音樂是數學的奇蹟

音樂之所以和諧美妙，很大程度上得益於兩個數學上的約等式同時成立：

1) 2 ^ (7/12) = 1.4983 ≈ 3/2，誤差 0.1%

2) 2 ^ (4/12) = 1.2599 ≈ 5/4，誤差 0.8%

聽起來很邪乎吧？待我慢慢道來……

【陪音】

唱歌的時候如果唱不上去了我們經常會「唱低八度」，這時候雖然聲音低了許多，但與原唱並不衝突，與伴奏也仍然和諧。那為什麼「八度」那麼特殊呢？或者說，為什麼差八度的音聽著那麼像呢？原來差八度的兩個音其頻率正好差兩倍——比如中音do（鋼琴正中的C，記作C4或c』）是261.6赫茲，而高音do（記作C5或c』』）是它的兩倍523.3赫茲。

那為什麼頻率差兩倍就聽起來像呢？這裡需要引入陪音（upper partials）的概念，也稱為泛音（overtone）。除了一些音色很純的音（比如機器發出的正弦波）外，多數樂器演奏中除了激活原本頻率的聲波（基音）之外還會激活這些頻率的整數倍，也就是陪音。當你按下鋼琴的C4，這時空氣中激蕩著的不只有261.6赫茲的聲波，還有523.3赫茲、784.9赫茲、1046.5赫茲等等（稱為泛音列），而泛音列中各個音的不同強度和相位正反映了樂器的音色。注意523.3赫茲是C5，1046.5赫茲是C6，但784.9赫茲並不是一個C音，我們後文會講到784.9赫茲比較接近G5。也就是說，同一音名的兩個音之間肯定有陪音的關係，但反之不成立——陪音不必須是同一音名。回到八度的問題：C5本身就是C4最近的一個陪音，C5的陪音也都是C4的陪音，所以彈C5時激活的音頻彈C4時也會激活（當然強度不同），兩個音聽起來自然像啦~

【平均律】

搞清楚了啥是八度，那一個八度里的音又是怎麼分的呢？大家知道七聲調式中一個八度是7個基本音級、12個半音，2個半音等於一個全音。大調是「全全半全全全半」，小調是「全半全全半全全」。在巴赫開始提倡、現代普遍採用的十二平均律中，這12個半音是均勻分布的——從物理上講，也就是半音階中的音的頻率形成一個等比數列。比如說C4是261.6赫茲，C5是523.3赫茲，而兩者之間的11個音每個的頻率是上一個的2 ^ (1/12) = 1.0595倍——C?4是261.6 * 1.0595 = 277.2赫茲，D4是277.2 * 1.0595 = 293.7赫茲，依此類推。一個半音又可以分成100個音分（cent），差一個音分相當於頻率差2 ^ (1/1200) = 1.00058倍，一個八度也就是1200個音分。普通人對音高的辨別閾大概是20音分（0.2個半音），而音樂家可以達到5音分（0.05個半音），不同音高下的辨別閾還有所不同。

為什麼要用平均律，讓所有音均勻分布呢？一個重要的原因是方便轉調。比如周杰倫的《安靜》，開始一直是B?調，在唱到第二遍副歌「你要我說多難堪」的時候突然升了一個全音變成了C調——也就是之前的B?變成C，C變成D，D變成E等等，但儘管音高變了旋律聽起來還是一樣的，唱也還是一個感覺，區別最多也就是轉一下調情緒激動一點。這種轉調後的不變性是平均律特有的，在其他一些律制（比如五度相生律、純律和中庸全音律）中不成立。同時這也意味著除平均律外，其他律制中每個調號的色彩都略有不同。這就是為什麼亨德爾會偏好F大調和G小調（當時還沒有平均律），而lady gaga就不那麼在乎。

【音程的協和】

前菜上完了，下面是主菜：音程的協和。協和（consonant）這個概念，操作定義大致就是聽起來和諧、悅耳。在實證研究中一般是給參與者同時播放兩個正弦音（這種音不帶陪音，只有基音），調整其間的頻率間隔，然後讓參與者在7點量表上評價這個音程有多悅耳、多優美、多和諧之類。Plomp和Levelt的這篇論文里結合了前人和他們自己的實驗結果，得到這樣一條曲線來描述兩個正弦音的間隔與這個音程不協和程度的關係：

圖一：音程不協和度與音程中根音和冠音間隔半音數的關係（圖出自《American Scientist》上的http://rrurl.cn/nBpPp2，是P & L原文Fig.10的重新製作）

怎麼樣，這條曲線看起來很光滑圓潤小正太吧？可如果是這樣，難道兩個音的間隔越大越協和？那為什麼又要分協和音程和不協和音程呢？且慢，記得我們講這只是兩個基音之間的不協和程度，而考慮上兩個音各自陪音之間的協和程度之後，這圖就變成了下面的樣子：

