範疇論學習筆記11：範疇的範疇

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學習材料：Category Theory: A Gentle Introduction - Logic Matters，最近更新（2018年1月29日）的版本。這份筆記對應的是第 16 章。

我們可以有很多集合的集合，但卻不能有一個包括所有集合的集合。同樣地，我們可以有許多範疇的範疇，但卻不能有一個包含了所有範疇的範疇。

定理83（單位函子，identity functor）

對於每一個範疇 ，都存在一個單位函子 ，將一個範疇映射到同一個範疇里。

定理84（複合函子，composite functor）

如果存在函子 ，那麼也存在一個複合函子 ，其中：

1. 將一個 對象 映射到 對象 上。
2. 將一個 箭頭 映射到 箭頭 ，即 上。

定理85

兩個逆變（contravariant）函子的複合，如果有定義的話，將得出一個協變（covariant）函子。

定理86

全乎函子的複合是全乎的；忠實函子的複合是忠實的。

單位函子和複合函子的存在使我們可以定義範疇的範疇。

定義83（範疇的範疇）

假設 包括下列兩個層次的數據：

1. 對象：範疇
2. 箭頭：上述範疇之間的函子

箭頭中包括每一個範疇的單位函子，以及對於每一個可複合的函子 的複合函子 。那麼我們就稱 為範疇的範疇。

• 任何一個範疇 配上單位函子 ，就構成了一個範疇的範疇。
• 由於每一個幺半群都可以視為一個範疇，所以 Mon 也可以視為一個範疇的範疇。
• 存在一個以有限範疇為對象的範疇，箭頭是這些有限範疇里的所有函子。

定義84（正規範疇，normal category）

一個範疇是正規的，當且僅當它不以自己為對象。

定理87（羅素悖論的範疇論版本）

不存在涵蓋所有正規範疇的範疇。

定義85（全體範疇，universal category）

如果每一個範疇都是 的對象，那麼範疇的範疇 就是一個全體範疇。

定理86

不存在全體範疇。

小範疇和局部小範疇

定義86

範疇 是有限（finite）的，當且僅當它總體上只有有限數目的箭頭。

範疇 是小（small）的，當且僅當它總體上只有和一個集合里的元素一一對應的箭頭。

範疇 是大（large）的，當且僅當它不是小的。但它可以是局部小（locally small）的，當且僅當對於每一對 對象 ，都只有和一個集合里的元素相對應的從 到 的箭頭。

• 無限但集合大小的幺半群或無限的預序集合都是小範疇
• Set 和 Mon 不是小範疇
• Set 和 Mon 是局部小範疇

定義87

Cat 是以小範疇為對象，以小範疇之間的函子為箭頭的範疇。

Cat* 是以局部小範疇為對象，以它們之間的函子為箭頭的範疇。

範疇之間的同構

我們用 CAT 來表示至少包含語境中顯著的範疇的範疇的範疇。

（沒毛病！不是繞口令。）

定義88

函子 是一個 CAT 中函子的同構，當且僅當它有一個逆，即存在函子 ，使得 。

定理89

如果函子 是一個 同構，那麼它既全乎又忠實。

定義89

範疇 和 在 CAT 中是同構（isomorphic）的，記作 ，當且僅當存在一個同構 。

定理90

空範疇在 CAT中是初對象，平凡單一對象範疇 1 是終對象。

定理91

範疇 ，加上明顯的投射函數（projection function） ，構成了一個 和 的範疇二元積（categorial binary product）。

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