3. 小科普er~量子悖論：人家是神秘的Cheshire cat (柴郡貓)，可不是倒霉的Schrodingers cat (薛定諤貓)！

05-02

第三章量子悖論：quantum Cheshire cat (量子柴郡貓)與spin-charge separation (自旋-電荷分離), 「人家可沒那誰家的倒霉孩子(Schrodingers cat)那麼有名！」

------Yiming Pan (楓林白印)（原創，轉載請註明出處）

在第二章中，我們分析了一些單量子態的思想實驗以及其詭異結果。

這一章在萬眾期待中(唉，估計沒人關心這麼冷門的方向)，我們迎來了用弱測量理論來討論雙量子糾纏態的詭異行為(那就自嗨吧)。但我不打算分析那隻著名的Schrodiners cat，我相信，有一些量子力學基礎的讀者都已經非常熟悉這隻半死不活的薛定諤貓。如果不熟悉的話，也可以在知乎上找到大量優秀的文章分析它。

今天，我討論的是quantum Cheshire cat (量子柴郡貓)。量子柴郡貓雖不出名但也有糾纏態的詭異，值得思考的地方(即自旋電荷分離和負概率問題)，完全不輸於薛定諤貓。讀者一般大概只會在《愛麗絲夢遊仙境》中知道它的存在，除此之外便一無所知了。

圖：Quantum Cheshire cat (量子柴郡貓)和Schrodingers cat (薛定諤貓)以及它們的對話。

什麼是Cheshire cat (柴郡貓)？

按照百度詞條的解釋：柴郡貓（Cheshire cat）是英國作家劉易斯·卡羅爾（Lewis Carroll,1832-1898）創作的童話《愛麗絲漫遊奇境記（Alices Adventure in Wonderland)》中的虛構角色，形象是一隻咧著嘴笑的貓，擁有能憑空出現或消失的能力，甚至在它消失以後，它的笑容還掛在半空中。

All right』, said the Cat; and this time it vanished quite slowly, beginning with the end of the tail, and ending with the grin, which remained some time after the rest of it had gone.

『Well! I』ve often seen a cat without a grin』, thought Alice, 『but a grin without a cat! It』s the most curious thing I ever saw in my life!』

From https://www.cs.cmu.edu/~rgs/alice-VI.html.

圖：柴郡貓，摘自迪士尼動畫版本。

什麼是quantum Cheshire cat (量子柴郡貓)？

現在我們根據這個虛構角色來構造一個量子力學版本的柴郡貓，我們把量子柴郡貓假設為一個電子，它具有電荷e以及自旋1/2，都是電子內秉的物理屬性。按照小說中的想像，我們要做的事情就是把一個電子的自旋與電荷相互分離出來，比如"a grin without a cat"，即如何把笑容(grin)從貓的實體(cat)上分離出來。

首先我們定義一個粒子(柴郡貓)有兩個自由度: $|R angle, |L angle$ (貓在左邊R的盒子，還是右邊L的盒子里); $|uparrow angle,|downarrow angle$ (自旋朝上代表貓笑了，自旋朝下代表貓皺眉)。然後我們準備一個糾纏的初態(pre-selection)，即

$|i angle=frac{1}{2}(|uparrow angle+|downarrow angle)|L angle+frac{1}{2}(|uparrow angle-|downarrow angle)|R angle$

然後通過後選擇把系統的狀態固定在末態(post-selection)上，即

$|f angle=frac{1}{2}(|uparrow angle-|downarrow angle)(|L angle+|R angle)$

現在，我們需要構造被測量的運算元，一個是柴郡貓的"位置"（也就是電荷）運算元，另一個是柴郡貓的"笑容"（也就是自旋）運算元。是的，我們又用一種討巧的方式來構造，即投影運算元來定義我們需要的測量物理量。為了判斷這個貓粒子在哪個盒子裡面，我們定義了兩個投影運算元:

$P_L=|L angle langle L|,quad P_L=|R anglelangle R|$

討巧的原因之一就是我們利用態函數來構造投影運算元。為了判斷這個貓粒子是自旋朝上的笑了，還是自旋朝下的皺眉，我們可以測量自旋Pauli運算元 $hatsigma_z$ 的弱值。

現在來計算這幾個運算元的弱值：

$langle P_L angle_w=frac{langle f|P_L|i angle}{langle f|i angle}=0,quad langle P_R angle_w=frac{langle f|P_R|i angle}{langle f|i angle}=1.$

這意味著這個柴郡貓在右邊R盒子裡面。同時，

$langle hatsigma_z angle_w=frac{langle f|hatsigma_z|i angle}{langle f|i angle}=1$

