樂理大全

這篇文和其他樂理書最大的不同，就是從聲的本質探討樂理，通俗易懂，對音樂愛好者普及樂理是不錯的借鑒。

一、基本概念

音樂是由聲音構成的藝術，而聲音是一個寬泛的概念，泛指人耳可以感知的聲波。聲波是一種機械波，由物體（聲源）振動，帶動空氣振動，從而形成聲波。聲波在一段時間內波峰的個數稱為它的頻率，標準計量單位為Hz（赫茲），即一秒內波峰的個數。聲波振幅的大小體現了聲音的強弱，也就是音量的大小。聲音以某種規律進行頻率和強弱的變化就形成了音樂，我們要研究的就是這「某種某律」。

音：可被人類的聽覺所感知的一段時間內的聲波。通常我們可以用一段聲波的波形來表示一個音。

音源：能夠產生音的設備/裝置/器官等，比如樂器、聲帶等。

音樂，就是由一個或多個音在相同或不同的時間內被產生，相互疊加所形成的一段聲波。

二、音的複合

最普通最基本的聲波就是簡諧振動所產生的正弦波了。傳統樂器一般都依靠簡諧振動發聲，比如琴弦、簧片、鼓面等的振動，因此發出的也是正弦波。一個純粹的正弦波聽起來是什麼樣的呢？請欣賞220hz正弦波的聲音：

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d1/220_Hz_sine_wave.ogg

可是為什麼這與我們平時聽到音樂完全不同呢？這就要提到純音與複合音的概念了。

以某個固定頻率進行簡諧振動所產生的聲波稱為純音，比如音叉的聲音或剛才聽到的220hz正弦波。但世界上並不存在絕對的純音，就像世上沒有絕對的化學單質一樣。只有由電聲設備發出的純音可以看作非常近似的純音，座機電話拿起聽筒聽到的聲音就是近似的純音。與純音相對的就是複合音，它由多個純音組合而成。而音樂就是由大量不同的複合音構成的。

複合音的產生方式有無窮多種，但有兩種在音樂中最為常見：一種稱為諧波疊加，一種稱為拍音疊加。

三、諧波

我們將一個標準的正弦波作為基準，稱作基波。諧波就是比基波的頻率高整數倍的波（維基百科），鋼琴按下一個鍵或小提琴拉響一根弦都會在基波的基礎上產生多個諧波，音樂人往往將諧波稱為「泛音」。例如某個純音聲波的頻率是f，將此純音作為基波，其諧波的頻率可為2f、3f、4f、……，這些諧波分別稱為二次諧波、三次諧波、四次諧波等。如圖2所示。

圖2中最上面的是基波，從第二行往下分別是一次諧波、二次諧波等等。若一個複合音由基波與及其諧波相疊加構成，則稱該複合音為諧波疊加，它的頻率為基波頻率。基波與諧波疊加構成複合音的過程見圖3所示。

實際上，所有傳統樂器所發出的音都是複合音，由振幅最大的基波和一些列振幅較小的諧波疊加構成。那麼我們就可以給出單音的定義了：單音特指單一樂器演奏獨立的一個音發出的聲波（諧波疊加），其基波的頻率稱為音高。不同樂器的單音所疊加的諧波在頻率和振幅上都不相同，因此樂器的音色千差萬別。小提琴的單音就是典型的一種諧波疊加，下載收聽，聲音對應的波型為：

由純音疊加形成小提琴聲音的過程，下載收聽。由於每種樂器都有其特別的構造，因此合成一個單音的各個諧波的振幅之比也因樂器而不同。此外，樂器本身的共振所產生的音也混雜於其中，因此不同樂器奏出相同的音高，音色卻具有巨大差別，可以讓我們輕易分辨。

四、拍音

拍音是另一種複合音，它是由來自同一種樂器或不同樂器的兩個單音相互疊加，形成具有規律性強弱變化的振動。與諧波不同的是，拍音一般要求這兩個音的振幅相近，但不要求頻率為倍數關係。

由於單音本身就由純音疊加而來，再將單音相互疊加，情況將會變得非常複雜。因此為方便描述，下文將以純音的疊加來解釋拍音的形成。圖5中黃色、紅色和藍色的波型分別為頻率200Hz，250Hz和300Hz的純音。黃色與藍色兩純音疊加形成綠色的拍音波形，黃紅藍三純音疊加形成黑色的拍音波型。

分析可知，每當兩個單音的波峰相遇就形成拍音的波峰，波谷相遇就形成拍音的波谷，這樣的複合音從波型看起來存在周期性的振幅變化，像節拍一般，因此稱為拍音。拍音的頻率與疊加的兩個單音的周期（頻率的倒數）的比值相關，如果兩個單音的頻率都是整數，那麼拍音的頻率就等於它們周期最小公倍數的倒數。

頻率相差一倍的兩個單音疊加形成的拍音，其頻率等於較低的音的頻率，這樣的拍音聽起來就像一個音。例如鋼琴上的任意兩個Do音之間的頻率都相差一倍，點擊這裡有一架在線鋼琴，t鍵是中央Do，s鍵是高音Do，同時按下就形成了上述拍音。

如果兩個單音中至少有一個是無理數，那麼拍音的情況就要複雜一些了。此時兩個單音的波峰永遠不會相遇，波谷亦然，只會出現非常接近的情況。如果兩個波的波峰以一個近似的周期s相互靠得很近，那麼不太精確的人耳就會「認為」這兩個單音的疊加形成了頻率為1/s的拍音。這裡面的原理確實比較複雜，我們舉例子來說明。比如單音a的頻率f a =3 √ fa=3

，單音b的頻率為f b =5 √ fb=5

，它們的周期分別為s a =1/f a sa=1/fa

和s b =1/f b sb=1/fb

，它們的波形如圖6所示。

圖6 頻率為 3 √ 3

的波形（橙）與頻率為5 √ 5

的波形

無論是看起來還是理論分析，這兩個波的波峰永遠不可能相遇。下面我們把這兩個波進行疊加，便得到圖7所示波形。

圖7 兩個波疊加形成的波形

兩波疊加後形成了周期近似為4×s a ≈3×s b 4×sa≈3×sb

的拍音。這是因為3 √ /5 √ ≈0.7746 3/5≈0.7746

，接近於0.75，也就是3:4。因此這個拍音的「聽感頻率」大約為5 √ /4 5/4

到3 √ /3 3/3

之間。（以上圖表及其數據均在Excel中用公式生成，同學們可以自行實驗）。

總結一下，正如諧波一節所介紹的，無論是鋼琴的中央Do還是高音Do，每個單音都是由多個諧波疊加而成，而多個單音的疊加又形成了拍音。來自不同樂器的單音和拍音相互交織形成和聲，最終一系列的和聲構成了美妙的音樂。實際上這段話有描述不嚴謹的地方，但由於目前朋友們的基礎知識還不夠，因此可先這樣理解，相關的知識在後面的課程中會逐一介紹。

在第一講中我們已經提到了純八度（中央do和高音do），想必朋友們已經用耳朵有了感性的認識，並知道純八度的拍音是由頻率比為1:2的兩個單音構成。物理和數學的原因決定了純八度的兩個單音的頻率比例，但這遠遠不足以構成音樂的，接下來我們就要學習如何在這兩個單音之間產生更多的單音。在展開這些知識之前，本著理工科追本溯源的精神，我們先了解一下樂理是如何發展起來的，然後再談理論。

