別為 在 中的閉包和內部，證明

(1)

(2)

(3)如果 是 的開集，那麼

我們分別證明這三個結論。

對於第一個，我們從兩個方向考慮，首先如果 ，那麼顯然 ，下面只需要證明 。也就是說，對於 在 中的開鄰域 ，只需要證 。

注意到 ，而 同時也是 中的 的開鄰域，所以 ，所以自然可以得到上面的結論。

如果 ，那麼取 在 中的開鄰域 （ 為開集），那就只需要證明 。同樣因為 ，所以 ，結合 即可得結論。

對於第二個，注意到等式 ，所以我們可以得到 （在 內使用， 視作一個子空間拓撲，那就相當於說 在 的內部相當於 在 中的補集的閉包的補集）。化簡一下可得 。

對於第三個，也是考慮兩個方向。首先，如果 ，那麼就存在一個 中的 的開鄰域 使得 ，那麼因為 是開集，所以 就是需要的開鄰域，這樣就得到了 ，這是一個 在 中的開鄰域。所以這樣就可以得到 。

反過來，如果 ，那就可以得到一個 中的 的開鄰域 ，這當然就說明了 （因為它也是 的開鄰域）。

Exercise 3:

設 ，證明在 中有

(1) 。

(2)

這也是一個定義題，但是因為是在多維的角度討論，所以細節會稍有不同。

對於第一個題，首先注意到， ，那麼自然有 ，並且注意到右端又是一個閉集，所以容易得到 （這是因為閉包是最小的閉集）。

反過來，設 ，並且取 為其鄰域，那就說明存在 中的開集 使得 。現在要注意到，對於各自的維而言，由於這個點每一個分量都在對應集合的閉包內，所以這就意味著 是非空的。根據 的任意性即可得到結論。

對於第二個題，同樣的思路可得 ，對於另一個方向，設 ，那麼就存在開鄰域使得 ，這樣的話對應過來就是 ，那麼自然就可以得到 ，就證明了結論。

接下來是連續函數的習題。

Exercise 4:

設 是映射，證明下麵條件互相等價:

(1) 連續。

(2)對 的任何子集 ， 。

(3)對 的任何子集 ， 。

還是要證明三個命題。

：注意到 為 中的閉集，所以根據 是連續映射可以得到 為 的閉集，之後，注意到 ，所以集合取閉集之後，這個關係依然是成立的，也就是說 ，那麼自然就可以得到 。

：反過來考慮，要證明這個包含關係，只需要證明 。注意到 （就和上面一樣），所以只需要證明 ，這就是 的內容。

：取 中的任意一個閉集 ，只需要證明 也是一個閉集即可。那麼根據條件， ，所以閉集是它自己的子集，所以自然它是個閉集，就證明了結論。

Exercise 5:

設 是 的子集， 是包含映射， 為一任意給定的映射，證明 連續 連續。

一方面，如果 連續，那麼因為複合映射的每個部分連續，所以複合之後的 自然連續。另一方面，如果 連續，取 的一個開集 ，現在要考慮 。

注意到， 是包含映射，是一個連續映射，那麼對於 的一個開集 ， 。注意到 自己被賦予了一個子空間拓撲，也就是說存在這樣的 使得 。所以這樣的話， 自然也是一個開集，就證明了結論。

這裡要注意到的是這個題本身也是一個很好的性質，在證明連續映射的過程中，要注意開集的相對性。同時還要注意的是映射的逆映射的集合表示。

Exercise 6:

設 為連續映射，規定 為 ，證明 為嵌入映射。

首先要注意到，這個映射顯然是一個單射，然後連續性也已經提供，所以就差驗證 是一個同胚了。要驗證同胚需要做三件事：一一映射，連續，逆映射連續。

顯然這個映射是一個一一映射，而注意到之前的結論可以得到 連續（拆成兩個分量，那麼其中一個分量是恆等映射，是連續的。另外一個分量題目中已經給定連續）。而根據上一個例題可得 連續。而其逆映射 是原映射 （投射）的一個限制，這個映射本身是連續的，所以自然可以得到 連續，就證明了結論。

下面是一些與拓撲公理相關的習題。

Exercise 7:

設 滿足T1公理，證明 中任一子集的導集是閉集。

要證明一個集合是閉集，有一種方法是證明它的聚點都包含在這個集合本身。所以設 ，那麼根據聚點的定義，就可以知道，對於它的任一鄰域 ，都有 。現在如果要證明它是閉集，那麼只需要證明 。

取 ，那麼 也是聚點，再取一個 的開鄰域 ，並且要求 。這樣的話，根據 也是 的鄰域，可以得到 。接下來，注意到 （這是因為 ），所以自然可以得到 ，這就證明了結論。

