天文奧賽課期末考試解析

05-01

這學期在一零一初中講了天文奧賽課，最後給他們出了一套卷子，但是沒有時間講了，就把答案發在這裡吧~

答題要求和評分標準：第一步，寫出正確的數學物理概念，第二步，寫出正確的數學物理公式，第三步，給出正確數值或者解析式，第四步，寫出對此題的分析（實際應用，觀測效果等）。這四步分別占題目分數的40%，30%，20%，10%。

一：假設星系平均直徑和平均光度在宇宙各處處處相等，求星系角大小和視星等與退行速度的關係。（10分）

這題第一步的概念要寫出「光度」「角大小」「退行速度」還有「哈勃定律」的內容，一個一分。

然後寫出如下公式，一個一分

$heta=frac{D}{r}$

$m=-2.5log frac{L}{4pi r^2}$

$r=mathrm{H}cdot v$

然後把有r的地方都消了，就是答案，一個兩分，不化簡也沒關係，因為我猜你們早忘了對數怎麼算了

$heta=frac{D}{mathrm{H}cdot v}$

$m=-2.5log frac{L}{4pi mathrm{H}^2v^2}=-2.5log frac{L}{4pi mathrm{H}^2}+5log v$

分析的話，我希望你們答出觀測效果，即隨著速度變大，角直徑和亮度都在減小。

總體來看，這題大家都答得不錯，可以拿個8分9分的，一般都是差最後的分析。

二：已知織女星坐標（黃經285度19分，黃緯61度44分，距離7.67pc）

1：求在地球上看，織女與太陽角距離的最小值，並求出此時的日期。（10分）

2：求與地球線距離最小值，並求出此時日期（10分）

第一小問：

第一步概念希望大家寫出黃道坐標（2分），日期和黃經的關係（1）和角距離（1）

然後要指出什麼時候角距離最小：黃經相同時（1分），以及以下公式

$mathrm{date}=3.21+frac{lambdacdot 365mathrm{d}}{360^circ}$

答案是1月4號（2分）

分析要是能答出在1月4號往後半年（7月4號）是觀測織女星最佳時期就好了，然而你們團滅。。

第二小問：

第一步希望答出織女、太陽、地球三者的位置關係（當太陽和織女正好位於地球一邊一個時，地球到織女距離最近，在空間中構成一個三角形）

第二步就是寫出餘弦定理， $eta$ 是織女的黃緯

$r_{mathrm{EV}}^2=r_{odot mathrm{V}}^2+r^2_{odot mathrm{E}}-2r_{odot mathrm{V}} r_{odot mathrm{E}}cos eta$

答案的話。。反正算成什麼樣都可以，我希望你們能把高階小量 $r^2_{odot mathrm{E}}$ 舍了，化簡成這個樣子

$r_{mathrm{EV}}^2=r_{odot mathrm{V}}^2-2r_{odot mathrm{V}} r_{odot mathrm{E}}cos eta=r_{odot mathrm{V}}left(r_{odot mathrm{V}}-2r_{odot mathrm{E}}cos eta ight)$

沒人算出來，但我也不扣分了。。

最後分析也是希望你們能開腦洞，如果織女星上發生一些規律性的變化，你在地球上看時就會發現這變化一會兒提前，一會兒落後，因為光要穿過不同長度的空間才能到達地球。。

想想光速最早是怎麼測的？

這題明顯第二問不如第一問，可能是大家的空間想像能力還是差一些，比如有個同學直接把太陽地球織女星放在一條直線上了，希望大家注意。

三：木星的動量是地球的多少倍？（10分）總機械能（動能加上引力勢能）是地球機械能的多少倍？（10分）角動量是地球多少倍？（10分）

這題就是熟悉公式用的

第一小問：概念：動量寫出來 $m{p}=mm{v}$ (4分)

公式如下：

先算行星速度（咱們課上講了啊啊啊為什麼你們都百度去了，統統扣一分）

$Gfrac{Mm}{r^2}=mfrac{v^2}{r}$

然後是動量

$p=mv$

答案如下： $p=mleft(frac{GM}{r} ight)^{0.5}$ ， $hereforefrac{p_J}{p_E}=frac{m_J}{m_E}left(frac{r_E}{r_J} ight)^{0.5}approx139$

第二小問：概念的話寫出機械能 $E=frac{1}{2}mv^2-Gfrac{Mm}{r}$

然後就沒啥公式好說了是吧2333

結果是 $E=frac{GMm}{2r}-frac{GMm}{r}=-frac{GMm}{2r}$ ，這不就是活力公式么，你們又沒有人化簡嗚嗚嗚嗚

$herefore frac{E_J}{E_E}=frac{m_J}{m_E} frac{r_E}{r_J}=approx61$

第三小問：概念的話就是角運量寫出來就好 $L=mvr$ ，有個高分同學作弊，寫了個叉乘出來，我課上可沒講吧。。

公式也沒啥好寫的

最後結果是 $L=mleft(GMr ight)^{0.5}$ ， $frac{L_J}{L_E}=frac{m_J}{m_E}left(frac{r_J}{r_E} ight)^{0.5}approx725$

分析希望你們對比三個物理量的大小，說明木星占最大的物理量是角動量。。然而不寫也不扣分了。

四：用計算題求函數 $f(x)=x^x$ 在 $x=1$ 和 $x=1.3$ 處的導數，要求相對誤差小於 $10^{-3}$ ，用面積法求積分 $int_{1}^{2}e^xmathrm{d}x$ ，要求相對誤差小於 $10^{-1}$

