e^iπ+1=0的分析證明

05-01

首先，我們定義 $exp(z)=sum_{n=0}^{infty}{frac{z^{n}}{n!}} ， z in C$ .

此時易得指數函數加法定理 $exp(x)cdot exp(y)=exp(x+y)$ .

其次，我們定義 $e=sum_{n=0}^{infty}{frac{1}{n!}} =exp(1)$ .

由指數函數加法定理我們容易得到 $exp(x)=e^{x},forall xin Q$ .

另外當複數 $z otin Q$ 時，我們令 $e^{z}=exp(z)$ .

此時 $e^{z}$ 不表示指數運算，而僅僅作為 $exp(z)$ 的一種書寫方式.

然後我們有可以兩種方式定義函數 $sin(x),cos(x)$ .

1. $sin(z)=sum_{n=0}^{infty}{frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}}z^{2n+1} , z in C$ $cos(z)=sum_{n=0}^{infty}{frac{(-1)^{n}}{(2n)!}}z^{2n} , z in C$

2. $sin(z)=frac{1}{2i}(e^{iz}-e^{-iz}) , z in C$ $cos(z)=frac{1}{2}(e^{iz}+e^{-iz}) , z in C$

下面證明其等價性

1.採用第一種定義時，由於 $e^{ix}=exp(ix)=sum_{n=0}^{infty}{frac{(ix)^{n}}{(n)!}} = sum_{n=0}^{infty}{frac{(ix)^{2n+1}}{(2n+1)!}} +sum_{n=0}^{infty}{frac{(ix)^{2n}}{(2n)!}} =cos(x)+isin(x)$

此時得到Euler公式 $e^{ix}=cos(x)+isin(x)$ ，因此又有 $e^{-ix}=cos(x)-isin(x)$

聯立得 $sin(z)=frac{1}{2i}(e^{iz}-e^{-iz}) , z in C$ 和 $cos(z)=frac{1}{2}(e^{iz}+e^{-iz}) , z in C$

2.採用第二種定義時，由於

$e^{ix}=exp(ix)=sum_{n=0}^{infty}{frac{(ix)^{n}}{(n)!}}$ 和 $e^{-ix}=exp(-ix)=sum_{n=0}^{infty}{frac{(-ix)^{n}}{(n)!}}$

帶入整理可得 $sin(z)=frac{1}{2i}(e^{iz}-e^{-iz})=sum_{n=0}^{infty}{frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}}z^{2n+1} , z in C$

$cos(z)=frac{1}{2}(e^{iz}+e^{-iz})=sum_{n=0}^{infty}{frac{(-1)^{n}}{(2n)!}}z^{2n} , z in C$

至此我們證明了兩種 $sin(x),cos(x)$ 定義的等價性和Euler公式.

由Euler公式可以我們可以得到，當 $z=x+yi$ 時有 $e^{z}=e^{x+yi}=exp(x+yi)=exp(x)cdot exp(yi)=e^{x}(cosy+isiny)$

因此可以定義複數域上的指數運算 $f(z)=e^{z}=e^{x}(cosy+isin』y)$ 其中 $z=x+yi$ .

此時 $e^{z}$ 不作為 $exp(z)$ 的記號，而是在賦予指數運算意義後與 $exp(z)$ 等價.

現將我們所定義的函數 $sin(z),cos(z)$ 定義域縮小為 $R$ .將函數 $sin(x),cos(x)$ 在實數域上由 $f(x)=sum_{n=0}^{infty}{frac{f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}$ 展開為Taylor級數，容易證明我們所定義的函數 $sin(x),cos(x)$ 在實數域上分別等價於函數 $sin(x),cos(x)$ .