圖二：考慮陪音後的音程不協和度（出自《American Scientist》，P & L原文Fig.11的重新製作）

光滑圓潤的小正太轉眼變成了小刺蝟，而且這刺還不是亂長，偏偏長在0、3、4、5、7、9、12這幾條線附近，是不是很神奇？我反正覺得挺神奇的。原文中沒有給詳細的推導過程，於是我就自己嘗試推導了一下（藍字部分）。

首先圖一這個小正太，怎麼看怎麼像一個Gamma分布。我試了幾次後發現它和Gamma (2,1)最為接近：

圖三：用Excel自製的Gamma (2,1)，和圖一長得很像吧

這個曲線大概反映出我們聽覺的特點：當兩個純音間隔很小（比如小於0.2個半音）時人耳難以分辨，因此感覺是完全協和的。當剛開始能夠分辨出兩個音的時候感覺特別刺耳，於是就出現了1-2個半音處不協和的高峰，而之後隨著間隔變大刺耳的感覺逐漸減弱，不和諧度也下降了。Gamma (2,1) 模型的具體數值如下表：

表一：根據Gamma (2,1) 算出的不協和度數值（y軸無量綱）

接下來看陪音之間的協和。打個不太恰當的比方，談戀愛不僅要兩個人談得來，還要講究門當戶對不是？所以說還要拿雙方的弟弟妹妹們來配配看是否和諧，最後把所有不和諧的因素加起來看。表二中列出了根音6倍之內陪音和冠音8倍之內陪音的間隔半音數。從圖三中看到兩個音相差6個半音以上不協和程度就很低了，所以忽略掉陪音頻率差別在3:2以上的情況（實際計算的時候我是忽略了2:1以上的情況）。

表二：根音陪音和冠音陪音的間隔半音數

把表二中的數值代入Gamma模型，就得到表三的不和諧度：

表三：根音陪音和冠音陪音的不協和度

把所有陪音的不協和度加起來就得到了圖四，和American Scientist上的圖（圖二）差不多吧：

圖四：考慮陪音後的音程不協和度（Excel自製）

以上部分我們用一個Gamma模型推導了考慮陪音後根音-冠音間隔和音程不和諧度的關係。那麼圖上突然下降的那幾根刺是怎麼來的呢？

舉例來講，間隔半音數7附近不協和度突然下降，而這個下降主要來自根音的3倍音（橙色線）和6倍音（綠色線）。回到表三，可以看到7個半音（G4）這一欄下黑框中的兩個數（0.02）遠遠小於黑框兩邊6個半音和8個半音兩欄（0.37），使得G4的陪音與C4的3倍音、6倍音上的不和諧度只有兩邊F?4和G?4的10%不到。類似的情況也出現在0、3、4、5、9、12個半音的欄目中（表三中粗體標出）。

之所以這些位置會出現不協和度突然下降，尋根溯源到表二就很清楚了：表三中標粗的位置在表二中都接近0（絕對值 < 0.2）。對照Gamma分布的曲線（圖三）和之前的討論，兩個音相差小於0.2個半音時普通人難以分辨其差別，也就不會覺出不協和。而一旦稍高於這個閾限，不協和度就陡然上升。這也就解釋了為什麼會有「刺」及其兩邊的突起形狀。

還是以G4（和C4間隔7個半音）為例：G4的2倍音和C4的3倍音太過接近，以致聽不出不協和；G4的4倍音和C4的6倍音，G4的6倍音和C4的9倍音等等也都如此。這樣疊加的效果使得G4和C4構成的音程總體而言聽起來不協和度低，也就解釋了7附近的不協和度下降。注意，不管原圖還是自製圖中都只考慮了根音6倍以內的陪音，加上更高倍數陪音的話「刺」會更多。

OK，如果還有人follow的話，以上冗長的推導簡單來講就是要證明這樣一個結論：當根音和冠音的振動頻率成簡單整數比時，音程就協和。兩者所成整數比越簡單、越精確，音程就越協和。

這個結論大體是得到實證數據支持的：我們通常聽來協和的音程（圖二中「刺」的位置）都可以近似表示成簡單整數比，而不協和音程表示成整數比要麼分子分母較大，要麼誤差較大（表四）。簡單整數比也同樣能解釋一些三和弦的協和：比如同為大三度和小三度的疊加，大三和弦其三個音的比例是4:5:6從而聽起來非常「正」，小三和弦三個音的比例是10:12:15協和程度就略差一些。

表四：協和音程和不協和音程對應的振動頻率比

【見證奇蹟】

總結一下上面兩部分說的：協和音程要求音階中各個音的頻率成簡單整數比a/b，而平均律要求音階在1和2之間構成等比數列，也即各個音的頻率比需要表示為2^(m/n)（m為兩個音的間隔數，n為一個八度音階的全部音數）。也就是說，音程如果既要協和又要符合平均律的話，就必須有a/b = 2^(m/n)。但這裡就產生了矛盾：a/b 是有理數，而2^(m/n) 在m非n整數倍的情況下是無理數，兩者沒法相等。

