Big Rudin閱讀記（Chpt 2）

05-03

第二章是POSITIVE BOREL MEASURES，非常重要的一章，所以這裡會多講一點。總的來說就是用Riesz Representation Theorem證明Lebesgue measure存在並有某種唯一性。這麼做的好處首先當然是足夠一般，事實上。Rudin連locally compact Hausdorff space上的Borel Measures一起講掉了，順便還自然帶一個outer regular和一定條件下的inner regular，再加個條件（緊集上有限和每個開集上sigma compact）就保證了regularity。於是Lebesgue measure只是一個regular measure的實例。這麼搞當然比具體定義出Lebesgue measure再證明那些由Riesz Representation Theorem和regularity保證的性質優雅得多。

Rudin一直喜歡這樣的處理，也就是說，拿出那些最關鍵的性質來做構造一個類滿足balabala，實際應用的時候拿這個類來做實例化。BTW，baby Rudin里的一個印象深刻的例子是連續函數逼近定理的一般敘述，與之相對，大部分書都是用構造性證明。這大概是一種面向對象的數學證明了。

在這一章你大概也可以知道別的測度的存在性也是用積分這麼構造出來的。順便由於Riesz Representation Theorem，繁瑣的集合計算變少了，取而代之的是用很多拓撲和抽象積分的上下界搞來搞去，大概會讓某些證明更清晰一點。不過也許有人更喜歡集合論也說不定。

第二章一上來講了integration as a linear functional，在實分析之前，常微分老師大概會反覆向你灌輸這個觀念，至少壓縮映射在常微分的基礎理論中能夠得到優雅的應用（相對於用數學分析的觀點），以及常微分老師大概還會講講delta函數作為線性泛函的例子，從這章你會知道delta函數還對應一個測度。

接下來是Topological preliminaries，核心是Urysohns Lemma on locally compact space，大概是說任給開集V和緊集K，K在V中，則K和V的特徵函數之間有一個連續函數。在微分幾何里也能見到這個定理，可以用來推單位分解，Theorem 2.13和流形上的單位分解也很相似（Rudin就叫它單位分解）。

第一個比較重要的定理是Theorem 2.7，2.5說緊集可以和一點分開，而2.6告訴你locally compact space的有限交性質，然後用緊集K的每一點由局部緊，應用有限覆蓋可以生長出一個更大的緊集，再用一個閉集分開V補和V的內部一部分，取交就完成了構造。

之後的上下半連續定義把連續性的充要條件分開了，好處這兩個性質是在下上確界下依然保持，BTM，上下半連續剛好對應閉集和開集的特徵函數，所以在這裡你大概可以看出在Urysohns Lemma的構造中，可以從兩邊取上下半連續函數列的極限，如果收斂到一個函數，那麼它就是連續的，而這兩個函數列並不好找，為此，你至少要有一個K，V間的一個集列——對應特徵函數列（或它關於1的余），在一個稠密可列集上把函數值一個一個填上去。如果把K想像成一個閉區間，V是一個開區間，那麼你大概是在V0和V1閉包之間一片一片地堆小區間，或者說在畫有理點上的等高線。其中的困難是，有理數列不能從小到大排成一列，所以技術上你得用一些間接的方法。

Riesz Representation Theorem的證明篇幅很長，主要是證明一些並不困難的構造滿足你要的性質這種技術細節。最重要的是(1)，(7)，根據我為數不多的來自概率論的經驗，造對偶的東西往往可以用上確界。Urysohns Lemma則用來證明可列可加性的半個不等式，不完全的regularity延拓了(1),(7)的情況。這樣作出的可測集已經足夠多，包含了全體Borel集，所以沒有加入全部的regularity也是合理的。

加入sigma compact主要加強的條件是STEP V中的K可以改進成閉集，這樣閉集的inner regularity可以繼承到任意可測集上，而且V-K還是開的。接下來只要把這個新測度和Riesz Representation Theorem得到的測度比較就可以繼承Riesz Representation Theorem中其他的性質。

現在可以構造Lebesgue measure了，既然Lebesgue measure要推廣Riemann integral，那麼直接把線性泛函類似於Riemann integral的部分和一樣定義出來取極限，有理由猜測這個極限用Riesz Representation Theorem誘導出來的測度是一個好的推廣。同時我們還期待Lebesgue measure一些別的性質，which保持原來積分運算里的平移不變，從而也保持換元的性質，這些都被歸結於仿射變換總誘導出新的測度，它們的取值取決於一個小方塊。最後我們知道Lebesgue measurable集，嚴格來說在非基數的意義，上比P(R)少，又比Borel集多。這個證明用到了一個等價類，又用了平移這個技巧，類似地在R^2中類似地可以證明可測曲線的測度是0，考慮把垂直平移商掉得到的代表元集。

Lusins Theorem提出了可測函數幾乎就是一個緊支撐集上的連續函數。而Vitali-Caratheodory Theorem 則說：Lebesgue可積函數可以被平均相差任意小的上下半連續函數夾住，你大概能看出這是一個和STEP V差不多平行的結論。

這一節習題不少，之後再補充。