薛定諤方程的構造方法

05-02

李群自己知道不能和他們談天，便只好向孩子說話。
「你學過量子力學么？」
我略略點一點頭。
他說「我便考你一考。薛定諤的方程，怎樣寫的？
又好笑，又不耐煩，懶懶的答他道，「誰要你教，不是 $ihbarfrac{partial Psi }{partial t}=hat{H}Psi$ 么？」

李群顯出極高興的樣子，「對呀對呀！薛定諤方程有四種推法，你知道么？」
旁人故意的高聲嚷道，「李群，薛定諤方程是湊出來的！怎麼能有推法？」
李群睜大眼睛說，「你怎麼這樣憑空污人清白……」
爭辯道，「構造不能算湊……構造！……讀書人的事，能算湊么？」
接連便是難懂的話，店內外充滿了快活的空氣。

薛定諤方程作為波動力學的核心和基礎，地位和牛頓力學中的 $vec{F}=mvec{a}$ 一樣。自然是不能被推出來。即使將薛定諤方程視為實驗定律，也不妨去用其他方式去湊或者說構造，猜出薛定諤方程的形式。

歷史上薛大師究竟如何得到這個方程或許已經不能被世人知道。就連波動力學「黎明」前，在阿爾卑斯山，激發薛大師靈感的女郎是誰也無從考證。

這裡羅列出四種比較容易令人接受的方法。

1，自由粒子的波函數

從光學裡面容易得到一束單色平面波的波函數可以寫成

$Psi(vec{r},t)=Psi_{0}e^{2pi i(vec{k}vec{r}-t u)}$

其中 $vec{k}$ 為波矢， $u$ 為頻率。

由德布羅意物質博可以得到 $vec{p}=hvec{k}$ 與 $E=h u$ 。

帶入波函數，容易得到 $Psi(vec{r},t)=Psi_{0}e^{frac{i}{hbar}(vec{p}vec{r}-Et)}$

簡單的求偏導得到 $ihbarfrac{partial Psi }{partial t}= EPsi$ ， $p_xPsi=frac{ hbar}{i}frac{partial }{partial x}Psi$

類比非相等論動能公式 $frac{p^2}{2m}=E$

猜測得到 $EPsi=-frac{hbar^2}{2m} abla ^2 Psi$

類比經典力學中的哈密頓量 $H=T+V$

得到 $ihbarfrac{partial Psi }{partial t}=-frac{hbar^2}{2m} abla ^2 Psi +V Psi$

2，通過Hamilton-Jacobi方程

我們有經典力學的Hamilton-Jacobi表述 $H+frac{partial S}{partial t}=0$

如果作用量為 $S=frac{hbar}{i}lnPsi$

我們就可以很容易的得到 $ihbarfrac{partial Psi}{partial t}=HPsi$

當然這裡的H是算符形式

對這個古怪的作用量進行一個波強行解釋

我們將波函數寫為 $Psi=e^{frac{i}{hbar}S}$ 發現首先的具有波動的形式，其次當 $hbar$ 越小 $Psi$ 越顯著當 $hbar ightarrow0$ 波函數幾乎變為狄拉克函數回歸經典粒子。

這裡需要提一下如果我們把薛定諤方程寫為 $ihbarfrac{partial Psi }{partial t}=-frac{hbar^2}{2m} abla ^2 Psi +V Psi$

並且用 $S=frac{hbar}{i}lnPsi$ 去替換上式。會得到 $frac{partial S }{partial t}+frac{( abla S)^2}{2m}+V-frac{ihbar}{2m} abla ^2 S =0$

與經典系統相比多出了一項 $-frac{ihbar}{2m} abla ^2 S$ ，這項包含在量子系統的哈密頓算符里。如果我們把他拿出來寫成如下形式 $frac{partial S }{partial t}+H_C=frac{ihbar}{2m} abla ^2 S$ ( $H_c$ 為經典哈密頓量)。

發現如果 $hbar ightarrow0$ 上式退化為經典H-J方程。

3，通過構造拉氏量

我們已經有了作用量 $S=frac{hbar}{i}lnPsi$ ，嘗試能不能通過構造拉氏量去得到薛定諤方程,但是波函數是一個多元函數的變分問題，簡單的令 $S=intfrac{dS}{dt}dt=int(frac{partial S}{partial q}dot{q}+frac{partial S}{partial t})dt=int(frac{1}{m}(frac{partial S}{partial q})^2-H)dt$ 十分牽強，

