中國古代數學著作（一）

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算數書

中國現已發現的流傳至今的最古的數學著作。這是1984年出土於湖北省江陵縣荊州城西門外張家山M247號西漢早期古墓的一部竹簡書，無卷數，不知撰人。全書竹簡約200枚，其中整簡180餘枚，其餘已殘斷。全部文字約7000字，字體為隸書，一般用墨筆寫在竹黃一面，每枚竹簡的字數多少不定。《算數書》不分章節，全書由60多個小標題和80多個問題組成，其小標題可分為兩類：一類是演算法，一類是算題。演算法的小標題如「相乘」、「合分」、「矰(增)減」、「分乘」、「徑(經)分」、「約分」等；算題的小標題有「石衡」、「少廣」、「出金」、「銅耗」、「方田」、「賈鹽」、「稅田」、「息錢」、「負炭」、「程禾」、「金賈(價)」等。在算題這類小標題之下，列有結合當時生產實踐的應用問題，每一應用問題都是由「問」、「答」、「術」三部分組成。經過專家考證，認為《算數書》的成書年代不晚於公元前186年。

算經十書

唐代立於官學的數學教科書。初唐國子監的明算科以12部算經為教科書，它們是《周髀算經》、《九章算術》、《海島算經》、《孫子算經》、《張丘建算經》、《五曹算經》、《五經算術》、《夏侯陽算經》、《綴術》、《緝古算經》、《三等數》、《數術記遺》。貞觀年間，李淳風奉召選擇、注釋並校訂10部算經作為明算科的教科書(上列12部中除去《三等數》與《數術記遺》)。北宋元豐七年(1084)秘書省刊刻算經時，《綴術》已失傳，原李淳風選定的十部算經實際只刊了九部。南宋嘉定元年(1213)鮑瀚之翻刻北宋時刻的九部算經時，又將在杭州發現的《數術記遺》刻入，共成十部算經，現在傳本《算經十書》即為南宋鮑刻本的十部算經，它們成為中算普及和研究的母本。清乾隆年間，戴震作為《四庫全書》的纂修官，輯錄、校勘了《算經十書》，作為底本收入《四庫全書》中；他的兒女親家曲阜孔繼涵又刻有微波榭本《算經十書》。民國年間，商務印書館出版了《萬有文庫》本《算經十書》,1963中華書局出版了當代中算史家錢寶琮校點的《算經十書》。

周髀算經

中國最早的天文學、算學著作，二卷，不知撰人，約成書於公元前100年。原稱《周髀》，唐代將其立於學官時始用今名。全書7000餘字，其有關天文學方面的內容，主要是闡述蓋天說和四分曆法，璇璣四游的文字證實當時已觀察到北極的位移，即看到了歲差現象，其數學方面的內容涉及到分數乘除法、等差數列和圓周長求法次內插法的應用、對任意正數的開平方法、用分數表示奇零小數、最早引用勾股定理等。三國趙爽、北周甄鸞和唐李淳風都曾為該書作注，李淳風注始正原文求日高演算法之粗疏，糾趙爽注日景新術之未當，改甄鸞釋文之謬誤，清代鄒伯奇《周髀算經考證》、顧觀光《周髀算經校勘記》為前人研究該書的精審之作。《周髀算經》最古刻本為北宋元豐七年刊本，現存最早的是南宋本及明萬曆趙琦美校刻本。此外還有《學津討源》本、《秘冊匯函》本、《津逮秘書》本、微波榭本及《四部叢刊》本、《四部備要》本等。

九章算術

《算經十書》之一，共九卷，作者不詳，約成書於西漢中期。全書共有246個應用問題，分別隸屬於九章。各章的名稱和主要內容如下：

方田。與田畝丈量有關的面積、分數問題。
粟米，以穀物交換為例的各類比例問題。
衰分。按比例分配和等差數列問題。
少廣，由田畝計算引出的分數、開方問題。
商功。與土木工程有關的體積問題。
均輸，與攤派勞役和稅收有關的加權比例問。
盈不足，由二次假設求解二元問題的一類殊問題。
方程。線性方程組問題。
勾股。勾股定理及其應用。

