積分的極限定理

05-01

積分的三大極限定理有：

Levi單調收斂定理；

Fatou不等式；

Lebesgue控制收斂定理；

三個定理等價，可以循環證明。

（單調收斂定理，Levi）

設函數列 ${ f_n(x)}_n$ 在 $E$ 上非負、可測。且滿足單調性：

$forall x in E, 0 leq f_n (x) leq f_{n+1} (x) , n in mathbb{N}_{+}.$

那麼，

$egin{aligned} int_{E} lim_{n ightarrow infty }f_n(x) dx = lim_{n ightarrow infty } int_{E} f_n(x) dx end{aligned}$ .

（證明略）

由Levi單調收斂定理立即可得

Fatou引理：

$ext{設 } f in L(E), { f_n }_{n=1}^{infty} ext{可測}， ext{而且} f_n(x) geq f(x) ext{a.e.於}E$ . 那麼，

$int_{E} varliminf_{n ightarrow infty} f_n(x) dx leq varliminf_{n ightarrow infty} int_{E} f_n(x) dx$ .

類似地，

$ext{設 } g in L(E), { g_n }_{n=1}^{infty} ext{可測}， ext{而且} g_n (x) leq g(x) ext{a.e.於}E$ . 那麼，

$int_{E} varlimsup_{n ightarrow infty} g_n(x) dx geq varlimsup_{n ightarrow infty} int_{E} g_n(x) dx$ .

Proof：（只證明第一種情形）

根據" $varliminf_{n ightarrow infty}$ "的」等價定義「，

$varliminf_{n ightarrow infty} f_n(x) = lim_{n ightarrow infty} inf_{k geq n} { f_k(x) }$ .

記

$h_n(x):=inf_{k geq n} { f_k(x)}$ .

$F_n(x):= h_n(x) -f(x) geq 0$ . 是非負、可測函數列

不難得出：

$F_{n+1}(x) geq F_n(x), forall n geq1$ .

對 ${ F_n(x) }_n$ 利用」Levi定理「，得

$egin{aligned} int_{E} lim_{n ightarrow infty }F_n(x) dx = lim_{n ightarrow infty } int_{E}F_n(x) dx end{aligned}$

即

$int_{E} lim_{n ightarrow infty }h_n(x) dx = lim_{n ightarrow infty } int_{E}h_n(x) dx$

因為

$egin{aligned} & forall n geq 1, h_n(x) :=inf_{k geq n} { f_k(x)} leq f_n(x) .\ Rightarrow & lim_{n ightarrow infty } int_{E}h_n(x) dx leq varliminf_{n ightarrow infty} int_{E}f_n(x) dx . end{aligned}$

所以

$int_{E} varliminf_{n ightarrow infty} f_n(x) dx = int_{E} lim_{n ightarrow infty }h_n(x) dx leq varliminf_{n ightarrow infty} int_{E}f_n(x) dx$ .

證完。

由「Fatou引理」可立即得出「Lebesgue控制收斂定理」。

（控制收斂，Lebesgues dominated convergence）

$ext{設} h in L(E), { f_n }_{n=1}^{infty} ext{可測}$ ，

$egin{aligned} & ext{若} \ & lim_{n ightarrow infty}f_n(x)=f(x), \& |f_n(x)| leq h(x) ( ext{a.e.}) end{aligned}$

$h(x)$ 稱為 ${ f_n (x) }_n$ 的「控制函數」。

那麼，

$egin{aligned} int_{E} lim_{n ightarrow infty }f_n(x) dx = lim_{n ightarrow infty } int_{E} f_n(x) dx end{aligned}$ .

注意：

這個定理有點類似於「數學分析」中的優級數判別法。

對於定義在 $A$ 上的一列函數列 $g_n(x)$

若存在一列正數列 ${ M_n}_{n=1}^{+infty}$ , 使得：

$|g_n(x)| leq M_n, forall x in A, forall n geq 1$ .

則 $S_n(x):=sum_{j=1}^{n}{g_j(x)}$ 在 $A$ 上「一致收斂」。

這裡同樣要為函數列尋求一個控制數列。

Proof：

由「Fatou引理」以及「下極限一定小於等於上極限」，可得

$egin{aligned} int_{E} f(x) dx &= int_{E} varliminf_{n ightarrow infty } f_n(x) dx \& leq varliminf_{n ightarrow infty } int_{E} f_n(x) dx \& leq varlimsup_{n ightarrow infty } int_{E} f_n(x) dx \& leq int_{E} varlimsup_{n ightarrow infty } f_n(x) dx = int_{E} f(x) dx end{aligned}$

因此，上式中的每個不等號都是等號。即：

$egin{aligned} & int_{E} f(x) dx = varliminf_{n ightarrow infty } int_{E} f_n(x) dx = varlimsup_{n ightarrow infty } int_{E} f_n(x) dx = lim_{n ightarrow infty } int_{E} f_n(x) dx end{aligned}$ .

Reference：

王昆揚. 實變函數論講義[M]. 高等教育出版社, 2011.