為什麼根號負一不是i

05-02

$sqrt{4}$ 等於多少？可能很多人都知道，是2。

但是對一個負數開根號呢？比如 $sqrt{-1}$ 是多少？？

托很多科普文章的福，大家都知道 $sqrt{-1}= m{i}$ ，因為 $m{i}cdot m{i}=-1$ 。

但是。。你稍微想想，為什麼不是 $sqrt{-1}=- m{i}$ 呢？畢竟 $- m{i}cdotleft(- m{i} ight)=-1$ 也是沒問題的啊？

然後有人說了，初中就學過了， $sqrt{4}=pm2$ ，但是我們只取正的，所以對 $sqrt{-1}=pm m{i}$ ，我們也取正的就可以了。

但是，如果不是開二次方，是開三次方呢？

$sqrt[3]{8}$ 是多少？是 $2$ 么？

為什麼不是 $2，-1+sqrt{3}, m{i}，-1-sqrt{3}, m{i}$ 呢？

畢竟 $left(-1+sqrt{3}, m{i} ight)^3=left(-1+sqrt{3}, m{i} ight)cdotleft(-1+sqrt{3}, m{i} ight)cdotleft(-1+sqrt{3}, m{i} ight)=left(-2-2sqrt{3}, m{i} ight)cdotleft(-1+sqrt{3}, m{i} ight)=8$ 沒問題啊。

於是，開三次根號八，居然有三個解！

函數的定義是什麼？一個自變數對應唯一一個因變數？但是開三次方這個函數，居然一個自變數對量三個因變數？

到此為止，你應該以經發現了，只要你承認 $m{i}cdot m{i}=-1$ ，你就不可避免地要回答一個問題， $sqrt{2}$ 到底是正二還是負二？開根號到底是有幾個解？

看來複數，並不只是 $sqrt{-1}= m{i}$ 這麼簡單。

複數定義

設有一對有序實數 $(a,b)$ ，遵從

加法： $(a,b)+(c,d)=(a+c, b+d)$

乘法： $(a,b)cdot(c,d)=(ac-bd, ad+bc)$

則稱這一對有序實數 $(a,b)$ 定義了一個複數 $alpha=(a,b)=a(1,0)+b(0,1)$ ，其中 $a$ 為 $alpha$ 的實部， $b$ 為虛部。

複數減法為加法的逆運算 $(a,b)-(c,d)=(a-c, b-d)$

虛數單位 $m{i}=(0,1)$

原來我們要先定義一對實數，並滿足兩個運演算法則，然後 $(0,1)$ 就是我們要的虛數單位 $m{i}$ 了。

給讀者留個小作業，驗證 $m{i}$ 的平方為負一。

複數運算

共軛複數： $alpha^*equiv a-b, m{i}$ 與 $alpha=a+b, m{i}$ 互為共軛，共軛複數的乘積為實數，因為

$(a-b, m{i})cdot(a+b, m{i})=a^2+b^2$ 。

複數除法：我們可以用共軛複數來記算除法

$frac{a+b, m{i}}{c+d, m{i}}=frac{(a+b, m{i})(c-d, m{i})}{(c+d, m{i})(c-d, m{i})}=frac{ac+bd}{c^2+d^2}+frac{bc-ad}{c^2+d^2}, m{i}$

複數幾何表示

既然複數是兩個實數組成的一對，那我們把第一個實數畫在橫軸上，第二個實數畫在縱軸上，於是就有了複平面

原來複數是複平面上的一個向量，共軛複數關於實軸對稱。

複數的極坐標和指數表示

由上圖，我們發現 $x=rcosvarphi,~y=rsinvarphi, r=sqrt{x^2+y^2}$ ，於是我們把複數寫成極坐標的形式

$alpha=r(cos varphi+ m{i},sin varphi)$

其中 $r$ 為複數的模， $varphi$ 為複數的輻角。

大名鼎鼎的歐拉公式已上線： $m{e}^{varphi, m{i}}=cos varphi + m{i}, sin varphi$ ，於是複數也可以寫成指數形式

$alpha=r m{e}^{ m{i},varphi}$ 。

到底怎麼算三次根號下八？

我們現在知道了，對於實數，其實是躺在實軸上的一個複數，也就是輻角 $varphi=0$ ，其指數表示法為

$8=8 m{e}^{0, m{i}}$

但，為什麼不是 $8=8 m{e}^{2pi, m{i}}$ 呢？

但，為什麼不是 $8= m{e}^{4pi, m{i}}$ 呢？？因為輻角0度，和360度，和720度，都是在同一個地方啊？

但是你把這三個輻角都除以3，就會產生不同的結果。

對於 $8=8 m{e}^{0~ m{i}}$ ， $8^{1/3}=left(8 m{e}^{0, m{i}} ight)^{1/3}=2 m{e}^{0/3, m{i}}=2$

對於 $8=8 m{e}^{2pi, m{i}}$ ， $8^{1/3}=left(8 m{e}^{2pi, m{i}} ight)^{1/3}=2 m{e}^{2/3pi, m{i}}=2left( cos frac{2}{3}pi + m{i},sin frac{2}{3}pi ight)=-1+sqrt{3}, m{i}$

給讀者留個作業，自行計算 $8^{1/3}=-1-sqrt{3}, m{i}$ 。

多值函數

原來，在計算複數時，由於其輻角 $varphi=varphi_0+2pi n,~n=0,1,2...$ 的多值性，函數的因變數也會有不同的值。此為多值函數。開方和取對數，在複數域里，都是多值函數。

從此，函數不再是一對一的了。或者說，函數其實還是一對一的映射，但是多值函數不算是函數了。

後記：

寫本文的原因是，有個人寫了複數的科普文章，對我的評論居然是「虛數是個數，沒有單位」，「根號負一有兩個值，我不知道從哪來的」，「對於i，我不知道更多」，然後居然把我拉黑了。。然後那個人下面評論也是清一色的「加那個負號幹嘛」。所以我想我還是寫一個文章好好說說吧，雖然全是定義和計算也沒幾個人會看。另外，筆者是學物理的，對數學概念理解得並不深，如果有錯誤還請各位數學專業大佬多多指教。。