關於布爾代數的一些筆記（二）

05-02

接包佳齊：關於布爾代數的一些筆記（一）。

四、完備布爾代數

顯然，布爾代數任意有窮個元素都有上確界和下確界，即它們的和與積，但是是否有無窮和和無窮積呢？這是不確定的。所以我們有了完備布爾代數的定義。

定義4.1 對布爾代數 $mathscr{B}$ ，若任意 $X subset mathscr{B}$ 都有上確界 $sup{X}$ 和下確界 $inf{X}$ ，則稱 $mathscr{B}$ 為完備的（complete），記 $sum{X} = sum{u in mathscr{B}: u in X} = sup{X}$ ， $prod{X} = prod{u in mathscr{B}: u in X} = inf{X}$ 。約定 $sum{emptyset} = 0$ ， $prod{emptyset} = 1$ 。

這樣的約定是自然的，由於之後我們會談到的， $emptyset$ 是所有集合的子集，所以理應比所有和小，比所有積大。這樣也自然地滿足許多計算，後面的證明不再討論空集的情況，因為空集的情況是顯然而又平凡的。

對一般的布爾代數，如果它不是完備的，也可以用這樣的記號來表示無窮和（如果它存在的話）。

定義4.2 一個布爾代數 $mathscr{B}$ 的完備化，是指一個完備布爾代數 $mathscr{C}$ 以及一個稠密嵌入 $i: mathscr{B o C}$ 。

我們的主要需求是證明完備化的存在性以及同構下唯一性。不過在證明之前還需要一些準備，我們首先要對完備布爾代數的一些性質進行了解。（註：以下性質如涉及到空集，那麼是顯然的，所以我們不考慮。）

性質4.3 令 $X = {x_0, x_1, dots, x_{n-1}}$ 是完備布爾代數 $mathscr{B}$ 的有窮子集，則： $sum{X} = sum_{k = 0}^{n-1}{x_k}$ 。
證明：通過歸納，這是一個平凡的結論。

性質4.4 令 $X_1, X_2, X_i(i in I)$ 是完備布爾代數 $mathscr{B}$ 的子集。則下列性質成立：
(a) 若 $X_1 subset X_2$ ，則 $sum{X_1} le sum{X_2}$ ， $prod{X_1} ge prod{X_2}$ 。
(b) $sum{igcup_{i in I}X_i} = sum{{sum{X_i}: i in I}} = sum{{sum{{f(i): i in I}}: f in overlineprod_{i in I}X_i}}$ ， $prod{igcup_{i in I}X_i} = prod{{prod{X_i}: i in I}} = prod{{prod{{f(i): i in I}}: f in overlineprod_{i in I}X_i}}$ 。

（注意：最後的 $overlineprod_{i in I}X_i$ 代表無窮卡氏積。）

證明：(a) 若 $X_1 subset X_2$ ，對任意 $u in X_1$ ， $u in X_2$ ，故 $prod{X_2} le u le sum{X_2}$ ，由 $u in X_1$ 的任意性以及確界， $prod{X_1} ge prod{X_2}$ ， $sum{X_1} le sum{X_2}$ 。
(b) 對任意 $i in I$ ， $igcup_{i in I}X_i supset X_i$ ，故 $sum{igcup_{i in I}X_i} ge sum{X_i}$ ，因而由任意性以及確界， $sum{igcup_{i in I}{X_i}} ge sum{sum{X_i}}$ ，但對任意 $u in igcup_{i in I}{X_i}$ ，存在 $i in I$ 使得 $u in X_i$ ，故 $u le sum{X_i} le sum{sum{X_i}}$ ，根據任意性以及確界， $sum{igcup_{i in I}{X_i}} le sum{sum{X_i}}$ ，故 $sum{igcup_{i in I}{X_i}} = sum{sum{X_i}}$ 。乘法同理。

下面我們證明另一半。首先對任意 $f in overlineprod_{i in I}X_i$ ，對任意 $i in I$ ， $sum{{sum{X_i}: i in I}} ge sum{X_i} ge f(i)$ ，故 $sum{{sum{X_i}: i in I}} ge sum{{sum{{f(i): i in I}}: f in overlineprod_{i in I}X_i}}$ ，反過來，對任意 $x_i in X_i$ ，一定存在 $f in overlineprod_{i in I}X_i$ 使得 $f(i) = x_i$ ，故我們知道 $sum{{sum{X_i}: i in I}} le sum{{sum{{f(i): i in I}}: f in overlineprod_{i in I}X_i}}$ ，所以等式成立，乘法同理。證畢。

特別地，我們有：

推論4.5 $u + sum{X} = sum{{u + v: v in X}}$ ， $u cdot prod{X} = prod{{u cdot v: v in X}}$ 。

我們可以繼續證明分配律成立。

性質4.6 以下性質成立：
(a) $- sum{X} = prod{{-u: u in X}}$ ， $-prod{X} = sum{{-u: u in X}}$ 。
(b) $u cdot sum{X} = sum{{u cdot v: v in X}}$ ， $u + prod{X} = prod{{u + v: v in X}}$ 。