怎麼辦呢？所幸人耳沒那麼精確，允許一定誤差，也就是可以a/b ≈ 2^(m/n)。兩邊取以2為底的對數得 m/n ≈ log2 (a/b)，或者寫成m/n = log2 (a/b) + ε（標為*式），此處 ε 是平均律情況下音頻比偏離簡單整數比的誤差。這個誤差當然不能太大：前文提到一般人對音高的辨別閾大概在20音分左右，我們取15音分（聽力稍好的人的辨別閾）作為標準，也就得到 |ε| < 15/1200 = 0.0125。

然後考慮簡單整數比a/b：a/b為整數（1、2）時產生的是極完全和諧音程，這時候m/n = 0或1，必然有精確解。而我們關注的是其他協和音程，即a/b = 3/2, 4/3, 5/4, 6/5時能不能找到相應的m/n。而事實上，只要找到在a/b = 3/2（純五度）和a/b = 5/4（大三度）情況下符合*式的m1/n和m2/n，其他常用協和音程也都迎刃而解。藍字部分解釋了為什麼存在純五度和大三度後就能導出所有其他協和音程：

log2 (4/3) = 1 – log2 (3/2)，log2 (3/2) 是有理數時log2 (4/3) 必是同分母的有理數，即存在純五度也就存在純四度

log2 (5/4) = 1 – log2 (8/5)，存在大三度也就存在小六度

log2 (6/5) = log2 (3/2) – log2 (5/4)，存在純五度、大三度也就存在小三度

log2 (5/3) = 1 – log2 (6/5)，存在小三度也就存在大六度

好，接下來的工作就是一個一個試了（連分數可以得到最接近的解，但我們需要所有誤差範圍之內的解）：下面列出了n在30以內所有接近純五度的m1/n，m1/n ≈ log2 (3/2) = 0.585

7/12, 14/24

10/17

11/19

13/22

15/26

16/27

17/29

接近大三度的m2/n，m2/n ≈ log2 (5/4) = 0.322；紅色標出的是既存在純五度、也存在大三度的情況

1/3, 2/6, 3/9, 4/12, …

5/16

6/19

7/22

8/25

9/28

9/29

對比兩串數，12這個神奇數字就這樣華麗麗地登場了：在12平均律下相差7個半音的音程可以滿足純五度（12是滿足該條件最小的n），而恰好此律下相差4個半音的音程可以滿足大三度。

你或許說如果沒有12平均律，那19平均律、22平均律也行啊——且慢，讓我們把純五度的純度要求提高些（畢竟這是完全協和音程），取到音樂家的辨別閾5音分（|ε| < 5/1200 = 0.0041）來看看。這時12平均律仍然滿足要求，而19平均律、22平均律則被踢出。下一個滿足要求的是29平均律，遺憾的是29平均律的大三度沒有12平均律的純，以至於如果需要找一個真正比十二平均律更純的平均律，最小也要41平均律。

現在看出奇蹟所在了吧？如果沒有12平均律而要用41平均律，那鋼琴上彈一個八度需要手跨41個鍵，而鋼琴的琴鍵總數將達到300個……更重要的是，41平均律中兩個相鄰音之間只差不到30音分，實在不好辨別啊……

恩，這也就是我要說的，音樂美妙多虧一個數學的巧合，說誇張點就是「音樂是數學的奇蹟」。再來回顧一下這兩個神奇的式子：

7/12 = log2 (3/2) – 0.0016

4/12 = log2 (5/4) + 0.0114

兩邊取2的冪次就得到文章開頭的兩個式子了。

【不只是數學】

相信較真兒的同志肯定發現了不少問題：上述模型中小六度應該是不協和的，而實際樂理中認為小六度是協和音程；模型只考慮了根音6倍音以下的情況，而沒說明為什麼取6倍；用Gamma分布描述人耳對不協和程度的感知缺乏理論依據，等等。確實，這個模型有很多簡化和不足的地方。而且我只是關注單音程協和的問題，要解釋三和弦、七和弦的協和，乃至和弦進行的問題就要複雜得多了（這裡有解釋三和弦和諧程度的幾個模型，簡化中文版看這裡）。

進一步說，協和又怎麼樣，協和的音樂就好聽嗎？這個答案必須是否定的。歐洲中世紀和中國古代都有「音樂之美在於和諧」的思想，進而產生出像復調音樂「奧加農」和中國的「雅樂」這樣追求絕對協和的音樂。以奧加農為例，全部依平行四度、平行五度進行，但其結果是音樂過於空洞、蒼白，為歷史所淘汰。平行五八度的進行也因為過於協和而在古典樂理中被禁掉。現代音樂那就更自由了：爵士、布魯斯的和弦進行就與古典音樂有明顯差別，而現代主義的無調性音樂就完全沒有協和可談了。所以說協和只是音樂之美的一個方面，節奏、音色、曲式、歌詞等等往往起到更大的影響。不過說實在的，作為一個俗人，還是聽協和點的音樂比較舒服啊~

轉載自Pond for Grassfish on WordPress.com

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