【math】群與置換群(1)

此系列文章注重介紹定理，希望讀者可以紮實理解並獨立證明下面的內容。

好了進入正題。

1、群的定義：

給定一個集合 和集合 上的二元運算 ，並滿足四個條件：

1. 封閉性：若 , ，使得
2. 結合律：
3. 存在單位元素：
4. 存在逆元素：

則我們稱集合 在二元運算 下是一個群

2、群的基本性質：

1. 群的單位元是唯一的。

   設有兩個單位元

   根據群的定義 存在單位元素，我們得到
   作為單位元： 作為單位元：
   因此
2. 即滿足消去律
   因為

   根據結合律可知：

3. 任意元素的逆元素是唯一的
   設 的逆元素不唯一，為
   即有：
   由消去律可知：
4. 是有限群， ，設
   

   設 ，則存在最小常數 使得 ,

   構造 個元素分別為： ，由群的封閉性可知這 項 ，而 中只有 個元素，因此一定會有兩項是相同的，不妨設 ，則有 ，令 ，則 ，此時的 即為所求，我們稱 為元素 的階，用公式表示就是

子群的定義：設 為群， 為 的子集，若 在 原來的二元運算中也符合群的定義，則稱群 為群 的子集

3、置換群

假定有限群 中的 個元素都被不重複地一一取代為群中的元素（與原來相同也行），這種置換一般用 來表示：

為了方便起見，我們設原來群 中元素為

它的置換集合有如下性質：

1. 封閉性：
   
2. 結合性：
   
   
3. 單位元：
   
4. 逆元素：
   

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