一、樂理髮展史

人類的三大類樂器類別：弦樂，管樂和打擊樂有其分別的來源，但音律系統則基本上是從音調變化最豐富的弦樂上發展起來的。弦樂就是利用琴弦的振動發出聲音，琴弦振動部分的長短、粗細、質量、密度等因素綜合決定了它振動的頻率。一般來講兩根同質琴弦的長度比等於它們所發出聲音頻率的反比，這成為了制定音律標準的最佳性質。

小提琴琴弦的振動（慢鏡頭）

要使不同的音組合在一起形成音樂，必須定出這些音的相對音高，並將悅耳動聽的音進行組合；此外還要定出絕對音高，使同一首音樂到哪裡演奏都有相同的效果。因此早期的人們以一根固定長度的琴弦為準，將其作為標準音高，然後用各種不同的比例切分這根琴弦，從而得到了多種不同的音高。這些音律的具體制定過程我們留到後文再行說明。

為了便於記錄和表達這些音高，人們發展出了表示相對音高的十二平均律系統和表示絕對音高的五線譜系統。這些音律系統歷經上千年的變革與改進，並隨著數學水平的發展不斷提高而趨於穩定，最終形成如今龐大而複雜的理論體系。後文的相關內容也是圍繞相對音高和絕對音高兩大系統展開的。

目前世界上最通用的音律體系——十二平均律的歷史非常悠久，最早可以追溯到公元400年左右的中國人何承天。公元16世紀的明朝人的朱載堉（朱元璋的九世孫）將十二平均律發展為完整的理論水平，到16世紀末，由當時教皇國的傳教士利瑪竇將十二平均律法從中國帶回西方，直到17世紀才開始在歐洲大陸廣泛流傳。中國人發明了十二平均律，但中國文明自清朝開始的衰落，使得中國古典音樂的理論水平與西方音樂的差距越來越大，直到沒落於下里巴人。

圖1 明代朱載堉的《樂律全書》中對十二平均律的記載

當西方有了十二平均律這一黃金律法，新的和聲理論、自然調式（念「Diao Shi」，不念Debug）和各種相關調性也就隨之產生了，而這些系統則幾乎全是由西方發展出來的。我們目前聽到的所有古典音樂和現代音樂（包括流行、搖滾、歌舞劇）都是基於西方的音樂理論。

西方古典音樂（維基百科）可以說發源於文藝復興時期（1400年到1600年），在文藝復興時期結束時，音樂藝術已經有了長足的發展。人們獲得了改進的和新發明的各種樂器， 比如新式的小提琴、羽管鍵琴（也叫大鍵琴，是鋼琴的前身）、雙簧管（尚未從蕭姆管中完全脫胎）等等。還得到了新的演奏和作曲技法，比如更複雜的和聲技巧，對位法技巧等等。當然，還有最重要的東西：五線譜。在文藝復興時期之後的巴洛克時期，這些新玩意幫助音樂家們進一步的挖掘音樂理論層面的東西，現代樂理就是在這一時期逐步發展完善的。

圖2 一台巴洛克時期的羽管鍵琴

西方音樂長期以來都是為教會服務的，西方宗教也非常重視音樂藝術的發展。音樂課是教會學校的主要課程，很多音樂理論也都來自於教會音樂家。當時的調式系統稱作「古教會調式體系」，一共有12種，現在只有少數仍在使用，包括對應自然大調的「伊奧尼亞」調式和對應自然小調的「愛奧尼亞」調式。關於調式與調性的知識，會在後面的內容中做進一步介紹。

歷史課就暫時上到這裡，下面我們開始分別介紹十二平均律和五線譜。

二、十二平均律

十二平均律（維基百科）是音樂中最底層的系統，規定了兩個單音的相對音高，就像計算機中的二進位系統規定了各種運算方式一樣。簡單來講，十二平均律體系將一個「純八度」（暫不理會為什麼叫做「純八度」）分成12份，每份稱為1個半音，兩份為1個全音，以此定出所有中間的單音。

為了表示相對音高，首先要給出音程的概念：音程就是兩個音之間的頻率差距，用音數來衡量。頻率不同則音不同，而從數學上講頻率是連續的，因此音也是連續不可數的。但是十二平均律系統規定了離散的音的產生方法，這樣我們就可以「數出」音程了。

上節課我們已經學到頻率比為1:2的兩個單音之間的音程被定義為「純八度」，例如某個單音的頻率為f，那麼它與頻率為2f的另一個單音之間就構成了一個「純八度」音程。按照十二平均律系統，我們可以以f為基準音，在區間[f,2f]內得到13個不同的單音，它們的頻率分別為：f×2 112 f×2112

，f×2 212 f×2212

，…，f×2 1112 f×21112

，f可以視為f×2 012 f×2012

，2f可以視為f×2 1212 f×21212

。如果將f設定為440Hz，從f到2f這13個單音的頻率就可以用前述公式算出，把它們畫在坐標系中如圖3所示。

圖3 440Hz到880Hz的「純八度」音程中的13個單音

注意每兩個相鄰的單音之間是等比關係，比例是2 √ 12 212

，因此它們所構成的是一條指數曲線。根據上述方法，給定任意基準頻率f，我們都可以在區間[f,2f]中構造出13個單音。十二平均律系統規定任兩個相鄰的音之間的音數為0.5，那麼給定兩個音的音程為t（即兩音之間相隔的音的數量*0.5）和較低的一個音的頻率為f a fa

，我們就可以算得較高那個音的頻率f b fb

：f b =f a ×2 2t/12 =f a ×2 t/6 fb=fa×22t/12=fa×2t/6

。13個單音之間不同的音程一共只有12種，人們給它們都起了名字：

相差音數0.511.522.533.544.555.56音程名稱小二度大二度小三度大三度純四度三全音純五度小六度大六度小七度大七度純八度相差音數0.511.522.533.544.555.56音程名稱小二度大二度小三度大三度純四度三全音純五度小六度大六度小七度大七度純八度

我把這些音程名稱都標記為紅色，就是為了提醒大家：整個樂理中有半數以上的內容都和音程相關，因此必須記住這些音程名稱和對應的相差音數，否則後面的內容無法開展。

為了方便描述，我們將音數為1的音程稱為全音，將音數為0.5的音程稱為半音。由此可知：小二度到大二度是1個半音，小三度到純四度是1個全音，純五度到純八度是2個全音加1個半音，等等。實際上，每一個音程還有其它的名稱，這叫做「異名同音」。例如小三度又稱為增二度，大六度又稱為減七度等等，有興趣可參見維基百科：音程。音數更多的音程也是存在的，但一般很少用到。

上面所述的相關概念都是關於相對音高系統的，也就是說十二平均率規定了音與音之間的頻率比例。接下來要講解內容就和絕對音高相關了，我們將使用一種新的語言來描述，那就是五線譜。

三、五線譜入門

五線譜是一種音樂語言，可以用來記錄幾乎任何形式的音樂。五線譜中記錄的最主要的東西就是音符，一個音符表達一個單音，每一個音符都具有絕對的音高。也就是說五線譜上的同一個音符在不同樂器上演奏出來的音高是相同的（忽略調校的差異）。

圖4 《北京歡迎你》（部分）

圖4所示為一個簡單五線譜，五根線從低到高分別稱作第一線、第二線、第三線、第四線和第五線。五根線中間的四個區間分別稱為第一間、第二間、第三間和第四間。這些「線」和「間」都對應不同的音高。從理工科觀點來看，一條五線譜是一個二維直角坐標系，從下到上是頻率軸，從左到右是時間軸。