即這個貓也確實是自旋朝上地笑了(with a simile)。但是這個笑容很詭異，並不在右邊R盒子裡面而是在左邊L盒子裡面，即測量如下聯合運算元

$langle hatsigma_z P_L angle_w=1,quad langle hatsigma_z P_R angle_w=0.$

這個笑容在左邊L盒子裡面，但是貓本身卻在左邊R盒子裡面！換句話說，我們確實把自旋的屬性從粒子的電荷中心剝離出來了，即"a grin without a cat"。但是一個看不見貓只有笑容的存在，又是什麼鬼啊！！！

更多量子柴郡貓的分析，參考:[1504.03797] Weak Values and Quantum Nonlocality; Introduction to Weak Measurements and Weak Values;Quantum Cheshire Cats; Theoretical basis and observational implications; Observation of a quantum Cheshire Cat in a matter-wave interferometer experiment. 有機會翻牆的讀者，可以在油管上看到一個短視頻對量子柴郡貓的介紹:https://www.youtube.com/watch?v=YbzblfdgwXY.

圖：柴郡貓，a grin without a cat！圖摘自網路.

The quantum Cheshire Cat(柴郡貓)與negative probability(負概率)

利用負概率來解釋上面量子柴郡貓中的自旋電荷分離現象，其實會引來更多的質疑。原因是負概率是個更嚴重的問題，很多人都不承認這個概念。這兒我也就偷個懶不給具體的表達式來說明負概率是如何計算的啦，其實有心的讀者可以通過上面的表達式，自己去構造一下，參考: Introduction to Weak Measurements and Weak Values.

負概率問題是個比較難搞的事兒，但是在弱測量中因為預選擇和後選擇卻普遍存在！我會在下一章中簡短地匯總一些資料和看法，算作是因為我現在失戀而偷懶的「補償和福利」吧。

The quantum Cheshire cat(柴郡貓)與Spin-charge separation(自旋電荷分離)

咱們搞凝聚態物理的不是沒見過豬跑。。。哦，不，不是沒見過自旋電荷分離。自旋電荷分離在一維（或准一維）Tomonaga-Luttinger liquid（液體）中廣泛意義上存在的一種集體激發現象，即電荷密度波（CDW）和自旋密度波（SDW）的激發可以相互獨立。在強關聯繫統中，相變失穩時存在三種可能的成序通道(channels of order parameters)，分別是CDW, SDW以及BCS 通道。關於這三個通道失穩以及相變分析，介紹起來是有一點兒門檻的(重整化群技術，但也可以用線性響應理論來討論)，也是我在凝聚態理論物理中學到的看家本事。總之，是我確信「自己可以吃研究這碗飯」的傢伙事兒，就先藏著點兒吧。

In condensed matter physics, spin–charge separation is an unusual behavior of electrons in some materials in which they split into three independent particles, the spinon, the orbiton and the holon (or chargon). The electron can always be theoretically considered as a bound state of the three, with the spinon carrying the spin of the electron, the orbiton carrying the orbital degree of freedom and the chargon carrying the charge, but in certain conditions they can become deconfined and behave as independent particles.

這兒，舉一個SSH模型中存在孤子激發的聚乙炔鏈例子：

圖：聚乙炔中的三種激發態。(left)空穴子激發，無自旋，但電荷為+e；(center)自旋子激發，無電荷，但自旋為1/2；(right)電荷子激發，無自旋，但電荷為-e。

Spin–charge separation is one of the most unusual manifestations of the concept of quasiparticles. This property is counterintuitive, because neither the spinon, with zero charge and spin half, nor the chargon, with charge minus one and zero spin, can be constructed as combinations of the electrons, holes, phonons and photons that are the constituents of the system. It is an example of fractionalization, the phenomenon in which the quantum numbers of the quasiparticles are not multiples of those of the elementary particles, but fractions.

我並不想過多的解釋量子柴郡貓以及自旋電荷分離和nonlocality之間的隱約關係。因為我解釋不好，只是指出這些現象罷了。

作為收尾：這種多粒子系統中spin-charge separation集體行為以及分數化的湧現(emergence)都將是非常範式化革新的物理思想，能夠讓我們在量子力學和廣義相對論之外建立一個新的物理世界的。這當然是我一廂情願的執念了，物理學發展幾百年範式才革新一次，如今量子力學和廣義相對論都有大量的非常重要的課題值得探索。

超出這兩大支柱也不是一念之間的事情，搞研究還是講究個積累的，新的學科會慢慢從舊的知識體系中長出來的。好在目前量子力學和廣義相對論都是非常大膽而兼容的世界，很多詭異的行為都能在其中找到自己的容身之處。

quantum Cheshire cat中的自旋-電荷分離現象，讓我相信凝聚態中多粒子集體的湧現也可以發生在單個粒子個體上，至少在弱測量中是可以實驗實現。

（第一稿 07-April-2018）