《九章算術》在整數論、分數論、比例演算法、開平方和開立方、面積和體積、盈不足演算法、線性方程組解法、正負數概念及加減運演算法則、勾股定理的應用等方面都取得了當時世界領先的成就，對中國古代數學的發展產生了決定性的影響，《九章算術》成書後，中國的數學家們大都以該書為學習、研究數學的重要著作，見諸史籍者就有東漢的馬續、鄭玄、劉洪、徐岳；三國的闞澤、陳幟、劉徽；南北朝的祖沖之父子；唐代的李淳風、李籍；北宋的賈憲，南宋的楊輝；清代的戴震、李潢等人。其中許多人為之作注，以劉徽的注釋質量最高，影響最大，他以注釋的形式完善了中國古代數學的理論體系。後來李淳風整理《算經十書》時，就是以劉徽的《九章算術》注釋本為底本的。現在傳世的《九章算術》由本文、劉徽注和李淳風注三部分組成。賈憲、楊輝、秦九韶、吳敬、程大位等人則按《九章算術》的模式從事著述。《九章算術》的體例、方法以及術語，成為近兩千年中中國古代數學家所尊奉的規範，中國古代數學中的絕大多數成果都可以在《九章算術》中找到源頭。該著作有十幾個不同的版本傳世，其中最有價值的是南宋鮑漸之刻本，現僅存前五章，藏上海圖書館，為海內外孤本1774年，戴震從明代《永樂大典》中輯錄出完整的《九章算術》，從此有了更多的版本，影響比較大的有《四庫全書》本、武英殿聚珍版本、微波榭本以及李潢的《九章算術細草圖說》。

海島算經

中國古代測量術的代表作。一卷，魏劉徽撰。原名《重差》，附於《九章算術》之後。唐李淳風在編輯《算經十書》時將其獨立出來作為《算經十書》之一，因其首題是關於測量海島高遠的問題，故有此名。傳本《海島算經》共有9題，體例與《九章算術》相同，每題均由「問」、「答」「術」三部分組成第1題測海島用重表法，第3題量方邑用連索法，第4題測深谷用累矩法，這是劉徽重差術的三個基本方法。重差即用矩尺在不同點測望物體，利用表間差距和所測景長之差推算所測物體高深遠近的一種測量方法.9題中「兩望」3題(第1、3、4題)、「三望」4題(第2、5、6、8題)、「四望」2題(第7、9題)。該書被收入《永樂大典》和《四庫全書》，唐李淳風奉敕為之作注，清李潢撰《海島算經細草圖說》一卷，清沈欽裴撰《重差圖說》一卷。《海島算經》有北宋秘書省刻本和南宋鮑之刻本、武英殿聚珍版本、微波榭本等。

孫子算經

約編纂於公元4、5世紀的一部普及性數學著作。三卷，作者不詳。卷上敘述度量衡制度，籌算記數的縱橫相間制與籌算乘除法則；卷中為籌算的分數演算法與開方法，並有一些簡單的面積、體積計算及衰分、盈等28個問題；卷下為切於民生日用的實際應用題，涉及到測望、田域、營建、貿易、倉窖、賦役、軍旅等方面共計30題。卷下「婦人盪杯」、「雉兔同籠」以其獨特的解法廣為人知，最為著名的是卷下第26題「物不知數」(又稱「孫子問題」)，其解法為宋時秦九韶推廣為「大衍求術」(一次同餘式組的系統解法)而著稱於世，該書版本有南宋鮑灤之刻本、《四庫全書》本、武英殿聚珍版本、微波榭本、《知不足齋叢書》本等。