證明：(a) 對任意 $u in X$ ， $sum{X} ge u$ ，故 $- sum{X} le -u$ ，於是 $- sum{X} le prod{{-u: u in X}}$ 。而對任意 $u in X$ ， $-u ge prod{{-u: u in X}}$ ，因而 $u le -prod{{-u: u in X}}$ ，那麼 $sum{X} le -prod{{-u: u in X}}$ 。這樣我們同時證明了兩個公式。
(b) 易證對任意 $v in X$ ， $u cdot sum{X} ge u cdot v$ ，故 $u cdot sum{X} ge sum{{u cdot v: v in X}}$ 。同時我們有， $-u cdot sum{X} ge sum{{-u cdot v: v in X}}$ ，而顯然 $sum{{-u cdot v: v in X}} + sum{{u cdot v: v in X}} ge sum{X}$ ，那麼 $-u cdot sum{X} + sum{{u cdot v: v in X}} ge sum{X}$ ，左右乘以 $u$ ，我們得到 $u cdot sum{{u cdot v: v in X}} ge u cdot sum{X}$ ，但左邊顯然等於 $sum{{u cdot v: v in X}}$ ，於是得證。乘法同理或由 (a)。

更加一般的分配律形式是不一定成立的。這個我們不展開。

五、布爾代數的完備化

接下來我們研究布爾代數的完備化問題。我們引入完備嵌入的概念來更好地討論這個問題。

定義5.1 嵌入 $i: mathscr{B o C}$ 被稱為完備的，如果對任意 $X subset mathscr{B}$ ，且以下需要的無窮和與積存在，那麼 $sideset{}{^mathscr{D}}sum{{i(u): u in X}} = i(sideset{}{^mathscr{B}}sum{X})$ 。

注意到我們不需要它的對偶形式，由於性質4.6(a)。

引理5.2 稠密嵌入是完備嵌入。
證明：顯然 $sideset{}{^mathscr{C}}sum{{i(u): u in X}} le i(sideset{}{^mathscr{B}}sum{X})$ 。現在假設 $i(sideset{}{^mathscr{B}}sum{X}) - sideset{}{^mathscr{C}}sum{{i(u): u in X}} eq 0$ ，根據稠密性，存在 $v in mathscr{B}^+$ 使得 $i(v) le i(sideset{}{^mathscr{B}}sum{X}) - sideset{}{^mathscr{C}}sum{{i(u): u in X}} le i(sideset{}{^mathscr{B}}sum{X} - u)$ ，即 $v le sideset{}{^mathscr{B}}sum{X} - u$ ，但這意味著對任意 $u in X$ ， $v le -u$ ，即 $u le -v$ ，那麼 $u le sideset{}{^mathscr{B}}sum{X} - v$ ，要滿足這個式子， $-v ge sideset{}{^mathscr{B}}sum{X}$ ，但 $v le sideset{}{^mathscr{B}}sum{X}$ ，得出 $v = 0$ ，矛盾。得證。

下面我們證明如果完備化存在，則在同構的意義下唯一。

定理5.3 如果 $mathscr{C, D}$ 都是 $mathscr{B}$ 的完備化，那麼 $mathscr{C}$ 與 $mathscr{D}$ 同構。
證明：我們令 $i: mathscr{B o C}, j: mathscr{B o D}$ 是稠密嵌入。定義 $h: mathscr{C o D}, u mapsto sideset{}{^mathscr{D}}sum{{j(w): w in mathscr{B} land i(w) le u}}$ 。我們證明它是同構。
對稱地，定義 $g: mathscr{D o C}, v mapsto sideset{}{^mathscr{C}}sum{{i(w): w in mathscr{B} land j(w) le v}}$ 。對任意 $u in mathscr{C}$ ，令 $u^* = g circ h(u)$ ，先假設 $u - u^* eq 0$ ，則存在 $w in mathscr{B}^+$ 使得 $i(w) le u - u^*$ ，則 $i(w) le u$ ，故 $j(w) le h(u)$ ，故 $i(w) le g circ h(u) = u^*$ ，但 $i(w) le -u^*$ ，故 $i(w) = 0$ ， $w = 0$ ，矛盾。所以 $u le u^*$ 。
令 $k: mathscr{C o C}, u mapsto sideset{}{^mathscr{C}}sum{{i(w): w in mathscr{B} land i(w) le u}}$ ，和上面證明類似，我們可以證明 $u le k(u)$ ，然而由上確界性質顯然有 $k(u) le u$ ，那麼 $k(u) = u$ 。
所以現在我們只需證 ${w in mathscr{B}: j(w) le h(u)} subset {w in mathscr{B}: i(w) le u}$ ，這樣 $u^* = g circ h(u) le k(u) = u$ 。對任意 $w^* in mathscr{B}$ 使得 $j(w^*) le h(u) = sideset{}{^mathscr{D}}sum{{j(w): w in mathscr{B} land i(w) le u}}$ ，有 $egin{align*} j(w^*) &= j(w^*) cdot sideset{}{^mathscr{D}}sum{{j(w): w in mathscr{B} land i(w) le u}}\ &= sideset{}{^mathscr{D}}sum{{j(w^* cdot w): w in mathscr{B} land i(w) le u}} end{align*}$ 。根據稠密嵌入是完備嵌入（引理5.2），這意味著 $w^* = sideset{}{^mathscr{B}}sum{{w^* cdot w: w in mathscr{B} land i(w) le u}}$ ，則 $egin{align*} i(w^*) &= sideset{}{^mathscr{C}}sum{{i(w^*) cdot i(w): w in mathscr{B} land i(w) le u}}\ &= i(w^*) cdot u le u end{align*}$ ，這達成了我們的目的。
於是我們得到對任意 $u in mathscr{C}$ ， $g circ h(u) = u$ ；同理對任意 $v in mathscr{D}$ ， $h circ g(v) = v$ 。因此 $g, h$ 都是雙射。
現在根據引理2.5，只需證明 $u_1 le u_2$ 當且僅當 $h(u_1) le h(u_2)$ ，一個方向是平凡的，而 $u_1 = g circ h(u_1) le g circ h(u_2) = u_2$ ，另一個方向證畢。所以 $h$ 是同構。得證。