這個題還有一個方法是，考慮 ，我們證明 。根據 可以得到存在一個開鄰域 ，使得 ，現在只需要證明 。

假設它非空，那麼取 ，可以得到 ，而且可以取一個 的開鄰域 ，滿足 ，並且 （想想為什麼）。那麼這樣就有 ，所以 ，這就矛盾了。

Exercise 8:

設 是Hausdorff空間， 連續，那麼 的不動點集 為 的閉子集。

事實上，我們可以考慮證明 是一個開集，這樣的話就可以得到兩個不相同的點 ，那就存在不相交的開鄰域 。使得 ，取 ，那麼這樣的話 就是 的開鄰域，並且任意點 ， （因為 ，而 不相交），所以 ，這就證明了結論。

Exercise 9:

設 的對角子集 ，證它為 的閉集時， 是Hausdorff空間。

和上面那個題類似的思路，考慮 是 的兩個不同的點，那麼 是開集。那麼就存在 的開集 使得 。那麼自然可以得到 中 分量的每一個點與 分量中的每一個點都不同，這就得到了 。這已經足夠得到結論了。

Exercise 10:

設 滿足T3公理， 為 的閉子集， ，證明存在 與 的開鄰域 滿足 。

這也是一個很好的使用拓撲公理等價條件的題目。

根據T3公理的內容可以得到，存在 分別為 的不相交開鄰域，那麼 。同樣的，根據T3公理的等價條件可知，存在 的一個開鄰域 使得 ，這就是我們要找的 。

Exercise 11:

證明：若 是C1空間，並且它的序列最多收斂到一個點，則 是Hausdorff空間。

這個命題顯然需要考慮C1空間中最經典的一個推論。

假設存在兩個點 使得它們沒有不相交的鄰域，那麼取它們倆的可數鄰域基 ，那麼根據推論，可以讓它滿足 。並且 。現在只需要取 ，那麼這個序列收斂到 ，就矛盾了。

下面是緊緻性，列緊性的一系列習題。

Exercise 12:

證明緊緻空間的無窮子集必有聚點。

這就相當於證明，對於任意的 ，只要 ，就有 。那麼如果 ，就說明對於任意的 ， 都不是 的聚點，也就是存在 的開鄰域 ，使得 ，也就是說 。那麼因為 是 的開覆蓋，所以根據 緊，所以存在 ，使得 。所以這樣的話可以得到 ，這就與它是一個無限集矛盾了。

Exercise 13:

設 滿足T3公理， 是 的緊緻子集， 是 的鄰域。則存在 的鄰域 ，使得

注意到，對於任意的 ，使用T3公理的等價條件可知，對於 ，存在 開鄰域 ，使得 。這樣的話， 為 的開覆蓋，由 為緊緻的可知，存在 ，使得 ，令 ，那麼 是開集， 。並且 ，就證明了結論。

Exercise 14:

設 是緊緻集，證明投射 是一個閉映射。

要證明一個映射是閉映射，取 是 的一個閉子集，那麼就需要證明 是 的閉集。也就是說 是開集。取 ，要考慮使用 是閉集的條件，那麼考慮 ，那麼因為 是閉集， 是開集，那麼可知存在開集 使得 。那自然可以得到 。

Exercise 15:

設 滿足T3公理，證明 中緊緻子集的閉包緊緻。

設 緊緻，並且假設 的一個開覆蓋為 ，那麼它也是 的一個開覆蓋，所以有有限子覆蓋 。並且 ，注意到 是 的一個鄰域，根據Exercise 13，可知 ，這就足夠證明結論了。

Exercise 16:

設 是閉映射，並且 ， 為 的緊緻子集，那麼對於 的任一緊緻子集 ， 緊緻。

首先，設 ，那麼 就存在有限子覆蓋。設它們為開覆蓋，記它們的並集為 ，那麼 為開集，那麼這樣的話，根據閉映射，可得 是開集，而且也是 的開鄰域，且 。這樣的話因為 是 的開覆蓋，所以有有限子覆蓋，設為 ，那麼 ，這就證明了結論。

這個構造還是有點難想的，閉映射是一個很好的引導思考的路徑。

小結

這一節筆記的主要的功能是為了自己準備期中考試（因為我們期中考試沒有涉及連通性，所以這裡暫時不提供連通性部分的習題了）。所以從follow的書中摘了一些有趣的習題。當然了，裡面並不是所有的證明都是答案的思路。所以也不完全算是「摘抄」，對吧？

抱歉讓大家久等，在我期中考試結束後（5月11日全部結束）我會繼續努力跟進筆記的進度，謝謝大家的理解！

——————————————————廣告——————————————————

本專欄為我的個人專欄，也是我學習筆記的主要生產地。任何筆記都具有著作權，不可隨意轉載和剽竊。

專欄目錄：筆記專欄|目錄

想要更多方面的知識分享嗎？歡迎關注專欄：一個大學生的日常筆記。我鼓勵和我相似的同志們投稿於此，增加專欄的多元性，讓更多相似的求知者受益~

推薦閱讀：