張丘建算經

《九章算術》之後的一部有突出成就的數學著作。三卷，張丘建撰。成書年代在公元466-485年之間(另有說法，認為更早)。該書現在傳本缺卷中最後若干頁、卷下前二頁，現存完整算題90問，涉及測量、紡織、交換、納稅、土木工程等方面。該書卷上第10、11題講最大公約數與最小公倍數的計算；卷上第18、22、23、32題，卷中第1題，卷下第24題研究等差數列，給出了幾個通項公式、求和公式；卷中還有數問類似於《九章算術》盈不足章的問題。卷下最後一題是聞名於世的「百雞問題」，屬不定方程，書中給出三組正整數解，全書體例與《九章算術》相似。該書版本有南宋鮑海之刻本、《四庫全書》本、微波榭本、《知不足齋叢書》本、《古今算學叢書》本、《萬有文庫》本等。

綴術

中國唐初立於官學的《算經十書》之一。作者是祖沖之、祖暅父子。因為該書在宋代以後失傳，它的內容和成書過程已不可知只能通過史書及有關文獻加以推測。《南齊書》祖沖之傳和《南史》文學傳都說：祖沖之「注九章，造綴述數十篇」。唐初王孝通《緝古算術·表》說：「祖眶之《綴術》，時人稱之精妙……」《隋書·律曆志》則說：祖沖之「所著之書名為綴術，學官莫能究其深奧」依此推之，可能的情況是：祖沖之在注《九章算術》時，將研究心得寫成數十篇數學短論，附綴於劉徽注文之後，稱為「綴述」，其中包括他對圓周率的研究成果——盈蕪二數和密率等。祖沖之死後，其子祖暅對父親數學遺稿加以整理和補訂，並加進自己的研究成果，如球體積公式推導等，寫成一部完整的數學著作—《綴術》。該書包括祖沖之、祖暅父子二人的數學創造，思想精深，內容深奧，以致唐朝國子監明算科規定學生要學習4年；連學官都「莫能究其深奧」，因此逐漸被「廢而不理」到北宋元豐七年(1084)重刻《算經十書》時，就沒有見到《綴術》。

五曹算經

一部為地方行政官員編寫的實用算術書。五卷，北周甄鸞撰。全書共有67個算術問題第一卷田曹19問，講田畝面積的計算；第二卷兵曹12問，講配置軍隊及軍需給養問題；第三卷集曹14問，主要講各種糧食的交換；第四卷倉曹12問，解決糧食的徵收和儲藏問題；第五卷金曹10問，講絲、絹、錢幣等的交易互換。該書版本有南宋鮑灤之刻本、《四庫全書》本、武英殿聚珍版本、《知不足齋叢書》本等

五經算術

《算經十書》之一，二卷，北周甄鸞撰，該書對《尚書》、《詩經》、《周易》、《左傳》、《論語》、《周禮》等典籍中有關歷算、音律的文字予以注釋，涉及的數學內容包括大數進位制、分數的運算、開方和體積計算及等比數列問題其版本有《四庫全書》本、武英殿聚珍版本、微波榭本等。

數術記遺

初唐國子監中明算科的12部教科書中的一種，一卷，題署漢徐岳撰，北周甄鸞注。關於該書作者目前尚無一致意見該書系徐岳追記其師劉洪與天目先生的問答，並非系統的數學著作，該書正文主要內容是記載大數進位法和十四種演算法名稱。其十四種演算法是：積算、太一算、兩儀算、三才算、五行算、八卦算、九宮算、運籌算、了知算、成數算、把頭算、龜算、珠算、計數。這些演算法的意義目前還不清楚。因其為唐代明算科考試的「帖讀」之本，故得以流傳後世。該書版本有南宋鮑瀚之刻本、《秘冊匯函》本、《津逮秘書》本、《四庫全書》本、微波榭本、《古今算學叢書》本、《萬有文庫》本等。

