豬和群同態定理們、單群以及可解群（一）

05-03

數年後，小豬站在黑板前，卻未回想起讀到Colonel Aureliano Buendía站在行刑隊前回想父親帶他去參觀冰塊的那個遙遠下午的下午。他憶起了另一些事，包括初遇同態定理一家的慘劇。

對於 $G=left(V,;E,;Lambda ight)$ ,小豬想過 $V$ 可作為群的集合，並通過 $Lambda$ 對 $E$ 中元素的定向表示群的同態，可他未曾知道，群同態世界的統治者們會因這個平凡的想法而動怒，施法扭轉未來，使小豬在大學裡實變拿了C。同樣凄慘的還有數分和復變，這讓小豬成了系裡的3C認證產品……

在學生第五次叫他時，小豬回過神來。

「定理5是群同態基本定理，」他說，「設 $alpha:H ightarrow H_{1}$ 。 $forall gin H_{1},exists hin H, alphaleft(h ight)=g$ 。 $kerleft(alpha ight)=N$ 。則 $H/Ncong H_{1}$ 。」

他寫下證明——

定義 $eta:H/N ightarrow H_{1},forall g in H,etaleft(gN ight)=alphaleft(g ight)$ ,易知 $eta$ 是雙射，且可證明 $etaleft(aNbN ight)=etaleft(abN ight)=alphaleft(ab ight)=alphaleft(a ight)alphaleft(b ight)=etaleft(aN ight)etaleft(bN ight)$ 。如此，即得到 $H/Ncong H_{1}$ 。

「在同態基本定理的基礎上，不難證明同態定理1、2。」小豬說。

他繼續寫下——

設 $N riangleleft H, alpha:H ightarrow H/N, Nsubset M, M riangleleft H$ ,則有 $H/Mcongleft(H/N ight)/left(M/N ight)$ 。

「證明過程，恰可驗證你們對同態基本定理、陪集和商群的理解。」

對於 $alpha$ ，有 $Msubsetalpha^{-1}left(alphaleft(M ight) ight)$ ,由於 $Nsubset M$ ，對 $forall a in alpha^{-1}left(alphaleft(M ight) ight)$ ,顯然 $exists min M, alphaleft(a ight)=alphaleft(m ight)$ 。因為 $M=igcup_{iin I} m_{i}N$ ，其中，若 $e eq f$ ,則 $m_{e}Ncap m_{f}N=varnothing$ ,所以可知 $ain mN$ 。於是，有 $alpha^{-1}left(alphaleft(M ight) ight)subset M$ 。綜上，有 $alpha^{-1}left(alphaleft(M ight) ight)= M$ 。此外，不難證明 $M riangleleft HLeftrightarrow alphaleft(M ight) riangleleftleft(H/N ight)$ 。

在此基礎上，可有如下如下設定——

$M_{1} riangleleftleft(H/N ight)$ ,則做商群 $left(H/N ight)/M_{1}$ ,並建立自然同態 $eta:H/N ightarrow left(H/N ight)/M_{1}$ 。如此，顯然可得 $Hcongleft(H/N ight)/M_{1}$ 。並且， $kerleft(alphaeta ight)=alpha^{-1}left(M_{1} ight)=M$ ， $M_{1}=M/N$ 。於是可得 $H/Mcongleft(H/N ight)/left(M/N ight)$ 。

「上述定理是群同態定理1，此外，不難設想另一情況。」小豬說。

設 $N riangleleft H, alpha:H ightarrow H/N, Msubset H$ ，則有 $MN/Ncong M/Mcap N$ 。

「證明思想基本一致。」

顯然， $alphaleft(M ight)subset H/N$ ,此時的 $kerleft(alpha ight)=Mcap N$ 。故有 $M/Mcap Ncongalphaleft(M ight)$ 。此外，對 $forall m_{1},m_{2}in M, n_{1},n_{2} in N$ ,可以驗證—— $left(m_{1}n_{1} ight)left(m_{2}n_{2} ight)=m_{1}m_{2}m_{2}^{-1}n_{1}m_{2}n_{2}=m_{1}m_{2}left(m_{2}^{-1}n_{1}m_{2} ight)n_{2}=m_{1}m_{2}n_{1}n_{2}in MN$ ，

$left(m_{1}n_{1} ight)^{-1}=n_{1}^{-1}m_{1}^{-1}=m_{1}^{-1}m_{1}n_{1}^{-1}m_{1}^{-1}=m_{1}^{-1}left(m_{1}n_{1}^{-1}m_{1}^{-1} ight)=m_{1}^{-1}n_{1}^{-1}in MN$ 。

這使 $MNsubset H$ 。此外，顯然 $N subset MN$ ，且由陪集的定義知 $alphaleft(MN ight)=alphaleft(M ight)$ 。如此，即有 $MN/Ncongalphaleft(M ight)$ 。綜上，有 $MN/Ncong M/Mcap N$ 。

「上述定理是群同態定理2。行……現在，同態定理一家再次團聚了。」小豬說。

「Sir，為什麼是『再次團聚』？」一個學生問。

「那，」小豬說，「就是以『很久很久以前』起始的故事了……」