如果非要一條道走到黑就得到了 $S=int(frac{( abla S)^2}{2m}-V)dt=int{(-frac{hbar}{2m}frac{( ablaPsi)^2}{Psi^2}-V)}dt$ ,

憑藉直覺將上式改寫為 $S=int{(-frac{hbar}{2m}( ablaPsi)^2-VPsi^2+EPsi^2)}dvec{r}dt$ ，

之後當作關於 $Psi$ 的變分去做，就能得到 $EPsi =-frac{hbar^2}{2m} abla ^2 Psi +V Psi$ ，

關於這個E給一個牽強的解釋因為拉氏量加任意常數不會影響變分結果為了更一般我們加上常數E後同時乘 $Psi^2$ ,然後變分。emmmmm.....我自己都很難說法我自己啊。

如果令 $mathfrak{L}=frac{hbar}{2m} ablaPsi ablaPsi^*+VPsiPsi^*+ frac{hbar}{2i}(Psi^*frac{partial }{partial t}Psi-Psifrac{partial }{partial t}Psi^*)$

對這個拉氏量進行變分就能完美的得到一對共軛的薛定諤方程這個拉氏量的構造方式參見這篇文章吧用變分原理詮釋薛定諤方程_愛學術

4，通過算符演化

對一個量子系統我們用兩個正交的態 $|psi>,|varphi>$ 。

定義一個算符 $U(Delta t)$ ,這個算符作用到態上表示態演化了 $Delta t$ 時間 $|psi(t+Delta t)>=U(Delta t)|psi(t)>$ .

接下來我們要引入一個假設如果兩個態在某一時刻正交那麼，系統演化任意時間後這兩個態依舊正交。 $<varphi (t)|psi(t)>=<varphi (t+Delta t)|psi(t+Delta t)>=0$

讓我們展開看看 $<varphi (t)|U^dagger (Delta t)U(Delta t)|psi(t)>=<varphi (t)|psi(t)>$

容易得到 $U^dagger (Delta t)U(Delta t)=I$ （ $I$ 為單位算符）這樣我們發現系統的演化算符是一個酉算符。

進一步我們對 $U(Delta t)$ 泰勒展開得到 $U(Delta t)=1-iDelta tH$

利用 $U^dagger U=(1+iDelta tH^dagger)(1-iDelta tH)=I$ 忽略二階小量得到 $H^dagger=H$ , $H$ 是一個厄密算符。

結合量子力學公設我們知道厄密算符可能對應的是可觀測量，我們把 $H$ 稱為哈密頓算符。

做好了準備工作剩下的就很顯然了，對小量 $Delta t$

$|psi(t+Delta t)>=U(Delta t)|psi(t)>=(1-iDelta tH)|psi(t)>$

移一下項

$frac{|psi(t+Delta t)>-|psi(t)>}{Delta t}=-iH|psi(t)>$

令 ${Delta t ightarrow0}$ ,得到

$ifrac{partial|psi(t)>}{partial t}=H|psi(t)>$

我們就得到了一般形式的薛定諤方程。

5，後記

這篇總結我上學期開學就開始寫了，然後拖延症發作，一直拖到寒假才完成。拖了4個月。罪過罪過。計算上可能會有偏差如果有人發現還請指正。立個Flag,接下來寫Ising模型。

P.S.圖片自己拍的,文章同步在王大可的備忘錄，歡迎訪問。

參考文獻
[1]楮聖麟編, 楮聖麟. 原子物理學[M]. 人民教育出版社, 1979.
[2]不能說的秘密：薛定諤方程是怎麼推導出來的
[3]Roncadelli M, Schulman L S. Quantum Hamilton-Jacobi Theory[J]. Physical Review Letters, 2007, 99(17):170406.
[4]文偉, 孫昱艷. 用變分原理詮釋薛定諤方程[J]. 湖南城市學院學報(自然科學版), 2007, 16(1):40-42.

[5]Susskind Leonard. Quantum mechanics : the theoretical minimum[M]. Basic Books, a member of the Perseus Group, 2014.