緝古算經

中國最早的一部論述開帶從立方的數學著作，一卷，唐王孝通撰並自注。原名《緝古算術》，唐代將其立於官學時改稱《緝古算經》。全書共20題，第1題為天文問題，第2至6題和第8題是土方體積問題，第7題和第9至14題為地窖和倉庫容積問題，第15至20題是勾股問題。第1題以算術方法求解，其次17題歸結為一元三次方程，末2題歸結為「雙二次」方程。一元三次方程的建立和解法(開帶從立方)為討論的重點，全書共列出三次方程28個，在每一條有關的術文之下，王孝通都加以自注，說明方程係數的來歷，據此，人們可知王氏列方程的程序。該書依靠幾何方法建立方程，對方程的解法則言之不詳，方程的係數亦有所限制，根則限於正數且只求一解。傳本《緝古算經》已殘缺，前16問較為完整，後4問多有文字爛脫，清人為之述草、補圖者較多。清張敦仁於嘉慶八年(1803）撰《緝古算經細草》一卷，據最後三題殘文，詳加計算後補足了題目、答案和術文，嘉慶十七年(1812)，李潢遺稿《緝古算經考注》二卷對全書文字詳加校訂，勘誤補缺凡七百餘字。揭廷鏘有《緝古算經圖草》二卷，陳傑有《緝古算經細草》一卷、《圖解》三卷、《音義》一卷。《緝古算經》傳本有《四庫全書》本、微波榭本及《知不足齋叢書》本等。

夏侯陽算經

原本《夏侯陽算經》是唐代立於官學的《算經十書》之一，到宋代已失傳。今傳本《夏侯陽算經》為北宋重刻《算經十書》時將《韓延算術》冠以《夏侯陽算經》之名編入其中，因而得以流傳。《韓延算術》是唐代的一部實用算術書，分上、中、下三卷共83個問題，徵引前朝各家算術和當時法令頗多。卷上六章：「明乘除法」、辯度量衡」、「言斛法不同」、「課租庸」、「論步數不等」、「變米數」，重點敘述租庸調的計演算法；卷中五章：「求地稅」、「分祿」、「計給糧」、「定腳價」、「稱輕重」，敘述官本利息的分配和賦稅征派問題；卷下為「說諸分」章，專論奇零分法。全書給出很多乘除簡捷演算法。傳本《夏侯陽算經》的版本主要有南宋鮑之刻本、《四庫全書》本、微波榭本、《古今算學叢書》本

謝察微算經

原名《發矇算經》，宋代算書。是一部內容淺顯的啟蒙算書。三卷，宋謝察微撰。原書已失傳，但其第一卷的開頭部分被收錄在明初陶宗儀編纂的《說郛》中，。內容共計八條：「大數」、「小數」、「度」、「量」、「衡」、「畝」、「九章名義」、「用字例義」。在每條之下有若干款，每款之後有小字作注，如「小數」：「分」，注日「十厘為分」；厘」注曰「十毫」等。在「用字例義」中，作者對73個數學中的術語或常用字、詞給出簡短的解釋，有些類似定義。對一詞多義者分別闡述，如「乘，法之多位者」，又「乘，法實合變數也」；對一些容易混淆的詞也作了區別，如「差，多少不同數也」，「較，相除余也」等。明代程大位《演算法統宗》中幾乎一字不漏地照錄了《說郛》中記載的《謝察微算經》殘文，清初編輯的大型叢書《古今圖書集成》第一百一十二卷演算法部匯考引用了《謝察微算經》，當代中算史家李迪在所著《中國數學通史·上古到五代卷》中也將《謝察微算經》殘文全部錄出。

敦煌算書

20世紀初發現於中國甘肅敦煌莫高窟(又稱千佛洞)的手寫數學文獻原件。這些數學文獻總計近20件，包括算書、算表、算經若干，但沒有一件首尾完整，有的僅是殘頁，有的抄在佛經或其他文獻的背面。其內容主要是九九表和一些算題，其年代約在公元5世紀至10世紀間。它們是除《算數書》外的最早的數學文獻原件，是了解千餘年前數學的內容、形式等的一組珍貴的資料