圖4最左邊的符號是高音譜號，現在常用的譜號只有四種：高音譜號、中音譜號、次中音譜號和低音譜號，這裡先介紹最常用的高音譜號。高音譜號代表該五線譜是一個高音譜，即確定了標記在線和間上的音符的音高。高音譜號中間的那個圈的圓心表示一個稱作G的音的位置，而高音譜號本身也是由大寫字母G演化而來的。歷史上還出現過位置更靠下的高音譜號，不過現在已經不再使用了。

圖5 常用的四種譜號

再看圖4所示的樂譜，高音譜號的右邊有一個b，這叫做降號，它畫在第三線上表示該譜的調性是F大調。降號的右側有兩個數字：2和4，它們表示節拍，即以四分音符為1拍，每小節2拍。樂譜的中間和末尾處有兩條切斷五條線的豎線，這是小節標記，兩條豎線之間是一個小節（高音譜號視為第一個小節的開始）。小節和節拍都是和節奏相關的東西，先混個眼熟即可。

線上和線間的音符標記是由一個黑豆、一條短豎線和連在短豎線一端的波浪線構成，見圖6所示。

圖6 音符的畫法

黑豆稱為符頭，短豎線稱為符桿，波浪線稱為符尾，符頭和符尾分別畫在符桿的上下兩端。可以符頭在上符尾在下，也可以反過來，這是由符頭在五線譜中的高低位置決定的。如果符頭位置較高，就應畫在符桿下方。應當注意的是還有一種音符沒有符尾；還有一種音符連符桿都沒有，用圓圈表示符頭；一些音符的符尾還可能連在一起，形成一條粗橫線，這些都和音符的時長有關，我們現在只關心符頭的高低位置，也就是音符的音高。

五線譜中的每個音符都有一個名稱，即音名。音名一共有7個，每個音名又對應一個唱名，它們分別是：

音名ABCDEFG唱名LaSiDoReMiFaSo

唱名是由一位義大利音樂理論家桂多·達萊佐從一首拉丁語聖歌的歌詞中抽取出來的。而音名則是由後來的英國人嫌拉丁唱名太麻煩，就用英語字母代替了。但過去無論是過去還是今天，A都是基準音（與主音概念不同，注意區別），ABCDEFG這樣7個音連在一起形成的音階稱為「小調音階」，不過後來大調比小調更為普及，便趨向於使用「大調音階」（CDEFGAB）的主音C作為一個純八度音程的開始。顯然，人們使用的全部音符數遠多於7個，因此唱名及其音名是循環使用的。五線譜中的所有音符的音名如圖7所示。

圖7 五線譜表達的所有音符

如果音符過高或過低，在五條線中畫不下了，還可以在五根線的上面或著下面加線，這些線叫做「下加X線」和「上加X線」，X可以是「一」、「二」、「三」……。比如圖7最低的音B就畫在「下加五線」上。

圖8 五線譜的表示範圍

注意相鄰的同名音符之間的音程是八度……等等，八度？難不成是第一節課講的……？嗯，說對了，第三間的C比下加一線的C的頻率的確高了一倍！再高一倍我們還可以得到上加二線的C。從圖7的譜號可知這是一個高音譜，人們規定高音譜中第二間的La，也就是圖中上面一排倒數第三個音符A，頻率是440Hz。以A為基準，其它音符的頻率就可以用十二平均律系統從中音A推算出來了，這就是基準音A的概念。然而此時我們還沒有學習五線譜中各音符之間的相對音高，這一部分內容留到下一講。

格里格《培爾金特》選段

上面這個五線譜就要複雜得多了。高音譜號的後面有4個#，這是升調號，對應的調性是E大調。節拍是6/8拍，即以八分音符為1拍，每小節6拍。下面的P為強弱標記，表示演奏的力度（音量大小），而音符上面的弧線則是延音記號，與演奏技法相關。最後有一個特殊符號，稱為休止符。五線譜里的名詞還有很多，就像我們計算機語言中的語法是非常豐富的。更進一步的內容下一講再說。

樂理髮展史

人們很早就發現長度比為1:2的兩根弦同時撥響可以發出非常協調的聲音，但僅僅使用2倍關係的弦長所構造出來的音過於單調了，可以說根本不足以形成音樂，因此人們就嘗試用其它的弦長比來發聲。一根固定在平面上的弦如果從中間任意位置按在平面上，就形成了左右兩段成不同長度比且可以分開振動的弦，人們就是用這種方法嘗試不同的弦長比的。

圖1 弦長的分割（左手按下，右手撥動）

我們把原弦長所發出的頻率記為f。用手指按在弦的正中間，即1/2處，形成的兩段弦長是相等的，它們發出的聲音頻率都為2f，這樣純八度音程就形成了。接下來人們嘗試在純八度音程的中間找到其它的音，首先按在弦長的1/3處，在較長的那一段人們聽到了一個新的音，它的頻率是3f/2，聽起來與f非常協調。信心滿滿的人們接下來又嘗試按在弦長的1/4處，但較長那一段的音聽起來雖沒有前一個音程那麼協調，但也挺不錯，它的頻率是4f/3。用同樣的方法人們又得到5f/4、6f/5、7f/6……然而，人們很快就遇到了麻煩：首先，新得到的音的頻率與f的疊加變得越來越不協調（其原因將在下文「和聲」部分詳細說明）；其次，新產生的音與前一個產生的音之間也不存在任何協調關係，這樣下去是不可能產生悅耳動聽的音樂的。人們只能另闢蹊徑。

圖2 三種最簡單的分割

不過這時人們已經獲得了3種最簡單也最重要的弦長比，分別是1:2、2:3和3:4，它們來自於3個不同的分割點。為了獲得新的頻率，又要與f或之前已產生的頻率保持協調，那麼能否以這3種分割點為基礎，從較長的那一段再以同樣的比例繼續細分呢？當然是可行的，因為協調性可以傳遞！1/2即是原弦長的一半，再將其細分為1/2就得到原弦長的1/4，協調性沒問題，但這仍然是純八度音程，沒有出現新的音程。而從2/3處再細分情況就大不相同了，2/3再細分2/3，就得到了與原弦長比為4:9的長度。9f/4是一個全新的頻率，顯然它與3f/2的協調程度和3f/2與f的協調程度是相同的。再從4/9中分割出2/3，得到頻率27f/8……一直用(2/3) n (2/3)n

切分下去就得到了如下的頻率序列：

n

頻率

倍率13f/21.529f/42.25327/83.375481f/165.06255243f/327.59375n

頻率

倍率13f/21.529f/42.25327/83.375481f/165.06255243f/327.59375

上表中的「倍率」是指其頻率除以f的值。然而這樣找音存在一個問題，那就是後面產生的音已經超過以f開始的一個純八度音程了。我們把這5個音和4f/3一併標記在數軸上，如圖3所示。

圖3 7個音所隸屬的八度音程

看以看出，這6個音（黑x表示）分別隸屬於3個不同的純八度音程（紅x表示）。4f/3和3f/2隸屬於[f, 2f]，9f/4和27f/8隸屬於[2f, 4f]，81f/16和243f/32隸屬於[4f, 8f]。既然我們要確定的只是一個純八度音程中的相對位置，那最簡單的辦法就將這6個音的頻率都除以所在純八度的最低頻率。這樣得到的新的6個倍率，從小到大排列<1.125 1.265625 1.333 1.5 1.6875 1.8984375>。f自身的倍率為1，2f為2，把這8個倍率一起畫在二維坐標系中，見圖4所示。