第一小問：先寫出導數的概念 $f(x)=frac{f(x+mathrm{d}x)-f(x)}{dx}$

然後分析誤差來源：因為這求導沒學過，只能用導數的定義來求，這就涉及到 $mathrm{d}x$ 大小問題了，它越小，最後的數值應該是越準的。

$f(1,mathrm{d}x=0.001)=frac{1.001^{1.001}-1^1}{0.001}=1.0010005$

$f(1,mathrm{d}x=0.0001)=frac{1.0001^{1.0001}-1^1}{0.0001}=1.000100005$

因為第二行算出來的是準的，所以相對誤差是

$e=frac{f(1,mathrm{d}x=0.001)-f(1,mathrm{d}x=0.0001)}{f(1,mathrm{d}x=0.0001)}=9 imes 10^{-4}$ ，小於十的負三次方啦！所以答案就是1.000100005

當x=1.3時，方法一樣，算出來大概是1.77。

分析寫不寫都行了，也沒啥好分析的，就說導數在增加吧2333

第二小問：概念就是定積分的面積定義啦。但怎麼沒幾個人寫出來呢？

同樣的，這個定積分和我們取的步長有關

$S(mathrm{d}x=0.2)=0.2 imes sum_{n=0}^{4}{e^{1+0.2cdot n}} =4.21926$

$S(mathrm{d}x=0.1)=0.1 imes sum_{n=0}^{9}{e^{1+0.1cdot n}} =4.44113$

相對誤差 $e=frac{S(mathrm{d}x=0.2)-S(mathrm{d}x=0.1)}{S(mathrm{d}x=0.1)}=0.05$ 小於十分之一啦！

分析也沒啥好寫的，反正都給大家分了~

判這題感覺大家有對數學的畏難情緒，希望大家以後要自信起來。。

五：某飛船和燃料的總質量為m，其噴出的燃料相對飛船的速度恆為v』，假設飛船的燃料在一瞬間就噴射完畢

1：如果飛船想環繞地球飛行，求燃料占飛船總質量的百分比下限。（10分）

2：如果這個飛船想飛到火星，求燃料占飛船總質量百分比下限。（10分）

3：為什麼上面兩問求的都是下限？真實情況下飛船的燃料並不是一瞬間使用完畢，那麼你求得的答案是偏大還是偏小？（10分）

這題的得分簡直慘不忍睹，，不過最後一道題嘛，我故意出得很難的。然而還是有人都做到基本滿分，作為老師我真是給那個學生跪了。

第一小問：概念就是第一宇宙速度（1分），速度變換（1分）和動量守恆（2分）。

速度變換要強調一下，因為我給的速度v是燃料相對於飛船的速度，但是在算動量守恆時，應該是相對統一的靜止坐標系的速度，因此假設飛船的速度是 $v$ ，那麼燃料相對於靜止坐標系的速度就應該是 $v_*=v-v$

公式就是：第一宇宙速度公式 $Gfrac{Mm}{R_E^2}=mfrac{v_f^2}{R_E}$

動量守恆 $frac{v_f}{v-v_f}=frac{m_*}{m-m_*}$ ，這個是慣性質量的定義式，其實也是動量守恆啦。

答案是 $frac{m}{m_*}-1=frac{v}{left(GM/R_E ight)^{0.5}}-1$ ， $frac{m_*}{m}=frac{left(GM/R_E ight)^{0.5}}{v}$

分析：要想多帶東西少帶燃料，就得使勁噴啊噴（ $v$ 越大越好）

第二小問：概念就是活力公式（2分）和速度變換（2分）

這裡的速度變換又出現了，其實是脫離地球後相對太陽的速度和相對地球靜止的速度的變換。不懂的繼續看吧。

公式：飛船想飛到火星，最簡單的方法就是走如下橢圓軌道

這個橢圓軌道的半長徑是 $a=frac{1}{2}left(R_E+R_M ight)$ ，飛船在地球E處時應該的速度可以用活力公式算出

$frac{1}{2}mv^2_E-frac{GMm}{R_E}=-frac{GMm}{2a}$

然而地球自身還有速度 $v_{E*}$

$Gfrac{M_odot M}{R_E^2}=frac{Mv^2_{E*}}{R_E}$

所以飛船並不需要飛到 $v_E$ 那麼快，只需要飛到 $v_E=v_E-v_{E*}$ 就可以了

為了讓飛船飛出地球時有 $v_E$ 的速度，飛船在地面上起飛時就得有個更大一些的速度 $v_x$ ，因為地球引力作負功，飛船速度最終下降為 $v_E$

$frac{1}{2}mv^2_E-frac{1}{2}mv^2_x=-Gfrac{Mm}{R_E}$

用第一問的結論可得 $frac{m_*}{m}=frac{v_x}{v}$

一步一步把數帶進去就好了~

第三小問第一小小問：大部分同學都答出來了，因為第一宇宙速度和飛到火星的那個軌道的速度都是速度的最小值，如果速度大一些，依舊可以完成目標，所以是下限。

第三小問第二小小問：還是有幾個同學get到了關鍵，那就是燃料「瞬間」噴完和「慢慢」噴完的區別。可以把燃料」慢慢「噴完看成無數個」瞬間「過程。然後。。。隨便怎麼瞎說都可以了

考試效果我還挺滿意的，最高分84，最低分60，感覺一零一的學生們都是學霸，這卷子做成這樣真是非常棒。

全寫完啦！祝大家在未來的天文道路上越走越遠吧！