黃帝九章演算法細草

宋代算書，九卷，宋賈憲撰，今已失傳。該書有些內容被楊輝《詳解九章演算法》摘錄。在《詳解九章演算法》的最末一卷「纂類」中錄有「賈憲立成釋鎖平方法」、「增乘開平方法」、「賈憲立成釋鎖立方法」及「增乘(開立)方法」術文四則。其中，「釋鎖開方」二法分別和《九章算術》開平方、開立方法接近，而所述「增乘開方法」為新法。「增乘(開立)方法」術文後有6個開立方的題目，第1題即為《九章算術》少廣章第19題楊輝還引錄了賈憲的「開方作法本源圖」和「增乘方求廉法草」，此二者是「增乘開方法」原理的概括「開方作法本源圖」今通稱為「賈憲三角形」或「賈憲三角」。

算學源流

中國最早的部簡明數學史綱，不分卷，作者不詳。該書引《晉書》關於隸首作數、《漢書》備數、《周禮》保氏九數、《漢書》關於張蒼定章程的記載，以及《唐書》選舉志、百官志，宋崇寧(1102-1106年)國子監算學令等有關唐宋算學館的課程設置、教員配製、教學制度、考試製度以及科舉制度的規定等。宋鮑之刻《數術記遺》時，將其附刻於後.1980年，又被收入文物出版社出版的《宋刻算經六種》之中

數書九章

中國宋元時代部有代表性意義的數學著作，原名《數術大略》，宋秦九韶撰。成書於1247年，全書共十八卷81題，分為九章。其主要內容有：

大衍類闡述一次同餘式組的一般解法，其中包括大衍總數術、大衍求一術和一次同餘式組求解公式三部分。大衍總數術處理模數非兩兩互素的問題，分別對模數為整數、小數、分數和十的倍數四種情形說明將其化為兩兩互素的方法。大衍求一術是用輾轉相除求乘率的方法，這是求解同餘式組的關鍵。秦九韶用文字表達的一次同餘式組求解公式，現稱為「中國剩餘定理」或「孫子定理」。
天時類。討論天文曆法和雨雪量計算問題。
田域類。討論田地面積問題，其中包括介紹高次方程數值解法的正負開方術。
測望類。討論勾股、重差和其他測量問題。
賦役類。討論田賦和戶稅等問題。
錢穀類。討論徵購糧食和倉儲容積等，包括體積計算和複雜的比例問題。
營建類。討論土木工程問題，有相當詳細的工程計算。
軍旅類，兵營布置和軍需供應問題。
市易類。討論商品交易和利息計算問題，主要是線性方程組的解法

《數書九章》在寫作體例和選用題材方面都繼承了《九章算術》的傳統，但在中國古算構造性和機械化的特色方面得到了更為突出的體現。其代表成果是關於一次同餘式組解法的大衍求一術和關於高次方程數值解法的正負開方術，這兩項工作都走在世界前列此外，在線性方程組、統計數學、幾何與測量等方面都有創新。宋元時期，該書並未刊刻，僅有抄本流傳。明《永樂大典》抄錄此書，題稱《數學九章》，清《四庫全書》中的《數書九章》即由此輯出。

測圓海鏡

原名《測圓海鏡細草》。是中國現存最早的一部以天元術為主要內容的著作，十二卷，元李冶撰。該書卷首為「圓城圖式」，該圖以一個直角三角形及其內切圓為基礎，通過若干互相平行或垂直的線段，構成16個直角三角形。全書170個問題都與這幅圖形有關。圖式之後是「總率名號」和「今問正數」，前者給出圖中各勾股形名稱，後者以通弦六百八十，通勾三百二十，通股六百為基數，給出各種勾股形邊長之間的關係，以便驗證，卷首最後列「識別雜記」692條，逐一列舉了勾股形各邊及其和、較、積與圓的關係，每一條都相當於一個幾何定理。這部分內容是對中國古代勾股容圓問題的總結，這在中國古代數學著作中是絕無僅有的。卷二至十二為170個問題，每題含「法」、「草」兩部分。「法」是該類問題的一般解法，「草」是演題的具體過程，全書構成一個演繹體系，卷一包含了解題所需要的基本理論，後面各卷問題的解法均可在此基礎上以天元術為工具推導出來。該書的主要價值還在於其藉助於各種幾何關係來建立高次方程，從而全面系統地介紹天元術的理論和演算法。書中的天元術分為三步：