圖4 7音階折線（藍色）與理想指數曲線（橙色）對比

挺奇妙的不是嗎？與理想的指數曲線相比誤差並不大。這不僅意味著音和音之間存在協調關係，而且按這樣的倍率關係，從任意置開始的連續7個音都能形成一條聽起來相當不錯的音階。這就是7音階的來歷。這種方法由f產生的第1個音是3f/2，除4f/3之外的其它因都是由3f/2產生，而f到3f/2是純五度關係，因此這個方法被人們稱為「五度相生律」，世界歷史上多個民族都獨立發明出五度相生律，但一般認為最早是由古希臘哲學家畢達哥拉斯提出的。

然而，隨著音樂水平的不斷發展，這7個音慢慢變得不夠用了，而且相鄰兩個音之間的頻率比並不統一，跟不上樂器音準的提高速度。因此後來人們又發明出了十二平均律系統，直到現在7音與12音並存的局面。篇幅關係，12音階的來歷我們放在下一次歷史課上講解。下面的內容我們會學到關於五線譜的新知識，並以此為基礎了解到為什麼有的音程聽起來協調，而有的不協調，這些都是和聲理論要研究的內容。

二、五線譜進階

1. 五線譜中的相對音程

上一講我們已經知道了高音五線譜中，第二間的A的音高定為440Hz，那麼我們如何來確定其它音的音高呢？下面將會按照十二平均律的法則在五線譜中建立相對音高系統，請看圖5。

圖5 放大的沒有任何升降標記的高音譜

上圖是一個放大的最簡單的高音譜，可以看到第一線上的音名是E，第一間的音名是F，其它以此類推。右側的「全」和「半」表示相鄰兩個音符之間的音程是全音還是半音。至於為什麼是這樣規定的，我們會在下一講《調式與調性理論》中進一步展開。確定了音符之間的相對音程，並確定了一個基準音高A，我們就可以開始推算所有其它單音的頻率了。

首先為了方便的表示眾多音符，下文將使用科學記音法（見維基百科）來表示所有的音符，即兩個字元表示一個音：XN。其中X為音名，可以是{C, D, E, F, G, A, B}中的任意一個；N為該音的序號，從0開始由低到高編號。N每增加1，音的頻率就翻倍，並規定第C4位於高音五線譜的下加一線。根據科學音調記號法，高音譜下加一線上的C記作C4，往高依次是D4，E4，F4……往低依次是B3，A3，G3……。所有的C音在五線譜上標記如圖6所示。

圖6 五線譜上所有C音的音符

比A4低純八度的音符是A3，其頻率為A4頻率的一半，即220Hz，比A4高純八度的音符是A5，頻率為A4頻率的二倍，即880。A0到A7間所有A音的頻率見下表：

基準音名A0A1A2A3A4A5A6A7頻率(Hz)27.55511022044088017603520

要計算其它音符XN的頻率f X fX

，則應以XN下方的第一個A音AN的頻率f A fA

作為基準，然後算出XN與AN之間的音數t，那麼XN的頻率為：f X =f A ×2 2t12 =f A ×2 t6 fX=fA×22t12=fA×2t6

。例如，由於第三間的C音（即C5）與其下方第一個A音，即A4之間的音程是小三度，音數t=1.5，因此C5的頻率為：440×2 1.56 ≈523.25113Hz 440×21.56≈523.25113Hz

。當然，也可通過純八度音程的倍率關係計算，比如C4的頻率為C5的1/2，約為261.62557Hz。

2. 升降記號

五線譜中，音符的後面可以添加升降標記，表示該音符升高半音或降低半音。升號為#，降號為b。顯然，有兩個音是沒必要升的：E升半音就是F，B升半音就是C，而這就是鋼琴鍵盤布局形成的原因。如下圖所示：

圖7 鋼琴鍵盤中部分鍵位的音名（下面是白鍵音名，上面是黑鍵音名）

鋼琴上的黑鍵比左邊的白鍵高半音（也可以說是比右邊的白鍵低半音），因此白鍵B和E的右邊就沒有黑鍵。此外，所有的降音都可以由另一些音的升音代替，比如Bb就是A#，Gb就是F#。那既然如此，為什麼不用升號代替全部的降號呢？原因就是為了可讀性，正如寫代碼時不能為了減少代碼量就把所有的if語句都換成三目運算符。

如果一段譜子中的某個音符幾乎都要升半音或降半音處理，那就可以在高音譜號的右側，這個音符所在的一條線或一個間上標記升降號。

圖8 肖邦《練習曲 Op.25》第3首選段（略有刪改簡化）

在圖8所示樂譜中，第三線上標記了一個降號b，表示這個譜子里的所有B音都需降半音，除非另外在個別音符上標記升降或還原記號。音符被升降半音後的頻率可根據之前學過的相鄰音符之間的頻率倍數關係計算。升高半音後的頻率為原頻率的2 √ 12 212

倍，降低半音後的頻率為原頻率的1/2 √ 12 1/212

倍。比如C5升高半音的頻率即為523.25113×2 √ 12 ≈554.3653Hz 523.25113×212≈554.3653Hz

。

3. 雙音譜

圖9 肖邦《C大調練習曲》選段

圖9是一個鋼琴譜，這下我們終於見到了高音譜號和低音譜號並存的樣子了。標有高音譜號的上面一排是高音譜，標有低音譜號的下面一排是低音譜，它們分別對應鋼琴健盤上不同的鍵區。低音譜的「線」和「間」所對應的音符與高音譜不同，如圖10所示：

圖10 低音譜各音符及其音名

其實低音譜中的音名也沒有那麼難記，實際上它和高音譜是相互連接的，中間剛好只隔了一條加線。高音譜的下加一線就是低音譜的上加一線，而這條線上的音就是中央C，即C4。和高音譜號類似，低音譜號的圓心標記的是F3在譜中的位置，即第四線上。

低音譜中各音的頻率計算與高音譜是相同的，只要搞清音程關係，從基準音推算即可。比如在前面的鋼琴譜中可以看到低音譜的最左端有兩個C（它們是用圓圈表示的），一個是第二間的C3；另一個是下加二線上的C2。C3和C2的頻率分別為C4頻率的1/4和1/8，而C4的頻率在前面已經計算過了。

利用上面的知識，你已經可以計算任何一個五線譜中每個音的頻率了，八度音程中各音之間的音程可參見第五講後面給出的音程表。那麼接下來我們介紹對一些特別的頻率進行合成的問題——和聲。

三、和聲

和聲，是指由超過一個單音所組合而成的聲音。你可能會發現，和聲的定義與拍音的定義是非常相似的。的確如此，所有的拍音都是和聲，但和聲不一定會產生拍音。首先，人耳可以聽到的聲波頻率範圍大約為20Hz到20000Hz，如果和聲產生的頻率超過這個範圍，通常就不能稱之為拍音了。其次，不同的樂器發出的單音進行疊加也可以稱為和聲，這也不是拍音。最後，拍音要求所有單音同時發出，而和聲則無此要求，只要一個音在另一個音結束之前發出，它們交疊的部分就形成了和聲。