下面是最後一個定理，我們要證明完備化存在。

定理5.4 完備化存在。
證明：我們用類似於戴德金分割的方法。
令 $mathscr{B}$ 為一布爾代數，令 $U_p = {q in mathscr{B}^+: q le p}$ 。稱 $U subset mathscr{B}^+$ 為分割（cut），如果對任意 $p in U$ ， $U_p subset U$ 。我們稱一個分割 $U$ 是正則的（regular），如果對任意 $q in mathscr{B}^+ ackslash U$ ，存在 $q^* in mathscr{B}^+$ 且 $q^* le q$ 使得 $U_{q^*} cap U = emptyset$ 。
容易驗證 $U_p$ 是正則分割，它是分割顯然，對任意 $q in mathscr{B}^+ ackslash U_p$ ， $q - p eq 0$ ， $U_{q -p} cap U_p = emptyset$ ，故正則。
對任意分割 $U$ ，我們令 $overline{U}$ 為它的正則化，即 $overline{U} = {q in mathscr{B}^+: forall q^* in mathscr{B}^+(q^* le q ightarrow U_{q^*} cap U eq emptyset)}$ 。先證明它是正則的。對任意 $q in mathscr{B}^+ ackslash overline{U}$ ，由定義，存在 $q^* in mathscr{B}^+$ 且 $q^* le q$ 使得 $U_{q^*} cap U = emptyset$ ，對任意 $r in U_{q^*}$ ， $U_r subset U_{q^*}$ ，因而 $r otin overline{U}$ ，所以 $U_{q^*} cap overline{U} = emptyset$ 。故 $overline{U}$ 正則。同時顯然， $overline{U}$ 也是包含 $U$ 的最小正則分割。若不然，令 $U subsetneqq U^* subsetneqq overline{U}$ ，其中 $U^*$ 為正則分割。那麼令 $q in overline{U} ackslash U^*$ ，則存在 $q^* in mathscr{B}^+$ 且 $q^* le q$ 滿足 $U_{q^*} cap U^* = emptyset$ ，但 $U subsetneqq U^*$ ，所以這意味著 $q otin overline{U}$ ，矛盾。
現在我們構造 $mathscr{C} = {U subset mathscr{B}^+: U ext{ 是正則分割}}$ ，注意到空集也是正則的。在其上，我們定義布爾代數偏序為 $U le V$ 當且僅當 $U subset V$ ，布爾代數運算為 $U + V = overline{U cup V}$ ， $U cdot V = U cap V$ ， $-U = {q in mathscr{B}^+: U_q cap U = emptyset}$ 。容易驗證定義合理，且 $emptyset = 0, mathscr{B}^+ = 1$ ，現在我們驗證它是布爾代數。交換律、結合律以及吸收律顯然成立。分配律只需證 $overline{U cup V} cap W = overline{(U cup V) cap W}$ ，一個方向是顯然的，下面我們證明 $overline{U cup V} cap W subset overline{(U cup V) cap W}$ 。對任意 $q in overline{U cup V} cap W$ ，有對任意 $q^* in mathscr{B}^+$ 且 $q^* le q$ ， $U_{q^*} cap (U cup V) eq emptyset$ ，但 $q in W$ ，因而 $U_{q^*} cap ig((U cup V) cap W ig) eq emptyset$ ，所以 $q in overline{(U cup V) cap W}$ 。另外 $U cdot -U = emptyset = 0$ ， $U + -U = overline{U cup -U} = mathscr{B}^+ = 1$ 。所以 $mathscr{C}$ 為布爾代數。
而顯然它是完備布爾代數，這是因為對任意 $mathcal{X} subset mathscr{C}$ ， $overline{igcup{mathcal{X}}}$ 是它的上確界， $igcap{mathcal{X}}$ 是下確界。
我們令 $i: mathscr{B o C}, p mapsto U_p$ ，顯然它是嵌入，而對任意正則的 $U$ ，我們知道它其中一定包含一個 $U_p$ ，所以 $i$ 是稠密嵌入。得證。