「立天元一」，這相當於設立未知數。
尋找兩個相等的而且至少有一個含天元一的多項式或分式。
建立等式，並通過相消，化成由高次冪到低次冪上下得列的標準形式。

此外，在《測海鏡)中，常數項可正可負，而不再限制於其幾何意義，該書自成書以來，多次再版較為著名的版本有:1287年的李克修再版本，明顧應樣《測圓海鏡分類釋術》，南《四庫全書》本，《知足齋叢書)本，同文館集珍本和《古今算學叢書》本。

益古演段

普及天元術的著作，元李冶撰，三卷，作於1259年。該書是在蔣周所撰《益古集》的基礎上，「再為移補條段，細翻圖式，使粗知十百者，便得人室啖其文」，全書64題，除4題為一次方程外，其餘皆為二次方程，每題包括「法依條段求之」、「條段圖」「義「四部分，法，即天元術；條段，是用來表示方程各項的一段段的條形面積；依條段求之，即用人們易懂的幾何方法對天元術進行解釋；圖，為方程各項幾何關係的圖解：義，即圖的文字說明，其將再周的演段法(舊術)與天元術(新術)並列，旨在普及新術，此外，在化多元問題為一元問題，以及設輔助未知數等方面亦有創新，該書自成書以來，有多種本流傳於世，較為著名的有:1282年初版本、明《永樂大典》本、清《四庫全書》本、《知不足齋叢書》本、《白芙堂算學叢書》本和《古今算學叢書》本等。

詳解九章演算法

宋代算書，宋楊輝演，十二卷，成書於1261年，包括《九章算術》本文，魏劉徽注，唐李淳風等注，北宋賈憲細草及楊輝詳解共五部分，根據楊輝自序知，該書以賈憲《黃帝九章演算法細草》為底本，在對《九章算術》中的問題加以詳盡解釋的基礎上，又另增「圖」，「乘除」「纂類」三卷，其「圖」包括互乘五段，維乘，列衰方程井列圖及開方圖等，作為首卷：「乘除「「立問一十三題，專說乘除」，包括九歸等歌訣，作為次卷，此卷已佚，「纂類」「將(九章算術》中的方法和問題分為乘除，互換，合率，分率，衰分、選積、盈不足、方程勾股九類，作為末卷，書中保存了許多珍貴的數學史料，例如賈憲的「開方作法本源圖「就被少廣章所引用，其現在被稱為」賈憲三角」。在著作體例上，引入了「圖」」草」和「比類「等內容。「比類」系相對於「古問」而言，其中不乏作者的創造，如商功章中以方亭、方錐、鱉臑，芻甍、芻童等立體「比類「於各種堆垛，在高階等差數列的研究史上留下了光輝的一頁。該書成書後即刊行，明修《永樂大典》時將其分類抄入「算」字條，而「算「字條今僅存三卷，故此書現為殘本。

日用演算法

宋代實用算書。二卷及首一卷，宋楊輝撰，原書已失傳，有殘文存於《永樂大典》及《諸家演算法》中，《永樂大典》卷一六三四三有「二率分身」一題：《諸家演算法》有「釋斤稱數」一則九題，還有楊輝的自序：「今首以乘除加減為法，稱斗尺田為問，編詩括十三首，立圖草六十六，用法必載源流，命題須負有實，分上下卷首，少補日用之萬一，亦助啟蒙之觀覽雲耳。「相比可見，原文殘存無幾。《日用演算法》版本不詳。