肖邦《C大調練習曲》的前兩個小節，下載收聽。這是由一架鋼琴演奏的曲目，前兩個小節的樂譜在本講第一節中給出。一開始的那個低沉的重音就是C3和C2的和聲。朋友們可以在在線鋼琴上試著彈一下C3和C2這兩個單音的和聲（對應鍵盤上左起第1個鍵和第8個鍵）。樂譜中這個和聲從一開始延續到了第二個小節結束，在這期間，鋼琴還奏出了一共31個音符，這每一個音符與持續的低音和聲又形成了更複雜的和聲。下面請收看《C大調練習曲》的完整版，請朋友們注意鋼琴家的左手總是保持按下的狀態，都是在利用聲音的延續製造和聲。

在西方古典音樂理論中，和聲主要研究兩個單音構成的和聲，三個或以上單音構成的和聲一般稱為和弦，我們放在下一節討論。在一個純八度範圍內，兩個單音的和聲一共有12種，即與12種音程相對應。在鋼琴鍵盤上以中央C鍵，即C4為準，請試聽一下C4分別與D4、E4、F4、G4、A4、B4以及C5鍵同時按下的和聲效果。聽過以後有沒有發現某些和聲比較悅耳，而某些則比較難聽？比如C4和C5同時按下（純八度音程）的和聲就毫無違和感，就像只有一個音；而C4和D4同時按下（小二度音程）就非常刺耳難聽。這究竟是為什麼呢？

圖11 鋼琴鍵盤與五線譜對照圖

就是因為拍音！上一講我們學到，相鄰兩個音之間的頻率比為2 √ 12 ≈1.059463 212≈1.059463

，我們將這個數記為p，那麼各音程的頻率比（即相距某個音程的低音比高音）可由其音數t按公式：1/(2t) p 1/(2t)p

算得。由於除純八度外的所有音程的頻率比均為無理數，因此他們的拍音的頻率只能按他們頻率的近似整數比來計算，詳見第一講第三節。計算近似整數比的數學過程是比較複雜的，這裡篇幅有限，不做進一步的討論。接下來我們分別換算一下12個音程的頻率比。

音程近似頻率比近似整數比最小公倍數小二度1:1.0615:16240大二度1:1.128:972小三度1:1.195:630大三度1:1.264:520純四度1:1.343:412三全音1:1.417:1070純五度1:1.502:36小六度1:1.595:840大六度1:1.683:515小七度1:1.785:945大七度1:1.898:15120純八度1:21:22音程近似頻率比近似整數比最小公倍數小二度1:1.0615:16240大二度1:1.128:972小三度1:1.195:630大三度1:1.264:520純四度1:1.343:412三全音1:1.417:1070純五度1:1.502:36小六度1:1.595:840大六度1:1.683:515小七度1:1.785:945大七度1:1.898:15120純八度1:21:22

按近似整數比的最小公倍數排序，可以得到如下和聲序列：<純八度，純五度，純四度，大六度，大三度，小三度，小六度，小七度，三全音，大二度，大七度，小二度>

通過在鋼琴上彈奏對比可知，越向左邊的和聲越「協和」，但也越空洞，就是好像只有一個音，不夠飽滿；越向右邊的和聲越「難聽」，但也越飽滿。人們根據這一特徵，將和聲的協和程度分為「極完全協和」、「完全協和」、「不完全協和」、「不協和」與「極不協和」五類，如下圖所示：

圖12 各音程的協和程度

我們做一個實驗來驗證。比如C4和G4之間是完全協和的純五度，他們的弦長比是3:2，最小公倍數是6，那麼他們的拍音頻率就是弦長為C4弦長2倍的弦所發出的聲音的頻率，顯然就是C3的音。我們可以在在線鋼琴上同時按下i（C4）和x（G4）鍵，然後試著同時按下i、x和q（C3）鍵聽一聽效果。可以感覺到C4和G4把C3增強了。同理，A6和B6這兩個小二度音程的弦長比是16:15，最小公倍數240，拍音頻率對應的音為B2，然而B2與A6和B6相隔太遠了，我們無法聽出拍音增強的效果。

和聲理論已經發展為一門學科，稱為和聲學，內容是相當複雜的，這裡只做簡單的科普性介紹，感興趣的同學可以閱讀《和聲學》。

一、樂理髮展史 · 之三

上一次的歷史課已經研究了人們是如何用五度相生律構造出7音階的過程，並知道這7個音分別是：{1, 1.125, 1.265625, 1.333, 1.5, 1.6875, 1.8984375}，它們對應的音名是：{C, D, E, F, G, A, B}。後來人們不斷的改進音階的生成方式，並增加純八度音程內的音數，直到十二平均律這一黃金律制產生。今天我們就來研究7音階是如何演化為12音階的。

隨著製作工藝的不斷進步，樂器的音準越來越高，人們慢慢意識到五度相生律產生的7音階與理想曲線相比誤差實在是太大了。我們現在知道，當相鄰的音都為等比關係時，音階才最平滑。而原始7音階中的第3個音和第7個音看起來是那麼突兀，這樣構造出來的音樂確實不夠好聽。後來有人提出「純律」學說，但究竟是誰最早提出的至今還存在爭議。有人認為純律和五度相生律都是畢達哥拉斯提出或整理的，也有人認為純律在中國2400年前的戰國時代就已開始應用，還有人說是古希臘學者亞理斯托森努斯發明……不過可以肯定的是純律在2000多年前就已被人類所掌握。純律構造音階的方法與五度相生律不同，它是由純五度（2:3）和大三度（4:5）為素材確定7音階的律制。純率生成的7個音的頻率分別是：{f, 9f/8, 5f/4, 4f/3, 3f/2, 5f/3, 15f/8}。嗯，確實比五度相生律的那些巨大的分數簡單多了，那他的平滑度怎麼樣呢？請觀察圖1。

圖1 五度相生律音階（藍），純律音階（綠）和理想音階（橙）對比

好是好點，不過就那麼一點點而已，而且還打破了五度相生律產生的內部協調性。此外7個音也開始顯得不夠用了，人們希望通過變調使得音樂更加豐富，看來還得繼續探索。

之前人們為了計算第7個音，就要計算2/3的5次冪，這對於2000多年前的計算水平來說確實有點難了。然而數學的發展又一次給音樂帶來了新生。人們通過計算髮現，2/3的12次冪約為129.74634，約等於基準頻率f上面的第7個八度音的頻率f×2 8 =128f f×28=128f

，那麼可否繼續應用五度相生律再產生一些音呢？看下錶：

nn

頻率

倍率13f/21.529f/42.25327/83.375481f/165.06255243f/327.593756729/6411.390672187/12817.085986561/25625.6289919683/51238.44341059049/102457.665011177147/204886.4976

頻率

倍率13f/21.529f/42.25327/83.375481f/165.06255243f/327.593756729/6411.390672187/12817.085986561/25625.6289919683/51238.44341059049/102457.665011177147/204886.4976

由這些倍率產生的12音階為（用倍率除以它下面的第一個2 n 2n

而得）：{1, 1.0679, 1.125, 1.2014, 1.2656, 1.3515, 1.4238, 1.5, 1.6018, 1.6875, 1.802, 1.8984}，把他們畫在坐標系中，請觀賞圖2。

圖2 五度相生律產生12音階（新產生的五個音為綠色）

震驚了嗎？多麼平滑的一條折線，而且新產生的音都被「均勻」地安插在了原先的7音階中間。我們不得不驚嘆造物主的神奇，這也是音樂是世界上唯一通行的語言的原因吧！由於之前的七個音和它們的音名{C, D, E, F, G, A, B}已經非常流行了，且新產生的音都可以看作是用原7音階中的某個音升半音而得，因此這5個新產生的音就被叫做{C#, D#, F#, G#, A#}，這也正是為什麼E和F、B和C之間是半音的原因。

