關於開方運算

先講個故事：

提問者在在黑板上寫下了一個201位的數字：

916 748 679 200 391 580 986

609 275 853 801 624 831 066

801 443 086 224 071 265 164

279 346 570 408 670 965 932

792 057 674 808 067 900 227

830 163 549 248 523 803 357

453 169 351 119 035 965 775

473 400 756 816 883 056 208

210 161 291 328 455 648 057

801 588 067 711

回答者很快得出這個數字的23次方根是546372891。

這是一個曾記錄在《環球》1982年第三期雜誌里發生的故事，也在華羅庚先生的一篇《天才與鍛練》中提到過（華老說回答者算錯了後兩位應該是71，我用matlab驗算了一遍並沒有算錯此處有圖有真相：

）。

關於開高次方有一個結果：

a^23次方的最後兩位數和a^3的最後兩位數相同

當a=2或5時，我們可以驗證這是對的；

假設a不能被2和5整除，我們只需證明a^20的末尾兩位數是01或者a^20-1是100的倍數即可。

這是比較顯然的，a為奇數，所以a^2-1被8整除，故a^20-1被8整除。又因為a^4-1=(a-1)(a+1)[(a-2)(a+2)+5]，a不被5整除，所以a-1、a+1、a-2、a+2中有一個被5整除，於是a^4-1是5的倍數，從而a^20-1是25的倍數，又因為a^20-1被8整除，故a^20-1被100整除。該命題得證（這個結論可以有很多變種，以後再說）。

我也不知道這個結果有什麼用，總之覺得結論和證明都很簡潔，說不定在以後的某個瞬間可以用到。我只知道以前華羅庚先生在坐飛機時，旁邊有個人看到報紙上有一道難題，那道題是求59319的立方根，當時華脫口而出39，讓那個人驚嘆不已。

其實關於六位數開立方有個很簡單的技巧。1、2、3、4、5、6、7、8、9的立方的末尾分別是1、8、7、4、5、6、3、2、9。如要求x的立方根，那麼x的前三位決定答案的第一位，x的末尾的立方根即是答案的第二位。舉個栗子：195112，5的立方最接近195112的前三位195，末尾2對應的是8，所以答案是58。

開平方運算

我高中老師第一次在我們班表演了一次口算開平方時，大家當時有種可以丟計算器的衝動。

它的原理就是。

比如看下1296，首先可以猜測1296肯定是30幾的平方。設1296=(30+a)^2，於是，因為只有4和6的平方末尾是6，將a=6代入得396，故。

開方運算的步驟：

1．將被開方數的整數部分從個位起向左每隔兩位劃為一段，用撇號分開（豎式中的11』56），分成幾段，表示所求平方根是幾位數；

2．根據左邊第一段里的數，求得平方根的最高位上的數（豎式中的3）；

3．從第一段的數減去最高位上數的平方，在它們的差的右邊寫上第二段數組成第一個餘數（豎式中的256）；

4．把求得的最高位數乘以20去試除第一個餘數，所得的最大整數作為試商（20×3除256，所得的最大整數是 4，即試商是4）；

5．用商的最高位數的20倍加上這個試商再乘以試商．如果所得的積小於或等於餘數，試商就是平方根的第二位數；如果所得的積大於餘數，就把試商減小再試（豎式中（20×3+4）×4=256，說明試商4就是平方根的第二位數）；

6．用同樣的方法，繼續求平方根的其他各位上的數．

這個步驟看起來需要耐心，這裡有一個例子作為理解：

即。

多餘的話

這算作是[funny math]的第一篇吧，以後會不定期的增添一些覺得比較好玩的東西，而對於嚴肅一點的我會在專欄中出現，希望知乎和我一起成長(? ??_??)?
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