佛法數學 | 第二篇：數的起源與解脫

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數學怎麼來的？有什麼用？如何理解和學好它？我們有太多太多的疑惑。

我向浣熊法師請教了這些問題。共12期內容，每周發布一期，希望大家能有所收穫，找到數學的意義和學習數學的方法。

上一期我們講了數學和佛法的聯繫，今天我們會聊數的起源與分類。

● 我：大師，我能理解整數，也基本理解分數，但無理數和虛數我真的不懂。

● 浣熊法師：人容易理解狹隘的，不容易理解博大的。想要理解博大的，就是要不斷地解脫。

● 我：解脫是什麼意思?我現在被困住了嗎？

● 浣熊法師：打破原有思維觀念的束縛，找到更高的視角重新看待世界，從而獲得心靈上的自由。

● 我：我還是不明白，為什麼要追求解脫？

● 浣熊法師：不是我讓你解脫，也不是佛經讓你解脫，而是你的心渴望解脫。朝菌不知晦朔，蟪蛄不知春秋，被束縛的心就像井底之蛙，看不到世界的廣闊，體會不到真正的快樂。

（圖片來源：Bilder_meines_Lebens）

● 我：理解了解脫，就能理解整數、分數、無理數和虛數的真正含義嗎？

● 浣熊法師：這要從數字的起源講起。古時候，人們打獵，記錄今天收穫幾隻羊幾隻牛，用正整數表示；偶爾沒有收穫，就記為零；這時候人們並不認可負數的存在——零隻羊已經是最少了，怎麼會有負數只羊呢？

● 我：哈哈，這我知道，如果有一天打獵的少，吃掉的多，總的算下來數虧空的，比如虧了兩隻，就可以記為今天凈收穫「-2」只羊。

● 浣熊法師：慧哉，只要解脫了「個數只能是正整數或零」這個觀念，就得到了負整數。正整數、負整數和零合稱為整數。

● 我：那分數又是怎麼來的呢？

● 浣熊法師：生活中很多東西，只用整數是不夠表示的，比如一個蘋果平分成五份，吃掉了其中的兩份，這時候吃掉了將近一半，但又不能說是剛好一半，就需要新的計數方法，即分數「五分之二」。

● 我：嗯……我記得我剛接觸分數的時候，是很反直覺的。小學學的「數數」：1，2，3……可以逐個數下去，現在分數不能數了，因為都不知道「五分之二」大一點的數是多少，有太多的分數夾在五分之二到五分之三之間。

● 浣熊法師：對，你需要從「數字是能一個一個數的」這個觀念中解脫出來，才能真正認識分數。整數和分數合稱有理數，有理數可以寫成兩個整數的比值。未來你們會學習極限的概念，你就會知道，有理數能以任意精度接近一個確定的長度或一個大小。所以很長一段時間，人們認為有理數就是所有數了，大數學家畢達哥拉斯就此提出「萬物皆數——所有的東西都可以表示為兩個數字的比值」。

（圖片來源：Cuba Gallery）

● 我：既然有理數能無限接近一個值，人們是怎麼發現無理數的？

● 浣熊法師：其實無理數的發現並不難，早在兩千多年前，畢達哥拉斯的學生帕索斯就用反證法證明了「根號二」無法寫成兩個整數的比值，現在一般中小學生也都知道這個證法。

● 我：無理數不難發現，為什麼生活中大家很少用呢？

● 浣熊法師：就像剛才說的，很多人做不到觀念的解脫，始終認為無理數「無理」，不願承認他的存在，甚至包括畢達哥拉斯本人，他擔心學生的發現會動搖學派的根基，便將希帕索斯囚禁起來，最終殘忍地將他丟進大海，這是數學史上的一個悲劇。

從「數字可以寫成兩個整數的比值」這一觀念解脫出來，你才能真正理解無理數。有理數和無理數合稱實數。有了實數，任意長度的線段都能精確地被表示，數軸上任意一點也都能找到對應。

●我：那這樣所有的數都有了吧，為什麼還會有虛數的存在呢？

●浣熊法師：差矣，你被「數字是為了表示長度、大小而存在」這一觀念束縛，解脫它，才能看到虛數。虛數和實數合稱為複數。

●我：什麼樣的東西是虛數的呢？是不是離日常生活更遠了更難理解了呀？

●浣熊法師：日常生活中就有，如果我們用+1表示向前走一米，用-1表示向後走一米，那麼怎麼表示向左向右呢？這時候就可以有個「i」來表示向左一米，「-i」表示向右一米。你看這樣多麼自由，前後左右都可以表示了，甚至「既向前又向左」這個量可以用「1+i」來表示。除此之外，「x 的平方等於-5」這樣的方程也有解了。

●我：我明白了，原來人們是不斷突破原有觀念的束縛，發現這些更有意思的數。

●浣熊法師：是的，這些數字演變的過程，就是人類思想自我解脫的過程。