沿著線性代數「抽象化」線索，直至解釋「傅里葉級數形式」與「用L^2內積空間特殊正交基表示」的內在聯繫

05-01

7 定義了內積的 $L^2([0,1])$ 空間（希爾伯特空間的特例）與周期函數傅里葉級數分解的因緣。

$L^2(0,1)$ 是一個函數空間，如果 $int_0^1|f(t)|^2dt<+infty$ ，則 $f(t) in L^2(0,1)$ 。

在 $L^2(0,1)$ 空間上定義內積 $langle f(t),g(t) angle=int_0^1 f(t)overline{g(t)}dt$

而事實上 $e_n(t)=e^{2pi int}$ ，其中n是所有整數，就是 $L^2(0,1)$ 的一組單位正交基，那麼我們可以把 $f(t)$ 「分解成」用單位正交基表示的形式：

$f(t)=sum_{n=-infty}^{+infty}langle f(t),e^{2pi int} angle e^{2pi int}=sum_{n=-infty}^{+infty}int_0^1 f(t)overline{e^{2pi int}} dt e^{2pi int}$ $=sum_{n=-infty}^{+infty}int_0^1 f(t)e^{-2pi int} dt e^{2pi int}=sum_{n=-infty}^{+infty}hat{f}(n)e^{2pi int}$

所以能量有限的周期為1的信號 $f(t)$ 的傅里葉級數形式的意義：

在定義了內積的 $L^2([0,1])$ 空間里找到一組特殊單位正交基 $e_n(t),nin Z$ ，將 $f(t)$ 用這組單位正交基線性表示的形式就是 $f(t)$ 傅里葉級數的形式，而 $hat{f}(n)$ 就是基下坐標而已！

6 幾種定義了內積的線性空間

實數域上的線性空間 $R^n$ 上的內積空間

複數域上的線性空間 $C^n$ 上的內積空間

希爾伯特空間的典型特例：定義了內積的 $L^2([0,1])$ 空間

5 引入內積的空間

內積空間是定義了良好內積映射的線性空間，具體來說就是：

內積空間是定義了良好內積映射的在數域 $K$ 上的線性空間 $V$ ，一般把數域 $K$ 具象成 $R$ 或者 $C$ ，把線性空間 $V$ 具象成對應的 $R^n$ 或者 $C^n$ ，其中良好的內積映射 $langle cdot,cdot angle:V imes V ightarrow K$ 滿足以下條件：

$alpha,eta,gammain V$ ， $k in K$

( i ) Conjugate symmetry:

$langle alpha,eta angle=overline{langle eta,alpha angle}$

( ii ) Linearly in the first argument:

$langle alpha+eta,gamma angle=langle alpha,gamma angle+langle eta,gamma angle$

$langle kalpha,eta angle=klangle alpha,eta angle$

( iii ) Positive-definiteness:

$langle alpha,alpha anglegeq 0$

$langle alpha,alpha angle=0 Leftrightarrow alpha = mathbf{0}$

引入內積空間的好處是我們可以開始討論線性空間 $V$ 中元素的長度、元素間的角度，有了角度我們可以定義垂直與正交，於是又有了投影。

4 抽象線性變換 $T$ 在給定基下的矩陣

第一，限定抽象線性變換 $T$ 是 $V$ 到 $V$ 的線性變換，其中 $V$ 是 $n$ 維線性空間。

第二，選定 $V$ 的一組基 $x_1,x_2,...,x_n$ ，則對於任意一個 $xin V$ ，有 $x=epsilon_1x_1+epsilon_2x_2+...epsilon_nx_n =egin{bmatrix}x_1 & x_2 & ... & x_nend{bmatrix}egin{bmatrix}epsilon_1\ epsilon_2\ ...\ epsilon_nend{bmatrix}$ 。

第三，考慮線性變換 $Tx$

我們首先考慮線性變換 $T$ 作用在基 $x_1,x_2,...,x_n$ 上的效果，因為 $T$ 是 $V$ 到 $V$ 的線性變換，所以 $T(x_i)in V, i=1,...,n$ ， $T(x_i)$ 依然可以被基自己線性表示：

$T(x_1)=a_{11}x_1+a_{21}x_2+...+a_{n1}x_n\T(x_2)=a_{12}x_1+a_{22}x_2+...+a_{n2}x_n\... \T(x_n)=a_{1n}x_1+a_{2n}x_2+...+a_{nn}x_n$

則：

$T(x)=T(epsilon_1x_1+epsilon_2x_2+,...+epsilon_nx_n)=epsilon_1T(x_1)+epsilon_2T(x_2)+...+epsilon_nT(x_n)$ $=egin{bmatrix}T(x_1), &T(x_2), & ... & T(x_n)end{bmatrix}egin{bmatrix}epsilon_1\ epsilon_2\ ...\ epsilon_nend{bmatrix}$ $=egin{bmatrix}x_1 & x_2 & ... & x_nend{bmatrix}egin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n}\ ... & ... & ... & ...\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn}end{bmatrix}egin{bmatrix}epsilon_1\ epsilon_2\ ...\ epsilon_nend{bmatrix}$

所以 $V$ 到 $V$ 的線性變換 $T$ 在引入一組 $V$ 的基 $x_1,...,x_n$ 後，可以理解成基下坐標從 $mathbf{epsilon}$ 變換為 $Aepsilon$ 的過程，我們把矩陣A稱為抽象線性變換 $T$ 在給定基下的矩陣。