看起來已經很完美了，還有改進的空間嗎？答案是有的。儘管五度相生律生成的12音階已經相當平滑了，但仍然不是理想的「等比」音階，這樣就會導致一個潛在的問題。我們舉例來說，大家都在KTV唱過歌，應該知道有些KTV的點播機有升降音的功能，當伴奏比較高而人聲又吼不上去時，可以用降音功能把伴奏的音高統一降低一些，這樣聽起來仍然是非常自然的。比如一首歌原先的音的序列是<E F G G F E>，降低半音就是：<D# E F# F# E D#>。聽起來仍然非常自然的原因在於這一序列內部的音程比例關係沒有變，仍然是以2 √ 12 212

為基準的。在音樂術語中，這個過程叫做轉調。然而要在五度相生律生成的12音階系統中進行轉調就會產生偏差，因為它內部的音程比例關係不是固定的。設想一群樂師給皇帝演奏曲目，樂器的音準都是預先調好的，結果皇帝一時興起想高歌兩句但又唱不上去高音，就命令樂師低兩個音演奏，結果聽到的伴奏完全不是剛剛那麼回事了，這是多麼尷尬的一件事。

後來人們又想出了各種修正的辦法，比如構造一些等差數列來修正每個音與理想曲線的誤差等等，但這些方法既複雜又不能從根本上解決問題。這時整個音樂界都在急迫的等待新律制的誕生。直到公元17世紀的明朝人朱載堉提出十二平均律，並由利瑪竇帶到西方，才拯救西方音樂界於水火之中。雖然十二平均律看起來那麼完美，但也不是完全沒有問題。有人認為十二平均律破壞了純四度和純五度的協調關係，也就是說我們之前講的F音應該是C音頻率的4/3=1.33333倍，G音應該是F音的3/2=1.5倍，而在十二平均律中它們的倍率分別是：2 512 ≈1.33484 2512≈1.33484

和2 512 ≈1.49831 2512≈1.49831

。其實所差無幾，不是嗎？在通常的演奏音域範圍內，人耳幾乎是不可能聽出這些區別的，這也是十二平均律沿用至今而五度相生律和純律都已遭淘汰的原因。

二、和弦

和弦（念「xian」，不念「xuan」，通常發兒化音）原指弦線，在音樂理論里，是指組合在一起的兩個或更多不同音高的音。在歐洲古典音樂及受其影響的音樂風格里，更多時候是指三個或以上的音高組合。和弦的組成音，可分開演奏，亦可同時演奏。分開演奏的，我們稱為分解和弦。

和弦的結構類型很多，如果按照組成音的多寡來區分，和弦可以分為三和弦、七和弦及九和弦等。三和弦是由三個音組成，七和弦是由四個音組成，九和弦則由五個音組成。如果按照和弦組成音之間的音程結構來分類，又可分為大和弦、小和弦、增和弦和減和弦四種形態。

1. 三和弦

以任意一個音n1為基準，稱為根音，向上三度得到n2，向上五度得到n3，這三個音的和弦稱為三和弦。三和弦可以再分為大三和弦、小三和弦、增三和弦和減三和弦。這些三和弦的構成如下表所示：

名稱[n1,n2][n1,n3]大三和弦大三度純五度小三和弦小三度純五度增三和弦大三度增五度減三和弦小三度減五度

上表中[n1,n2]表示從n1到n2的音程，[n1,n3]表示從n1到n3的音程。注意增五度就是小六度，減五度就是三全音，這是在上一講中提到過的異名同音現象。接下來我們就用鋼琴的音階來舉一些三和弦的例子。

圖4 鋼琴白鍵之間的音程

如果你已經完全理解了上一講的內容，很容易就可以推算出圖3所示的對應關係。C和E兩鍵之間共有兩個全音，因此是大三度，C和G是純五度，那麼C、E和G三個白鍵就構成了大三和弦，請在在線鋼琴上試彈（對應鍵盤上的T、U和O）。C和Eb（E左邊的黑鍵）是小三度，那麼C、Eb和G三個鍵構成了小三和弦（在線鋼琴的黑鍵可以用滑鼠點）。同理可知：C、E和G#（G右邊的黑鍵）構成增三和弦，C、Eb和和Gb（G左邊的黑鍵）構成減三和弦。

需要注意的是，如果換一個音作為起始，那麼和弦對應的鍵位就會發生明顯的變化，且發出的聲音色彩也會完全不同。以A為根音的大三和弦是A、C#和E，小三和弦是A、C和E，增三和弦是A、C#和E#，減三和弦是A、C和Eb。12種大三和弦對應的鍵位如圖5所示，可在在線鋼琴上試彈，要按從左到右，從上到下的順序依次試彈每個大三和弦，每個三和弦的三個音以12321的順序按下。

圖5 所有大三和弦的鋼琴鍵位

用電腦鍵盤來按鍵是比較方便的，如果您找不著鍵位，下面給出了試彈的按鍵序列。注意大寫字母要同時按下shift鍵和字母鍵，這就是黑鍵的按法，空格處稍做停頓。

tuout TiOiT yIpIy YoPoY uOaOu ipspi IPSPI oadao OsDsO pSfSp PdgdP aDGDa

將每個大三和弦的n2音降半音，可得到一共12個小三和弦，它們的按鍵序列為：

tYoYt TUOUT yipiy YIpIY uoaou iOsOi IpSpI oPdPo OADAO psfsp PSgSP adGda

通過比對我們可以聽出，小三和弦的「協調」程度不如大三和弦，這一原因請朋友們用之前學習的和聲理論進行分析。增三和弦和減三和弦的情況與之類似，朋友們可以自行推算所有增三和弦與減三和弦的音名。

2. 七和弦

七和弦比三和弦多加一個音n4，它於n1的音程為七度。七和弦又分為：大小七和弦、大七和弦、小七和弦、小大七和弦、增七和弦、增七和弦和半減七和弦一共7種，每一種七和弦的音的配置參見維基百科，此處不再贅述。

有了和聲與和弦理論，就可以進入更高一級的主題，那就是調式與調性。

三、調式

先給出調式的定義：調式是若干個具有不同音高的音的集合，這些音互相之間具有某種特定的音程關係，並在調式中擔任不同的角色。調式是決定音樂風格最重要的因素之一，調式和調性結合，決定了該段音樂所用的調。

現在最常使用的調式大體分為大調式和小調式兩種，又細分為自然大調、旋律大調、和聲大調、自然小調、旋律小調、和聲小調等等，但無論哪種調式都具有7種不同的音，依次分別稱為：主音、上主音、中音、下屬音、屬音、下中音和下主音，其中下主音有時也稱作導音。這什麼會有這樣的名稱呢？回顧我們上一講提到的五度相生律就會明白：主音生屬音，而中音位於主音和屬音之間，主音下面是下主音、上面是上主音，屬音下面是下屬音，屬音和下主音之間的另一個中音稱為下中音。額，還是很麻煩吶，只能死記硬背了。。。不過還有另一種福音命名法：主音、I級音、II級音、III級音、IV級音、V級音、VI級音和VII級音（「福音」二字是我給起的，呵呵）。不同的調式規定了這些音之間不同的音程，但不規定音的具體音高。也就是說調式仍是建立在以十二平均律體系為基礎的相對音高系統之上的。調式系統里最重要的是自然大調和自然小調，這兩個自然調式一定要熟記，下面分別學習。

