讀書筆記-如何通俗理解beta分布

參考：小傑：如何通俗理解beta分布？ 小傑的回答

參考：貝塔分布_百度百科

用一句話來說，beta分布可以看作一個概率的概率分布。

舉一個簡單的例子，棒球擊球率(batting average)，就是用一個運動員擊中的球數除以擊球的總數，我們一般認為0.266是正常水平的擊球率，而如果擊球率高達0.3就被認為是非常優秀的。

假設一個棒球手，已經成功alpha次，失敗beta次，他到目前為止的成功率就是alpha/(alpha+beta)。

比方說，alpha=81,beta=219。

他下次擊球的成功概率，就服從beta分布，即Beta(81,219)的分布，這是一個類似正態分布的曲線，從0~1，峰值在 81/(81+219)。

如果下次，他又擊中1球，則分布變為Beta(81+1,219+1)。

如果接下來，他打了300次，其中擊中了100次，200次沒擊中，那麼分布變為Beta(81+100,219+200)，從圖上看，曲線變尖了，且靠右了，說明這個人成功率上升了，評價變好了。

綜上，Beta分布，就是從一個人過去成功率，來得到一個成功概率的概率分布，來推斷他下一次成功率為某個特定值的概率分布。

我對此的理解就是：

拋一個硬幣，有0.5的正面概率，這個是我們所知道的；拋一個特製硬幣，據說存在一個固定值X，有X的概率是正面的，但這個X我們不知道，只能慢慢的去猜。

先拋上n次，正面a次，反面n-a次。這樣，我們可以初步估計，正面的概率大概率應該是a/n。概率的概率分布是Beta(a,n-a)。

然後再不停的拋，每拋一次，概率的概率分布Beta()都會被修正。

當拋次數n趨向於無窮的時候，概率的概率分布Beta()圖形會越來越穩定，這樣就會得到這個硬幣的固定值X。

在百度百科上，Beta分布的公式是：

這個理解起來很方便。alpha是已經成功的次數，beta是已經失敗的次數，變數x表示成功概率，1-x表示失敗的概率，f表示概率的概率分布。分子中，x^(alpha-1)表示成功alpha次的總概率，(1-x)^(beta-1)表示失敗beta次的總概率，x^(alpha-1)(1-x)^(beta-1)表示出現了「正好成功alpha次並失敗beta次」這種情況的總概率；分母則是，把從0到1的每種可能的概率u都積分了，表示所有的概率的概率之和。分子/分母，表示的是，給定「正好成功alpha次並失敗beta次」的情況，概率為x的概率/概率為所有值的總概率，從而得到概率為x的概率密度函數。