1. 自然大調

自然大調是最常見的調式，大多數流行歌曲都採用自然大調。自然大調的規則是：除了「中音和下屬音」，「下主音和主音」這兩對音之間的音程是小二度之外，其他相鄰兩音之間都是大二度 （音數為1，即1個全音）。因此一個自然大調從主音開始依次往高的音程可以這樣來記憶：「全全半全全全半」，這也就是著名的大調音階。而一個主音到下一個主音之間的音程剛好是純八度，也就是將一個主音當做1，計數到8的那個音與主音的音程。這下我們終於知道為什麼叫做「純八度」了，呵呵。

圖6 一個典型的大調音階

圖6是一個最簡單的大調音階，不包括任何的升降標記。其中音符下方的弧線代表全音音程，上方的折線代表半音音程。我們可以在在線鋼琴上試彈一個大調音階<C4 D4 E4 F4 G4 A4 B4 C5>，對應鍵盤上的按鍵是：tyuiopas。

2. 自然小調

自然小調是和自然大調同等重要的調式，在古典音樂中應用非常廣泛。它的音階為「全半全全半全全」。看起來與自然大調音階只是相位不同而已，但實際上由於作曲時要先定調，就像寫程序先設計框架結構一樣。定了調之後就有了主音以及其它音的相對音高關係，而作曲時都要圍繞主音進行。以主音為根音的三和弦稱為主和弦，大調使用大三和弦，而小調使用小三和弦，因此聽起來是有很大差異的。

圖7 一個典型的小調音階

圖6所的小調音階為<A3 B3 C4 D4 E4 F4 G4 A4>在在線鋼琴上對應的鍵盤按鍵是：ertuyiop

3. 其它小調式

大調一般只有一種，就是自然大調。蘇聯老毛子發明的什麼和聲大調、旋律大調都是瞎胡鬧。但小調還分為和聲小調、旋律小調和現代小調三種，但都比較少見，有些只在特別的音樂類型中出現，比如現代小調一般只出現在爵士樂中。

為什麼小調會出現變種呢？這是因為小調有著天生的缺陷。自然大調的下主音和主音之間的音程是半音，即小二度，很好的體現了對主音的傾向。舉例而言，從一個大調音階<C、D、E、F、G、A、B、C>中的B到C的過渡是非常自然和平緩的，這樣作曲時就方便的使用跨越純八度的和聲。然而小調的下主音和主音之間的音程是全音，即大二度，欠缺了傾向主音的性質，因此人們就嘗試將自然小調音階的導音提升半音，這樣就得到了和聲小調音階。旋律小調和現代小調就更加複雜一些，牽扯不同的上行音階和下行音階，這些過於專業的內容就不再贅述了。

4. 大小調關係

前面所說的絕對音名相同但相位不同的大小調稱為關係調，比如降E大調（降E大調是指該調採用的主音為Eb）的關係小調叫做c小調，降E大調音階是<Eb、F、G、Ab、Bb、C、D>，c小調的音階是<C、D、Eb、F、G、Ab、Bb>，可以看出它們採用的音名都是相同的，但做了移相。因此從升降號上是無法區分大小調的，但是通過觀察譜子里使用的主音就很容易區分了。現在朋友們的基礎知識不夠，等一下講介紹了調性理論後，我們會來練習從譜子中看出調式與調性。

大調一直以來都是作曲家鍾愛的調試，而相比之下小調的音樂就比較少了，古典音樂里二者還相差不多，但流行樂中的小調就少得多了。這主要是因為小調的歌唱性沒有大調強，常用來表達負面的情感，比如悲傷、陰沉、恐怖等，在電影、遊戲中的背景音樂中常可以聽到。不過流行歌曲也是有一些的，比如《白樺林》、《愛的供養》、《傷心太平洋》等，國外的流行歌曲到是多一些，而且有人研究發現：從1960年代以來越來越多的流行歌曲是以小調作曲的。。。

一、樂理髮展史 · 之四

前面的歷史課我們了解到「確定相對音高」的律制系統是如何在人類的歷史長河中慢慢演化，直到形成今天廣泛應用的十二平均律系統。這次歷史課我們主要回顧用來「確定絕對音高」的記譜系統的發展歷程。

在人類音樂史上曾經出現過很多種不同的記譜法，大致可分為三大類：文字譜、符號譜和線譜。有不少學者認為文字譜和符號譜應該歸為一類，但在下愚見認為，這二者處於不同的發展階段，且由於文字系統的複雜性（表音文字和表意文字等），文字譜的意義與符號譜是完全不同的。閑言碎語不多講，我們進入正題。

儘管世界上任何一個地方的人類都在數千年前就開始創造音樂了，但是由於東西方文明的巨大差異，導致發展出了完全不同的記譜系統。早在公元前25世紀，古埃及人就已經製造出了至少幾十種各不相同的樂器。儘管現在已經無法考證古埃及人是如何記錄音符的，但幾乎可以肯定的是：他們已經發展出了比較完善的音樂理論，並且使得每一種樂器都能夠合理的校準來配合大型樂隊的演奏。

在東方，最古老的樂譜出自於華夏文明，春秋時期的《禮記·投壺》記載了至今發現的最古老樂譜：鼓譜，它是用符號方框和圓圈記錄的。到漢代司馬遷的《史記》「律書第三」中寫到：「……九九八十一以為宮。三分去一，五十四以為徵（念zhi，三聲）。三分益一，七十二以為商。三分去一，四十八以為羽。三分益一，六十四以為角。」。它的意思是取一根用來定音的竹管，長為81單位，定為「宮音」。然後將81乘上2/3，就得到54單位，定為「徵音」。將徵音的竹管長度54乘上4/3，得到72單位，定為「商音」。將商音72乘2/3，得48單位，為「羽音」。羽音48乘4/3，得64單位，為「角音」。而這宮、商、角、徵、羽五個音高，被稱為中國的五音。這種音律方法稱為「三分損益法」。

後來人們繼續應用三分損益法構造出了另外7個音，並給這一共12個音都起了名字。與現代音名的對照分別是：黃鐘（C），林鐘（G），太簇（D），南呂（A），姑洗（E），應鐘（B），蕤賓（Gb/F#），大呂（Db/C#），夷則（Ab/G#），夾鍾（Eb/D#），無射（Bb/A#），仲呂（F）。以這些音名第一個字作為簡寫就是中國古代使用最廣泛的記譜法：「樂律譜」，它屬於文字譜的一種。

但是樂律譜的記載太麻煩了，因此人們又發明了「工尺譜」。唐朝已經有工尺譜，傳到宋朝極為流行。它具有7個唱名：上、尺、工、凡、六、五、乙，大至對應於西方的{Do, Re, Mi, Fa, So, La, Si}。相信最初工尺譜是某種樂器的樂譜，是固定音名，但後來在不同樂器和樂種廣泛流傳以後，工尺譜逐漸變成不固定的唱名。

工尺譜是一種符號譜，但它並非一種精確的記譜法，有很大的空間讓表演者作即興發揮。在傳統中國音樂里，樂譜只是一個記載的媒體，表演者並不會完全依據樂譜演奏，他可以加花（加上裝飾音），在節奏上也有一定的自由。至於如何演奏才是合適的手法，是約定俗成的，以師父傳徒弟的口授心傳的方式繼承。因此不同流派會有不同的演繹風格，這也是導致中國古代樂理水平進步相當緩慢的主要原因。

自18世紀早期，音叉（於1711年發明）的使用確實為音高帶來了一個可靠的標準，然而差異仍然無法避免。比方說，亨德爾在1740年使用對應為A音的音叉，其頻率為422.5赫茲，但在1780年時他使用同樣對應A的音叉則有不同的頻率：409赫茲，後者低了將近一個半音。不過，到了十八世紀末，中央C上的A所使用的頻率漸漸地演進成在400赫茲到450赫茲之間。

上面提到的頻率乃是經過現代儀器測量所得，當時的音樂家並沒有方法得到如此準確的數值。雖然馬蘭·梅森在16世紀早期便對聲音的頻率有了初步的了解，直到十九世紀，在德國物理學家約翰.施布雷在1830年所做的努力之前，人們都沒有足夠精確的科學方法測量頻率。至於用赫茲取代每秒循環次數，則是直到20世紀才做出的改變。

法國政府曾在1859年2月16日通過了一個法案定義中央C上的A為435赫茲。這是把音高尺度標準化的第一個嘗試。這個標準之後在法國之外也非常流行，隨著時間發展它漸漸從法國音高、大陸音高，最後甚至被稱為國際音高。這個標準音域使得中央C的頻率調整為約258.65赫茲。而另有一個稱為「哲學的」或「科學的」的音高標準，把中央C定義為256赫茲，為此必須把A音調為約430.54赫茲。由於此法提供了一些數學上的便利，所有的C音都是二的次方（C1=32、C2＝64、C3＝128、C4＝256），因此也得到了一些的支持者（包括我在內，呵呵）。不過比起A = 435赫茲，此法並沒有得到官方的認可，也因此沒有被大量採納、使用。此種頻率規格即稱為「物理學音高」。

1926年，美國樂器廠商首先制定了以440Hz作為A音的標準，並以此標準生產樂器。要知道那時的美國音樂實力已經強大到足以與歐洲抗衡，而美國的樂器則更是行銷全球。因此到1936年美國標準委員會正式推薦將中央C上面的A音的頻率定為440Hz。1955年，國際標準委員會ISO正式接受這一推薦，A-440就成為了ISO的第16號標準。從那時起，全世界的音樂就都在一個調上了。

關於音調的歷史大概就是這些了。接下來我們就具體研究一下，這些調到底是什麼調。

二、調性

有了十二平均律，轉調不再成為問題，因此人們就能夠以不同的音為主音按大調式或小調式構造出不同的音階，這些設定了主音的音階序列就稱為調性。先來研究大調式的所有調性。

我們已經學過大調的音程關係為「全全半全全全半」，那麼從12音階中的任意一個音作為主音都可以得到一個調性。再次列出12音階的音名：

01234567891011CC#/DbDD#/EbEFF#/GbG G#/AbAA#/BbB

調性的名稱就是主音的音名，12音階中有7個音名是不帶升降號的，因此以這些音為主音的調性的名稱是統一的。然而還有5個音都具有兩個音名，例如第2音可以用C#表示也可以用Db表示。這樣一來調性的命名就變得混亂了。為了統一命名方式，人們規定這12個調性的名稱分別為：{C, G, D, A, E, B, F#, Db, Ab, Eb, Bb, F}，並規定以C、G、D、A、E、B、F#為主音的調性用升號#標記五線譜的升降，其它調性用降號b標記五線譜的升降。

首先我們很容易就可以做出C大調，因為以C為主音的7音階<C D E F G A B>都不帶升降號，因此C大調譜是沒有升降號的，見圖6所示。

圖6 C大調音階

根據之前所學知識，我們很容易構造出其它大調，構造所有小調的原理也相同。這樣我們就一共可以獲得12個大調和12個小調。其中12個大調見圖7所示。

圖7 除C大調外11個大調的音階（Gb和F#實為同一個調）

由於Gb調中每個音符都降了半音，F#調中每個音符都升半音的本質是相同的，因此和它們是同一個調。此外，有些譜子會用7個降號來表示Cb大調，實際上C降半音就是B，那麼Cb大調就是B大調。還有7用個升號表示C#大調，C升半音就是Db，因此C#大調就是Db大調。這樣一來，Bb大調所有音升半音就得到了B大調，Eb大調所有音升半音就得到了E大調，F#大調所有音降半音就得到了F大調，其它的升降大調也是相同。大調確定了，關係小調也就可以確定了。為了便於記憶這24個調，有人發明了五度圈圖示法，見圖7所示。

圖7 調性五度圈

在五度圈的最外圈是大調的12個調性，內圈是各大調對應的關係小調。順時針相鄰兩個大調的主音相差五度，小調亦然。圈裡面的數字是該調性的五線譜中升降號的數量。最頂上的C大調沒有任何升降號，順時針方向升號依次增多，逆時針方向降號依次增多。最下面的Gb調和F#調實際上是一個調，只是記譜不同而已，可使用6個降號表示，也可使用6個升號表示。

對於五度圈右邊的每個升號大調，從F開始以逆時針方向數，到它前面的2格為止，都是它的音階中要升半音的音符，例如E大調的音階中F、C、G、D都升半音，對於B大調的音階中，F、C、G、D、A都要升半音。對於左側的降號大調，則是從B開始以逆時針方向數，到它正對面調都是它的音階中要降半音的音符，例如Ab大調的音階中B、E、A、D都要降半音，Db大調的音階中B、E、A、D、G都要降半音。

五度圈還有一些規律要知道，從任何一個音開始逆時針數，第一個音與它的音數是2.5；順時針數第一個是3.5。這個規律可以幫你用五度圈來推算音程。比如要求G到F#的音程，從五度圈可知F#是G順時針方向第5個，(5*3.5)%6=5.5，即大七度。再看從F到Ab，是逆時針第3個，(3*2.5)%6=1.5，即小三度。取模神馬的對碼農來說簡直弱爆了，呵呵。

用上面的規律和方法，我們可以從五度圈中可以推導出所有的音程關係、音階和調性，因此說大半的樂理都在五度圈裡了。但它的結構複雜，被眾多文藝生視為洪水猛獸，對於理工科人如何呢？告訴您一個小技巧那就是肥貓下樓吃麵包的故事。上午11點，貓餓了，所以Fat Cat Go Down And Eat Bread； 到下午6點貓又餓了，再次Go Down And Eat Bread。也就是說從五度圈的11點開始，順時針方向依次是FCGDAEB，從6點鐘開始又是GDAEB，由於是晚上這些音都要降半音，即在後在面都加個b。這樣就好記多了吧？為了方便朋友們複習和查閱，我製做了一幅音程表和五度圈的一體圖，見圖8。

圖8 音程表與五度圈（點擊放大）

音程與音數的對應記憶起來稍難一些，但是也有技巧。音程口決是：「小大小大純三純，小大小大純」。前7個從小二度開始，後5個從小六度開始。掰指頭數一下這個音程排在總第幾位，除以2就是它的音數。比如小七度排在第10位，音數就是5。

到這裡所有有關音調的基礎樂理就介紹完了，有不周之處，請多擔待。不過如果您把之前的課程都認真的學通了，那麼這些樂理知識足以讓您在學習任何樂器時都不會對音和調的問題產生困擾。此外，如果您還想嘗試音樂創作或評論，這些內容也是重要的基本功。

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